По 72 банкам построено уравнение

Решение:
Исследования остатков e_i предполагают проверку пяти предпосылок метода наименьших квадратов:
1) случайный характер остатков;
2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;
3) гомоскедастичность остатков – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x_i;
4) отсутствие автокорреляции остатков (значения остатков e_i распределены независимо друг от друга);
5) остатки подчиняются нормальному закону распределения.
В данном случае очевидно выполнение предпосылки о случайном характере остатков, на графике в расположении остатков нет направленности, они расположены в форме облака, значит, предпосылка о случайном характере остатков выполняется.
Остатки колеблются около нуля, следовательно, предпосылка о нулевой средней величине остатков также выполняется.
Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков не зависит от независимой переменной. В данном случае, согласно анализу графика остатков, это не так. При небольших значениях x_i величины остатков невелики, при увеличении значений x_i величины остатков также увеличиваются, то есть предпосылка о гомоскедастичности остатков нарушается.
Предпосылки о гетероскедастичности остатков просто не существует.

Кейс 1, задача 3
По 72 банкам построено уравнение зависимости размеров кредитов, выданных предприятиям и организациям, в млн. руб. (y) от собственного капитала, млн руб. (x): y = 710,967 + 3,057 ∙ x . Исходные данные упорядочены по убыванию величины собственного капитала. По величинам остатков рассчитан коэффициент автокорреляции первого порядка, равный -0,45539. На рисунке представлен график остатков.

Если для остатков модели, выполнены предпосылки МНК, то оценки параметров, полученные методом наименьших квадратов (МНК), обладают свойствами …

Решение:
Оценки параметров регрессии должны обладать определенными критериями: быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. Состоятельность оценок характеризует увеличение точности оценок с увеличением объема выборки. Если выполняются следующие предпосылки метода наименьших квадратов:
1) случайный характер остатков;
2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;
3) гомоскедастичность остатков – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x_i;
4) отсутствие автокорреляции остатков (значения остатков e_i распределены независимо друг от друга);
5) остатки подчиняются нормальному закону распределения,
то оценки, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Кейс 1, задача 4
По 72 банкам построено уравнение зависимости размеров кредитов, выданных предприятиям и организациям, в млн. руб. (y) от собственного капитала, млн руб. (x): y = 710,967 + 3,057 ∙ x . Исходные данные упорядочены по убыванию величины собственного капитала. По величинам остатков рассчитан коэффициент автокорреляции первого порядка, равный -0,45539. На рисунке представлен график остатков.

Значение критерия Дарбина–Уотсона составит … (Полученное значение округлите до десятых.)

Решение:
Статистика Дарбина–Уотсона вычисляется по формуле , где – коэффициент автокорреляции первого порядка. Поскольку = –0,45539, то статистика Дарбина–Уотсона d = 2 · (1 — (-0,45539)) = 2,9.

Кейс 2, задача 1
Динамика показателя среднего размера назначенных пенсий в России в период 2005–2011 гг. характеризуется данными, представленными на графике.

Функция, описывающая зависимость между порядком коэффициента автокорреляции и его значением, называется …

Решение:
Функция, описывающая зависимость между порядком коэффициента автокорреляции и его значением, называется автокорреляционной функцией.

Кейс 2, задача 2

Динамика показателя среднего размера назначенных пенсий в России в период 2005–2011 гг. характеризуется данными, представленными на графике.

Установите соответствие между порядком коэффициента автокорреляции и его значением.

1. Коэффициент автокорреляции первого порядка

2. Коэффициент автокорреляции второго порядка

3. Коэффициент автокорреляции третьего порядка

Кейс 2, задача 3

Динамика показателя среднего размера назначенных пенсий в России в период 2005–2011 гг. характеризуется данными, представленными на графике.

Значение среднего размера назначенных пенсий в России в 2012 г., рассчитанное на основе линейного тренда, составит _____ руб. (Полученное значение округлите до целых.)

.

Кейс 3, задача 1

По обследованию 12 случайно выбранных семей характеристики показателей накоплений, дохода и имущества представлены в таблице.

