По заданному уравнению поступательного движения груза

По заданному уравнению поступательного движения груза

Яблонский задание К.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях.
Движение груза 1 должно описываться уравнением
x=c₂t 2 + c₁t + c₀, (1)
где t-время, с; c_0-2-некоторые постоянные.
В начальный момент времени (t=0) координата груза должна быть x₀, а его скорость-v₀.
Кроме того, необходимо, чтобы координата груза в момент времени t=t₂ была равна x₂.
Определить коэффициенты c₀, c₁ и c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t₁ скорость и ускорение груза и точки M одного из колес механизма.
Схемы механизмов показаны на рис. 68-70, а необходимые данные приведены в табл. 23.

Определение угловых скоростей всех колес механизма как функцию времени

Страницы работы

Содержание работы

Задание для контрольной работы по теоретической механике (кинематика К3)

a) Механизм состоит из ступенчатых колес 1,2,3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на ступень колеса 3. Радиусы ступеней колес равны соответственно r₁=2см, R₁=4см, r₂=6см, R₂=8см, r₃=12см, R₃=16см. На ободьях колес расположены точки А и С. Ведущим звеном механизма является рейка 4, ее закон движения – s₄=4(7t-t 2 ). Определить в момент времени t=2с скорости v_A, v_C и ускорения e₂, a_A, a₅.

b) По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 ( x = 4+90t 2 , x измеряется в см, t – в секундах ) определить скорость, а также тангенциальное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен 0.5м. Данные для расчета: R₂=20см, r₂=10см, R₃=30см, r₃=10см.

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функцию времени t. Зная закон движения рейки 4, находим ее скорость:

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂=v₄ или w₂R₂=v₄.

Отсюда

Колеса 1 и 3 находятся во внешнем зацеплении, поэтому v₁=w₁R₁=v₃=w₃R₃ и

2. Определяем v_A. Так как v_A=w₁R₁, то и при t=2с после подстановки всех численных значений получим v_A=18 см/с

3. Определяем v_С. Так как точка С лежит на ободе ступени колеса 3, радиус которой – r₃, то v_C=u₃=w₃r₃. Подставив сюда численные значения будем иметь:

4. Определяем угловое ускорение e₂. Получим его просто продифференцировав по времени зависимость w₂ от t и подставив численные значения:

На рисунке дуговые стрелки угловых скоростей колес направлены противоположно дуговым стрелкам угловых ускорений. Это означает, что в рассматриваемый момент времени (t=2с) колеса механизма замедляют свое вращение (в частности, e₂ имеет отрицательное значение).

5. Для определения a_A (ускорение точки A) примем во внимание, что

.

Нормальное (центростремительное) ускорение точки А численно равно a_An = 81 см/с 2 , тангенциальное (касательное) ускорение a_At= -12 см/с 2 . Отрицательное значение показывает, что вектор a_At направлен противоположно вектору скорости v_A, вектор нормального ускорения направлен к центру колеса 1.

Полное ускорение точки А, таким образом, равно:

81.88 см/с 2 .

6. Определяем a₅. Ускорение a₅ груза 5 равно тангенциальному ускорению точки С a_Ct:

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.

1. Определяем сначала угловые скорости и ускорения всех колес как функцию времени t. Зная закон движения груза 1, находим его скорость:

Так как нить намотана на внешнюю ступень колеса 2, то v₁=v₂ или v₁=w₂R₂.

Отсюда ;

Внешняя ступень колеса 3 находится в зацеплении с внутренней ступенью колеса 2, скорости точек этих ступеней равны : v₃=u₂ или w₃R₃=w₂r₂. Получаем

Угловые скорости и ускорения имеют одинаковые знаки, поэтому их дуговые стрелки изображены на рисунке направленными в одинаковые стороны.

2. Определяем время, за которое груз 1 пройдет заданный путь:

3. Определяем скорость v_M. Точка М находится на ободе ступени радиуса r₃, ее скорость равна u₃ = v_M = w₃r₃. Для t=0.7с вычисляем скорость точки: v_M = 2.1см/с. Скорость точки направлена по касательной к ободу ступени колеса 3.

