Критериальные уравнения конвективной диффузии
При анализе процессов диффузии и массопередачи широко используются различные критерии и критериальные уравнения. Эти критерии носят в основном те же наименования, что и критерии теплопередачи, но к ним добавляется слово «диффузионный».
Диффузионный критерий Нуссельта, характеризующий соотношение интенсивности переноса вещества конвекцией и молекулярной диффузией у границы фазы:
.
Критерий Био является мерой сравнения скорости переноса вещества в пограничном слое у поверхности раздела фаз и скорости переноса внутри фазы. В процессах, где перенос вещества осуществляется из твердой фазы, вместо критерия Нуссельта используется диффузионный критерий Био:
где kД — коэффициент массопроводности или коэффициент внутренней диффузии. Таким образом, критерийБио является мерой сравнения скорости внешней и внутренней диффузии извлекаемого из твердой фазы вещества.
Диффузионный критерий Фурье характеризует изменение скорости потока диффундирующей массы во времени и используется для характеристики нестационарных процессов:
.
Диффузионный критерий Пекле:
Преобразуем критерий и представим его в виде произведения:
Диффузионный критерий Прандтля характеризует подобие полей физических величини определяется только физическими свойствами вещества.
В общем виде критериальное уравнение конвективной диффузии записывается:
(3-10)
Критерий Нуссельта, содержащий искомую величину — коэффициент массоотдачи , необходимый для расчета коэффициента массопередачи К, в этом уравнении является определяемым в отличие от других критериев, которые являются определяющими, т.е. составленными целиком из параметров, входящих в условие однозначности.
Конкретные критериальные уравнения в явном виде (в виде степенной функции) приводятся при описании соответствующих массообменных процессов. По значениям критерия Нуссельта, найденных по критериальным уравнениям, определяют коэффициенты массоотдачи для каждой фазы:
, а затем — коэффициент массопередачи .
Дата добавления: 2016-11-29 ; просмотров: 3811 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МАССОПЕРЕДАЧИ
В процессах массопередачи следует различать несколько случаев массообмена: между потоком газа или пара и потоком жидкости; между потоками жидкости; между потоками жидкости и твердой фазой; между потоками газа или пара и твердой фазой.
Основными законами массопередачи являются закон молекулярной диффузии (первый закон Фика), закон массоотдачи (закон Ньютона — Щукарева) и закон массопроводности.
Закон молекулярной диффузии (первый закон Фика), основанный на том, что диффузия в газах и растворах жидкостей происходит в результате хаотического движения молекул, приводящего к переносу молекул распределяемого вещества из зоны высоких концентраций в зону низких концентраций, гласит: количество вещества, перенесенного путем диффузии, пропорционально градиенту концентраций, площади, перпендикулярной направлению диффузионного потока, и продолжительности процесса:
, (12.9)
где: dM – количество вещества, перенесённого путём диффузии; D – коэффициент пропорциональности, или коэффициент диффузии; — градиент концентрации в направлении диффузии; F – элементарная площадка, через которую происходит диффузия; dτ – продолжительность диффузии.
Коэффициент диффузии показывает, какое количество вещества диффундирует через поверхность в 1 в течение 1 ч при разности концентраций на расстоянии 1 м, равной единице.
Знак «минус» в правой части уравнения показывает, что при молекулярной диффузии концентрация убывает.
Если единицы измерений [М] = [кг], [Р] = [ ], [τ] = [ч], [С] = [кг/ ] и [ ]=[м], то размерность коэффициента диффузии определится из уравнения (12.9):
.
Значения коэффициента диффузии обычно берут из справочников или находят по следующим формулам:
; (12.10)
, (12.11)
где: Т – температура, К; — давление, Па; и — мольные объемы взаимодействующих веществ, ; и — молекулярные массы веществ, кг/кмоль; — динамическая вязкость, , А и В — опытные константы, зависящие от природы вещества.
Коэффициенты диффузии зависят от агрегатного состояния систем. Для газов коэффициенты диффузии имеют значения (0,1. 1,0)10 -4 . Они примерно на четыре порядка выше, чем для жидкостей. С увеличением температуры коэффициенты диффузии возрастают, а с повышением давления уменьшаются.
Коэффициенты диффузии в газах почти не зависят от концентрации, в то время как коэффициенты диффузии в жидкостях изменяются с изменением концентрации диффундирующего вещества.