Построена матрица парных коэффициентов корреляции

Тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии, характеризует …

Ответ: частный коэффициент корреляции

Кейс 3, задача 2

По обследованию 12 случайно выбранных семей характеристики показателей накоплений, дохода и имущества представлены в таблице.

Построена матрица парных коэффициентов корреляции

Для сравнительной оценки влияния факторов на результат используются такие показатели, как …

стандартизированные коэффициенты регрессии

Кейс 3, задача 3

По обследованию 12 случайно выбранных семей характеристики показателей накоплений, дохода и имущества представлены в таблице.

Построена матрица парных коэффициентов корреляции

На основании сравнения частных F-критериев Фишера (Fтабл=5,12) можно утверждать, что фактор …

х1целесообразно включать в уравнения регрессии после того, как в него был включен факторх2

Кейс 3, задача 4

По обследованию 12 случайно выбранных семей характеристики показателей накоплений, дохода и имущества представлены в таблице.

Построена матрица парных коэффициентов корреляции

Свободный член уравнения в естественной форме равен … (Полученный ответ округлите до сотых.)

Сначала найдем уравнение регрессии в стандартизированном виде. Будем считать х1– доход,х2– имущество. Коэффициенты парной корреляции известны и равны.
Расчет стандартизированных коэффициентов выполним по формулам
==0,7236;
==-0,4467.
Для построения уравнения в естественной форме воспользуемся формулой.

Итак, ;

По формулерассчитаем свободный член уравнения в естественной форме.

= 3,7083 — 0,11 · 40 — ( -0,03)·48,0833=0,75.

Кейс 4, задача 1

В таблице представлены данные по субъектам федерации Центрального федерального округа, за исключением Москвы. Области упорядочены по возрастанию независимой переменной х– объему кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

По данной выборке построено уравнение регрессии y = 3151,1 + 8,8487 · x. Коэффициент детерминации R2= 0,9708.

Средняя ошибка аппроксимации по уравнению регрессии, построенному по всей выборке, равна ____ %. (Полученное значение округлите до целых.)

Кейс 4, задача 2

В таблице представлены данные по субъектам федерации Центрального федерального округа, за исключением Москвы. Области упорядочены по возрастанию независимой переменной х – объему кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

По данной выборке построено уравнение регрессии y = 3151,1 + 8,8487 · x. Коэффициент детерминации R 2 = 0,9708.

Верными относительно полученного уравнения регрессии и коэффициента детерминации утверждениями, которые учитывают характер выборки, являются …

высокое значение коэффициента детерминации определяется наличием в выборке аномальных значений

полученное уравнение не рекомендуется использовать для прогнозирования

высокое значение коэффициента детерминации говорит о том, что между объемом кредитов и объемом инвестиций в основной капитал существует тесная линейная зависимость

полученное уравнение имеет высокую прогнозную силу

Данные упорядочены по возрастанию объемов кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам. Даже беглый взгляд на данные позволяет заметить, что Московская область является аномальным значением – в ней обе переменные имеют значения, в разы превосходящие все остальные величины. Такие значения называются аномальными, или выбросами. На рисунке показано расположение точек всей выборки и уравнение регрессии, построенное по ней.

Наличие аномально больших значений способствует высокому значению коэффициента детерминации, поскольку для минимизации суммы квадратов отклонений уравнение регрессии обязательно должно пройти через аномальную точку.

Если исключить аномальное значение и построить поле корреляции и уравнение регрессии, а также рассчитать коэффициент детерминации (см. на рисунке), то можно заметить, что связь между переменными не является сильной и высокой прогнозной силой уравнение не обладает.

По обследованию 12 случайно выбранных семей характеристики показателей накоплений, дохода и имущества представлены в таблице.

