Общее уравнение плоскости
В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:
Ax+By+Cz+D=0, | (1) |
где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.
Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x0, y0, z0. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y0, z0. Тогда
. |
Таким образом, существует точка M0(x0, y0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):
Ax0+By0+Cz0+D=0. | (2) |
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим
A(x−x0)+B(y−y0)+С(z−z0)=0, | (3) |
которая эквивалентна уравнению (1).
Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярную вектору n=<A,B,C> (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).
Если точка M0(x0, y0, z0) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n=<A,B,C> и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:
. |
Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n=<A,B,C> и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.
Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.
Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости , определяемой линейным уравнением (1).
Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости
A1x+B1y+C1z+D=0 | (4) |
A2x+B2y+C2z+D=0 | (5) |
определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства
A2=A1λ, B2=B1λ, C2=C1λ, D2=D1λ. | (6) |
A1x0+B1y0+C1z0+D=0 | (7) |
A2x0+B2y0+C2z0+D=0 | (8) |
Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:
(A1λ−A2)x0+(B1λ−B2)y0+(C1λ−C2)z0+(D1λ−D2)=0. |
Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D1λ−D2=0. Т.е. D2=D1λ. Утверждение доказано.
Неполные уравнения плоскости
Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным , если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным .
Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:
При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.
При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n=<0,B,C> лежит на координатной плоскости Oyz.
При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).
При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).
При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).
При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).
При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).
При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).
При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).
При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).
Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.
Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:
A(x−4)+B(y−(−1))+C(z−2)=0 | (9) |
Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n=<A,B,C>=<0,0,1>, т.е. A=0, B=0, C=1.
Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:
0(x−4)+0(y−(−1))+1(z−2)=0 | (9) |
Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n==<2,3,1>.
Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x0,y0,z0) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:
A(x−0)+B(y−0)+C(z−0)=0 | (10) |
Так как плоскость имеет нормальный вектор n=<A,B,C>=<2,3,1>, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:
2(x−0)+3(y−0)+1(z−0)=0 | (9) |
Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.
Плоскость заданная уравнением cz d 0
Теорема. Всякое невырожденное уравнение первой степени с тремя переменными описывает некоторую плоскость в пространстве, и наоборот: всякая плоскость может быть описана таким уравнением.
Ax + By + Cz + D = 0 — общее уравнение плоскости,
A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 — условие невырожденности.
Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в пространстве в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 — проходит через начало координат;
2. A = D = 0, By + Cz = 0 — содержит OX ;
Расстояние от точки M 0 ( x 0, y 0, z 0) до плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, вычисляется по формуле
.
При каком условии плоскость, заданная уравнением ах + by+ cz+ d= 0. ГДЗ. Геометрия. 10 класс. Погорелов. § 4 п.38 Задача 71
Кто знает решение? При каком условии плоскость, заданная уравнением
ах + by+ cz+ d= 0: 1) параллельна оси z;2) проходит через ось г; 3) перпендикулярна плоскости xz?
Лови решение.
1 ) параллельные оси z;
2) проходит через ось z;
3) перпендикулярна плоскости xz? п = (а; b; с)
1) п ┴е3 = (0; 0; 1)) a∙0 + b∙ 0 + с· 1 =0;
с = 0 ( d ≠0, иначе плоскость содержит ось z)
2) с = d= 0
3) п ┴e2 а∙0 + b∙1 + с∙0 — 0 b = 0.
http://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/razd9z1/par9_13z1.htm
http://class.rambler.ru/temy-gdz/pri-kakom-uslovii-ploskost-zadannaya-uravneniem-ah-by-cz-d-0-gdz-geometriya-10-klass-pogorelov-4-p-38-zadacha-71-37683.htm