Дифференциальное уравнение молекулярной диффузии (второй закон Фика) получают, рассмотрев материальный баланс по распределяемому веществу для элементарного параллелепипеда, выделенного мысленно в потоке одной из фаз (рис. 12.3).
Рис. 12.3. К выводу дифференциального уравнения молекулярной диффузии
Пусть через этот элементарный параллелепипед за счет молекулярной диффузии перемещается вещество. Если через грани , и проходят количества вещества, соответственно равные , , , то через противоположные грани выходят количества вещества , , , т. е. элементарный объем параллелепипеда приобретает диффундирующее вещество в количестве . При этом концентрация вещества повышается на . Согласно основному закону молекулярной диффузии (первый закон Фика)
;
.
.
Аналогично найдем разности между количествами вещества, прошедшего через другие противоположные грани параллелепипеда.
Общее количество приобретенного вещества
. (12.12)
Это же количество вещества можно найти умножением объема параллелепипеда на изменение концентрации диффундирующего вещества за время :
. (12.13)
Приравнивая уравнения (12.12) и (12.13), получим дифференциальное уравнение молекулярной диффузии
. (12.14)
Основной закон массоотдачи, который является аналогом закона Ньютона, был установлен русским ученым Щукаревым при изучении растворения твердых тел. Этот закон формулируется так: количество вещества, перенесенного потоком от поверхности раздела фаз (контакта фаз) в воспринимающую фазу или в обратном направлении, прямо пропорционально разности концентраций у поверхности контакта фаз и в ядре потока воспринимающей фазы, площади поверхности контакта фаз и продолжительности процесса.
Согласно теории диффузионного пограничного слоя распределяемое вещество переносится из ядра потока жидкости к поверхности раздела фаз непосредственно конвективными потоками жидкости и молекулярной диффузией. В рассматриваемой системе (рис. 12.4) различают ядро потока и приграничный диффузионный слой. В ядре перенос вещества осуществляется преимущественно потоками жидкости или газа. В условиях турбулентного течения потоков концентрация распределяемого вещества в данном сечении в условиях стационарного режима сохраняется постоянной. По мере приближения к пограничному диффузионному слою турбулентный перенос снижается и начинает увеличиваться перенос за счет молекулярной диффузии. При этом появляется градиент концентрации распределяемого вещества, растущий по мере приближения к границе. Таким образом, область пограничного диффузионного слоя — это область появления и роста градиента концентрации, область увеличения влияния скорости молекулярной диффузии на общую скорость массопередачи.
Рис.12.4. К выводу уравнения массоотдачи
Примем, что распределяемое вещество М переходит из фазы G, в которой его концентрация выше равновесной, в фазу L.
Если концентрации вещества в ядрах фаз принять равными и , а концентрации на поверхности раздела фаз — соответственно и , , то процесс массоотдачи вещества из ядра фазы G к поверхности раздела фаз и от поверхности раздела фаз в ядро фазы L можно записать так:
; (12.15)
,
где: , — коэффициенты массоотдачи, характеризующие перенос вещества конвективными и диффузионными потоками одновременно; концентрации и предполагаются равными равновесным, т. е. и .
Размерность коэффициента массоотдачи .
Коэффициент массоотдачи показывает, какое количество вещества передается от поверхности контакта фаз площадью в 1 в ядро воспринимающей фазы или в обратном направлении в течение единицы времени при разности движущих сил, равной единице.
По физическому смыслу коэффициенты массоотдачи отличаются от коэффициентов массопередачи, но выражаются в одинаковых единицах.
Для установившегося процесса выражает количество вещества, перенесенного от поверхности контакта фаз в ядро или из ядра потока к ее поверхности в единицу времени.
Для этого случая уравнение (12.15) перепишется так:
.
Если для всей поверхности контакта фаз,
. (12.16)
Если рассмотреть вновь элементарный объем фазы (см. рис. 12.3), перемещающийся в пограничном слое, то можно утверждать, что концентрация распределяемого вещества в нем меняется не только за счет молекулярной диффузии, но также и за счет турбулентного переноса его. В этом случае концентрация распределяемого вещества будет функцией не только координат и времени, как в случае только молекулярной диффузии, но и скорости перемещения.
Соответственно этому изменение концентрации G выразим через субстанциональную производную:
. (12.17)
В этом уравнении сумма членов характеризует конвективное изменение концентрации, а — локальное.