Построена матрица парных коэффициентов корреляции

На основании сравнения частных F-критериев Фишера (F_табл=5,12) можно утверждать, что фактор …

х₁ целесообразно включать в уравнения регрессии после того, как в него был включен фактор х₂

х₂ целесообразно включать в уравнения регрессии после того, как в него был включен фактор х₁

х₁ нецелесообразно включать в уравнения регрессии после того, как в него был включен фактор х₂

х₂ нецелесообразно включать в уравнения регрессии после того, как в него был включен фактор х₁

Решение:

Частные F-критерии и оценивают статистическую значимость присутствия факторов х₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения одного фактора после другого. оценивает целесообразность включения в уравнения факторов х₁ после того, как в него был включен фактор х₂, а указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁.
Чтобы вычислить коэффициент детерминации, воспользуемся формулой . Будем считать х₁ – доход, х₂ – имущество. Коэффициенты парной корреляции известны и равны ,
Расчет стандартизированных коэффициентов выполним по формулам
= = 0,7236;
= = -0,4467.

Итак, коэффициент детерминации равен
=0,88·0,7236+(-0,7)·(-0,4467)=0,9495.

= 81,89> F_табл, значит, целесообразно включить в уравнения регрессии фактор х₁ после того, как в него был включен фактор х₂.

= 31,21> F_табл, значит, целесообразно включить в уравнения регрессии фактор х₁ после того, как в него был включен фактор х₂.

3. В таблице представлены данные по субъектам федерации Центрального федерального округа, за исключением Москвы. Области упорядочены по возрастанию независимой переменной х – объему кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.

По данной выборке построено уравнение регрессии y = 3151,1 + 8,8487 · x. Коэффициент детерминации R 2 = 0,9708.

Исключив из выборки аномальное значение (Московскую область) и построив уравнение линейной зависимости, можно утверждать, что …

между объемом кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, и инвестициями в основной капитал нет линейной зависимости

коэффициент регрессии в полученном уравнении оказался незначимым, значит, его можно признать равным нулю

при увеличении объема кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млн руб., инвестиции в основной капитал увеличиваются на 5,3 млн руб.

при увеличении объема кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млн руб., инвестиции в основной капитал уменьшаются на 5,3 млн руб.

Решение:

Если исключить аномальное значение и построить поле корреляции и уравнение регрессии, а также рассчитать коэффициент детерминации (см. на рисунке), то можно заметить, что связь между переменными является слабой.

Значит, можно сделать вывод, что между объемом кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, и инвестициями в основной капитал по Центральному федеральному округу нет линейной зависимости. Кроме того, в уравнении y = 4083,7 + 5,3083 · x коэффициент регрессии b является незначимым и его можно считать равным нулю.

Кейс 1 подзадача 4

1. По 72 банкам построено уравнение зависимости размеров кредитов, выданных предприятиям и организациям, в млн. руб. (y) от собственного капитала, млн руб. (x): y = 710,967 + 3,057 ∙ x . Исходные данные упорядочены по убыванию величины собственного капитала. По величинам остатков рассчитан коэффициент автокорреляции первого порядка, равный -0,45539. На рисунке представлен график остатков.

Значение критерия Дарбина–Уотсона составит … (Полученное значение округлите до десятых.)

Решение:

Статистика Дарбина–Уотсона вычисляется по формуле , где – коэффициент автокорреляции первого порядка. Поскольку = –0,45539, то статистика Дарбина–Уотсона d = 2 · (1 — (-0,45539)) = 2,9.

Установите соответствие между структурной формой модели и приведенной формой модели

(1)

где C – личное потребление в постоянных ценах,

y – национальный доход в постоянных ценах,

I – инвестиции в постоянных ценах

(2)

где R – процентная ставка,

M – денежная масса,

где C – личное потребление в постоянных ценах,

y – национальный доход в постоянных ценах,

I – инвестиции в постоянных ценах

где R – процентная ставка,

M – денежная масса,

I – инвестиции

где C – личное потребление в постоянных ценах,

y – национальный доход в постоянных ценах,

I – инвестиции в постоянных ценах

Решение:

Для модели Кейнса, которой является система (1), экзогенной переменной будет только переменная I (инвестиции). Поэтому приведенная форма модели имеет следующий вид:

Неправильный вариант ответа для этой модели

В этом случае перепутаны эндогенные и экзогенные переменные.
Для модели денежного рынка, которой является система (2), экзогенными переменными будут M (объем денежной массы) и I (инвестиции). Поэтому правильный вариант ответа для системы (2) –

Тема 24: Методы оценки параметров систем одновременных уравнений: косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