4. Определяем тангенциальное ускорение a_t точки М. Для него имеем:

Это ускорение направлено по касательной к ободу ступени колеса 3, также, как и скорость v_M.

5. Определяем центростремительное ускорение a_n точки М. Это ускорение определяется по формуле , что дает нам значение a_n=0.441 см/с 2 . Центростремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

6. Полное ускорение точки М получим по формуле : , это даст нам значение a=30.003 см/с 2 , то есть полное ускорение почти полностью определяется своей тангенциальной компонентой.

Контрольная работа Статика Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного расположения приложенных к телу сил, рекомендуется проводить в следующем порядке: Выделить твердое тело,

Главная > Решение

«Определить скорость и ускорение точки тела при поступательном и вращательном движении»

В задаче требуется по заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также тангенциальное, центростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени t = t 1 . В начальный момент времени t = 0 положение груза определяется координатой x 0 и он имеет скорость v 0 . В момент времени t = t 2 координата груза равна x 2 .

В задаче используется механизм, преобразующий простейшие движения: вращательное в поступательное (и наоборот); поступательное в поступательное; вращательное вокруг одной неподвижной оси во вращательное вокруг другой неподвижной оси. Для передачи движения применяются зубчатые, фрикционные и ременные передачи.

Алгоритм решения данной задачи на преобразование движений:

Записать уравнение движения для того тела, движение которого известно. В данном случае это движение груза 1 . Оно должно описываться уравнением

, , ,

где t – время; с 0 , с 1 , с 2 – некоторые постоянные . Необходимо определить эти коэффициенты, исходя из условий ( t = 0, t = t 2 ).

Определив коэффициенты, вычислить скорость и ускорение движения груза в момент времени t = t 1 .

Пользуясь формулами кинематики точки и формулами кинематики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, найти уравнение движения другого тела, которому передается движение от первого, значит, в конечном счете, и точки М .

Напомним некоторые связи между характеристиками вращательного и поступательного движения точки:

, ,

, , .

R 2 = 40 см, r 2 = 25 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 9 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 65 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 179 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 20 см, R 3 = 40 см,

x 0 = 7 см, v 0 = 0 см/с, x 2 = 557 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 3 см/с, x 2 = 80 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 2 см/с, x 2 = 189 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 4 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 220 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 3 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 4 см/с, x 2 = 44 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 3 см, v 0 = 12 см/с, x 2 = 211 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 505 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 3 c.

R 2 = 25 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 10 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 277 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 10 см, R 3 = 30 см, r 3 = 10 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 5 см/с, x 2 = 356 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 20 см, R 3 = 35 см,

x 0 = 7 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 103 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 30 см, R 3 = 30 см, r 3 = 15 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 9 см/с, x 2 = 194 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 15 см, R 3 = 40 см, r 3 = 20 см,

x 0 = 9 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 105 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 50 см, r 2 = 20 см, R 3 = 60 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 4 см/с, x 2 = 119 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 32 см, r 2 = 16 см, R 3 = 32 см, r 3 = 16 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 14 см/с, x 2 = 862 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 18 см, R 3 = 40 см, r 3 = 18 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 193 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 20 см, R 3 = 40 см, r 3 = 15 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 5 см/с, x 2 = 347 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 25 см, r 2 = 20 см, R 3 = 50 см, r 3 = 25 см,

x 0 = 4 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 32 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 15 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 10 см, v 0 = 7 см/с, x 2 = 128 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

Контрольная работа 3. Динамика

«Применение теоремы об изменении импульса к определению скорости материальной точки»

В задаче рассматривается тело массой m , которому сообщена начальная скорость v 0 , направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. На тело действует сила P , направленная в ту же сторону. Зная закон изменения силы P и коэффициент трения скольжения f , определить скорость тела в момент времени t 1 .

Изменение силы P между указанными значениями считать линейным.