Увеличение количества распределяемого вещества за счет молекулярной диффузии определяется уравнением (12.14). Приравнивая уравнение (12.17) к (12.14) и заменяя локальное изменение концентрации на полное в (12.17), получим дифференциальное уравнение конвективной диффузии
. (12.18)
Для полного математического описания процесса это уравнение должно быть дополнено уравнением, характеризующим условие на границе раздела фаз.
Количество вещества, передаваемого из фазы в фазу у границы, определяется основным законом конвективной диффузии (12.15). У поверхности раздела фаз вещество переходит из фазы в фазу, как было установлено выше, за счет молекулярной диффузии [см. уравнение (12.9)]. Приравнивая эти уравнения, получим
, (12.19)
где: — движущая сила процесса.
Уравнение (12.19) характеризует условие массообмена на границе фазы и дополняет уравнение (12.18), являясь вместе с ним математическим описанием процесса конвективной диффузии.
Критериальные уравнения конвективной диффузии получают из уравнений (12.18) и (12.19).
Для получения диффузионных критериев, подобия воспользуемся методами теории подобия. Из уравнения (12.19) получим безразмерный комплекс , из которого после сокращения получают диффузионный критерий Нуссельта
, (12.20)
который характеризует условия на границе рассматриваемой фазы, т. е. выражает отношение интенсивности переноса вещества в ядре фазы конвективной диффузией к интенсивности переноса в диффузионном слое, где интенсивность переноса определяется молекулярной диффузией D.
Из дифференциального уравнения конвективной диффузии (12.18), разделив все члены на , получим безразмерные комплексы
и
и соответственно диффузионный критерий Фурье
(12.21)
и диффузионный критерий Пекле
. (12.22)
Критерий характеризует изменение скорости потока диффундирующей массы во времени и используется для характеристики нестационарных процессов диффузии. Преобразуем критерий и представим его в виде произведения
.
Диффузионный критерий Прандтля характеризует подобие полей физических величин и определяется только физическими свойствами вещества. Найдя критерии подобия, характеризующие явление массообмена, запишем общее критериальное уравнение конвективной диффузии
. (12.23)
Критерий Нуссельта в этом уравнении является определяемым в отличие от других критериев, которые являются определяющими, т. е. составленными целиком из параметров, входящих в условие однозначности. Коэффициент массоотдачи, входящий в критерий Нуссельта, не входит в условие однозначности и является искомой величиной.
В явном виде уравнение (12.23) перепишется так:
. (12.24)
Критерий Грасгофа в этом уравнении характеризует конвективную диффузию в условиях естественной конвекции.
В случае стационарных процессов из общего критериального уравнения исключается критерий Фурье и оно приобретает вид
. (12.25)
При вынужденном движении можно пренебречь естественной конвекцией. В этом случае из уравнения (12.25) выпадает критерий Грасгофа и уравнение приобретает вид
. (12.26)
Конкретные критериальные уравнения приводятся в соответствующих главах этой части.
По значениям критерия Нуссельта, найденным по критериальным уравнениям, определяют коэффициент массоотдачи
. (12.27)
Между переносом теплоты, массы и механической энергии существует, как отмечалось ранее, аналогия, эти процессы описываются однотипными дифференциальными уравнениями.
При рассмотрении движения потока жидкости в трубе различают пограничный слой и ядро потока. В ядре турбулентного потока происходит выравнивание скоростей по нормали к вектору скорости, в пограничном же слое происходит резкое изменение скорости потока до нуля. Такое же выравнивание температур и концентраций происходит в процессах тепло- и массопередачи. Таким образом, имеет место аналогия между этими процессами.
Исходя из этой аналогии, можно приближенно определять коэффициенты массоотдачи по данным о трении жидкостного потока или о скорости переноса теплоты.
На основании гидродинамической аналогии можно определить отношение коэффициента массоотдачи к средней скорости потока , которое представляет собой безразмерную величину и носит название диффузионного критерия Стантона
.
Критерий Стантона характеризует подобие полей концентраций и скоростей при массоотдаче в турбулентных потоках.
Существует связь между коэффициентом массопередачи и коэффициентами массоотдачи. Рассмотрим процесс массопередачи при переходе распределяемого вещества из фазы G в фазу L при условии линейных зависимостей между рабочими и равновесными концентрациями (см. рис. 12.4). Примем, что на границе раздела фаз достигается равновесие.
Количество вещества, перемещающегося из фазы G к поверхности на границе раздела фаз, может быть определено по уравнению
,
где: — коэффициент массоотдачи для фазы, G.