1. Если записать типы эконометрических моделей в следующем порядке:

1) точно идентифицируемая система одновременных уравнений,

2) сверхидентифицируемая система одновременных уравнений,

3) уравнение множественной регрессии,

4) уравнение множественной регрессии при автокорреляции остатков,
то методы, применяемые для нахождения параметров соответствующих типов эконометрических моделей, будут расположены в следующем порядке

косвенный метод наименьших квадратов

двухшаговый метод наименьших квадратов

метод наименьших квадратов

обобщенный метод наименьших квадратов

Решение:

Для нахождения структурных коэффициентов точно идентифицируемой системы одновременных уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Для нахождения структурных коэффициентов сверхидентифицируемой системы одновременных уравнений применяется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Для нахождения параметров уравнения множественной регрессии применяется обычный метод наименьших квадратов.

Для нахождения параметров уравнения множественной регрессии при наличии гетероскедатичности или автокорреляции остатков применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Поэтому порядок методов, соответствующих типам эконометрических моделей будет следующий:

– косвенный метод наименьших квадратов;

– двухшаговый метод наименьших квадратов;

– метод наименьших квадратов;

– обобщенный метод наименьших квадратов.

Система независимых эконометрических уравнений может быть идентифицирована с помощью обычного метода наименьших квадратов. Определите последовательность этапов алгоритма оценки параметров для такой модели.

оценка возможности идентификации модели как системы независимых уравнений

разделение системы независимых уравнений на отдельные уравнения регрессии

построение общего вида системы нормальных уравнений для каждого уравнения системы и расчет необходимых значений сумм

решение системы нормальных уравнений для каждого уравнения системы

подстановка найденных значений оценок параметров в уравнения системы

Решение:

Для оценки параметров системы независимых уравнений может применяться обычный метод наименьших квадратов; при этом каждое уравнение системы рассматривается как изолированное уравнение, к которому и применяется МНК. Таким образом, алгоритм применения обычного МНК к системе независимых уравнений следующий: 1) разложение системы независимых уравнений на отдельные (изолированные) уравнения регрессии, число которых определяется количеством эндогенных переменных модели; 2) построение системы нормальных уравнений для каждого отдельного (изолированного) уравнения; 3) расчет оценок параметров каждого отдельного (изолированного) уравнения; 4) запись системы независимых уравнений с найденными значениями оценок параметров.

3. Дана система одновременных эконометрических уравнений:

Система является точно идентифицируемой. Определите последовательность этапов алгоритма оценки ее параметров.

преобразование структурной формы модели в приведенную форму вида

оценивание параметров приведенной формы модели (приведенных коэффициентов) для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются

трансформация коэффициентов приведенной формы модели в параметры структурной формы модели и

подстановка найденных значений коэффициентов в структурную форму системы эконометрических уравнений

Решение:

В случае точно идентифицируемой структурной формы модели для оценки ее параметров применяют косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). При этом соблюдают следующую последовательность этапов КМНК:
1) структурная форма модели преобразовывается в приведенную форму модели; так как в системе 4 экзогенных переменных – (х₁, х₂, х₃ и х₄),то у правой части приведенной формы модели записывается сумма четырех произведений соответствующих коэффициентов приведенной формы и экзогенных переменных; для данной системы приведенная форма будет иметь вид

2) для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются параметры приведенной формы модели – приведенные коэффициенты ;

3) коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной формы модели и ;

4) найденные значения коэффициентов подставляются в структурную форму системы эконометрических уравнений.

5. При проверке счетного правила выяснилось, что для всех уравнений системы одновременных уравнений выполняется необходимое условие идентификации и все уравнения по счетному правилу точно идентифицируемы. Чтобы получить структурные коэффициенты системы, действия нужно выполнить в следующем порядке:

для каждого уравнения проверить условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов, присутствующих в других уравнениях, но отсутствующих в данном уравнении

преобразовать структурную форму модели в приведенную форму модели

для каждого уравнения приведенной формы модели обычным методом наименьших квадратов оценить приведенные коэффициенты

коэффициенты приведенной формы модели преобразовать в параметры структурной модели

Решение:

Так как выполнение счетного правила является только необходимым, но не достаточным условием идентификации, то сначала нужно проверить выполнение достаточного условия идентификации.