Количество распределяемого вещества, перемещающегося от элемента поверхности в фазу L, может быть вычислено также по фазе L по уравнению (12.15). В этом случае движущую силу следует выразить разностью :
,
где: — коэффициент массоотдачи для фазы L.
Так как известна равновесная зависимость , концентрацию в фазе L можно выразить через равновесную в фазе G:
.
.
Сложим левые и правые части этих уравнений
,
так как .
Из основного уравнения массопередачи (12.4) получим
.
Приравнивая правые части уравнения, получим
или . (12.28)
Рассуждая аналогично, для фазы L будем иметь
или . (12.29)
Левые части этих уравнений представляют собой общее диффузионное сопротивление переносу, а их правые части — сумму диффузионных сопротивлений массоотдаче в фазах. Зависимости (12.28) и (12.29) являются поэтому уравнениями аддитивности фазовых сопротивлений.
Коэффициенты и связаны соотношением . Числовые значения коэффициентов массопередачи определяются значениями коэффициентов массоотдачи и углом наклона равновесной линии. Коэффициенты массоотдачи определяют по критериальным уравнениям.
Дата добавления: 2015-03-14 ; просмотров: 4876 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Упаковочное оборудование, запайщики, микродозаторы
Расфасовочное оборудование для малого бизнеса
ПОДОБИЕ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Общность дифференциальных уравнений теплообмена (3.40) и массообмена (15.25) позволяет полагать, что основные критерии массообменных процессов должны быть аналогичны основным
Рассмотрим уравнения массопереноса на границе раздела фаз.
Из одной фазы в другую переходит количество массы, равное
Где J*p равновесная концентрация на границе раздела фаз.
Это же количество массы переносится молекулярной диффузией через пограничный слой:
В этих уравнениях трудноопределимы величины УТр и ^-толщина пограничного слоя, через который проходит вещество молекулярной диффузией. Отсюда
Перемножим на масштабные множители каждый член последнего уравнения:
Где /-определяющий геометрический размер.
Данный безразмерный комплекс является аналогом теплового критерия Нуссельта (Nu == а//Х,) и называется поэтому диффузионным критерием Нуссельта (иногда — критерием Шервуда Sh). Критерий Нуссельта Nu’ является Определяемым критерием, поскольку в него входит величина Р. Так как Nu’ — P/D, то Nu’ характеризует отношение скорости переноса вещества (конвективного и молекулярного-?) к молекулярному переносу (D).
Другие критерии массообменных процессов получим из дифференциального уравнения конвективной диффузии (15.25). Переписав уравнение (15.25) относительно оси Х:
И проведя его подобное преобразование, получим следующие критерии подобия:
Ф rD//2 = Fo’-диффузионный критерий Фурье (аналог теплового критерия Фурье Fo == Тй//2), который характеризует подобие неустановившихся процессов массообмена;
WI/D == Ре’-диффузионный критерий Пекле (аналог теплового ;перия Пекле Р == Wl/A).
Критерий Ре’ ^ W/D характеризует отношение переноса ве-. ива конвекцией (W) к молекулярному переносу (D) в сходст-ппых точках подобных систем. Часто критерий Ре’ заменяют ношением
Диффузионный критерий Прандтля Рг’ является аналогом теп-ного критерия Рг = у/а (иногда критерий Рг’ называют критерием Пмидта Sc).
Формально критерий Рг’ выражает постоянство отношения фи-гчсских свойств жидкости или газа в сходственных точках подоб-1 ч.1 систем. По существу же критерий Рг’ характеризует отношение цофиля скоростей (через v) к профилю концентраций (через D), т. е. ношение толщины гидродинамического и диффузионного погра-! 1 шых слоев.
Для соблюдения подобия процессов массоотдачи необходимо. к же соблюдение гидродинамического подобия. Поэтому крите-s и лльное уравнение массоотдачи для неустановившегося процесса • ют иметь следующий вид (Г — геометрический симплекс-см. 5^:
При установившемся процессе и при отсутствии влияния сил
/к сети (т. е. при Fo’ -=- 0 и Ga == О):
^ П, w, носких условиях
С помощью выражения (15.31) можно найти соотношение между »)ффициентами тепло — и массоотдачи:
Чорое позволяет по известному значению, например а, опреде-;пь величину коэффициента массоотдачи? при одних и тех же | фодинамических условиях.
http://helpiks.org/2-105082.html
http://pak.com.ua/processy-i-apparaty-upakovochnogo-proizvodstva/podobie-massoobmennyx-processov/