Другими словами, сначала для каждого уравнения нужно проверить условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов, присутствующих в других уравнениях, но отсутствующих в данном уравнении.
После проверки выполнения достаточного условия идентификации можно применять косвенный метод наименьших квадратов. Применяем косвенный метод наименьших квадратов, поскольку все уравнения системы являются точно идентифицируемыми. Второе действие – преобразование структурной формы модели в приведенную форму модели.

Третье действие – нахождение для каждого уравнения приведенной формы модели обычным методом наименьших квадратов приведенных коэффициентов.

И, наконец, четвертое действие – преобразование коэффициентов приведенной формы модели в параметры структурной модели.

6. При проверке счетного правила выяснилось, что для всех уравнений системы одновременных уравнений выполняется необходимое условие идентификации и все уравнения по счетному правилу сверхидентифицируемы. Чтобы получить структурные коэффициенты системы, действия нужно выполнить в следующем порядке:

для каждого уравнения проверить условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов, присутствующих в других уравнениях, но отсутствующих в данном уравнении

преобразовать структурную форму модели в приведенную форму модели

для каждого уравнения приведенной формы модели обычным методом наименьших квадратов оценить приведенные коэффициенты

на основе коэффициентов приведенной формы модели получить теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части сверхидентифицированных уравнений

5 применить обычный метод наименьших квадратов, подставив вместо фактических значений эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения, рассчитанные теоретические значения, и получить структурные коэффициенты модели

Решение:

Так как выполнение счетного правила является только необходимым, но недостаточным условием идентификации, то сначала нужно проверить выполнение достаточного условия идентификации.

Другими словами, сначала для каждого уравнения проверить условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов, присутствующих в других уравнениях, но отсутствующих в данном уравнении.

Поскольку все уравнения системы сверхидентифицируемы, то
после проверки выполнения достаточного условия идентификации можно применять двухшаговый метод наименьших квадратов.

Второе действие – преобразование структурной формы модели в приведенную форму модели.

Третье действие – нахождение для каждого уравнения приведенной формы модели обычным методом наименьших квадратов приведенных коэффициентов.

Четвертое действие – получение на основе коэффициентов приведенной формы модели теоретических значений эндогенных переменных, содержащихся в правой части сверхидентифицированных уравнений.

И, наконец, следует применить обычный метод наименьших квадратов, подставив вместо фактических значений эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения, рассчитанные теоретические значения, и получить структурные коэффициенты модели.

Кейс 1 подзадача 1

1. По 72 банкам построено уравнение зависимости размеров кредитов, выданных предприятиям и организациям, в млн. руб. (y) от собственного капитала, млн руб. (x): y = 710,967 + 3,057 ∙ x . Исходные данные упорядочены по убыванию величины собственного капитала. По величинам остатков рассчитан коэффициент автокорреляции первого порядка, равный -0,45539. На рисунке представлен график остатков.

Проанализировав график остатков, можно сделать вывод о том, что …

нарушена предпосылка о гомоскедастичности остатков

нарушена предпосылка о гетероскедастичности остатков

все предпосылки МНК соблюдены

нарушена предпосылка о нормальном распределении остатков

Решение:

Исследования остатков e_i предполагают проверку пяти предпосылок метода наименьших квадратов:

1) случайный характер остатков;

2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;

3) гомоскедастичность остатков – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x_i;

4) отсутствие автокорреляции остатков (значения остатков e_i распределены независимо друг от друга);

5) остатки подчиняются нормальному закону распределения.
Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков не зависит от независимой переменной. В данном случае, согласно анализу графика остатков, это не так. При небольших значениях x_i величины остатков невелики, при увеличении значений x_i величины остатков также увеличиваются, то есть предпосылка о гомоскедастичности остатков нарушается.

Ответы «нарушена предпосылка о гетероскедастичности остатков» и «нарушена предпосылка о наличии автокорреляции остатков» говорят от предпосылках, которых не существует.