Алгоритм решения задачи:

Сделать рисунок, обозначив силы, действующие на тело: 1) вес G , нормальная реакция опоры N , сила трения скольжения F и сила P .

Построить график изменения силы P = P ( t ) по заданным значениям.

Записать выражения, определяющие значение сил в проекции на ось x :

— сила тяжести;

— сила трения.

Принимая тело за материальную точку, составить уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось x для интервала времени от 0 до t 1 : изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной к точке, за тот же промежуток времени

.

Здесь S – сумма всех сил приложенных к телу: ,

в проекциях на ось x :

,

,

.

Последний интеграл можно определить по графику P = P ( t ) как площадь фигуры, лежащей под графиком в интервале времени от 0 до t 1 .

С учетом найденного значения импульса переменной силы P найти величину скорости v 1 .

m = 35 кг, v 0 = 5,4 м/с, t 1 = 4 c, = 25 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,1

m = 20 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 6 c, = 37 0 ,

P 0 = 200 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,25

m = 25 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 4 c, = 21 0 ,

P 0 = 150 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,1

m = 10 кг, v 0 = 4,5 м/с, t 1 = 5 c, = 32 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 180 Н, f = 0,12

m = 16 кг, v 0 = 9 м/с, t 1 = 4 c, = 24 0 ,

P 0 = 50 Н, P 1 = 120 Н, f = 0,08

m = 40 кг, v 0 = 4 м/с, t 1 = 4 c, = 25 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,06

m = 20 кг, v 0 = 8 м/с, t 1 = 5 c, = 25 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,2

m = 16 кг, v 0 = 7,6 м/с, t 1 = 6 c, = 23 0 ,

P 0 = 75 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,12

m = 12 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 6 c, = 20 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 140 Н, f = 0,2

m = 50 кг, v 0 = 12 м/с, t 1 = 2 c, = 27 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 250 Н, f = 0,08

m = 10 кг, v 0 = 5 м/с, t 1 = 6 c, = 35 0 ,

P 0 = 50 Н, P 1 = 100 Н, f = 0,24

m = 12 кг, v 0 = 3 м/с, t 1 = 3 c, = 42 0 ,

P 0 = 60 Н, P 1 = 180 Н, f = 0,15

m = 10 кг, v 0 = 8 м/с, t 1 = 4 c, = 30 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 150 Н, f = 0,18

m = 20 кг, v 0 = 8,5 м/с, t 1 = 5 c, = 23 0 ,

P 0 = 40 Н, P 1 = 100 Н, f = 0,07

m = 14 кг, v 0 = 9 м/с, t 1 = 7 c, = 18 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 140 Н, f = 0,15

m = 20 кг, v 0 = 3 м/с, t 1 = 5 c, = 39 0 ,

P 0 = 150 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,12

m = 24 кг, v 0 = 10 м/с, t 1 = 6 c, = 15 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 240 Н, f = 0,2

m = 15 кг, v 0 = 13 м/с, t 1 = 8 c, = 26 0 ,

P 0 = 110 Н, P 1 = 150 Н, f = 0,22

m = 15 кг, v 0 = 7,2 м/с, t 1 = 3 c, = 30 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 120 Н, f = 0,3

m = 22 кг, v 0 = 8,2 м/с, t 1 = 2 c, = 15 0 ,

P 0 = 70 Н, P 1 = 110 Н, f = 0,15

«Определение потенциальной энергии в данной точке поля»

На материальную точку, помещенную в силовое поле, действует со стороны поля сила, проекции которой F x , F y , F z заданы. Определить потенциальную энергию в заданной точке М поля.

Алгоритм решения задачи:

Определить, является ли данное силовое поле потенциальным. Для этого проверить, удовлетворяют ли частные производные проекций силы условиям:

; ; .

Если условия выполнены, то можно определять величину потенциальной энергии П в данной точке M ( x , y , z ). Она равна работе сил поля по перемещению материальной точки от данной точки М до 0:

.

Так как работа сил потенциального поля не зависит от пути интегрирования, можно выбрать его наиболее удобным для решения способом. Такой путь будет не прямая МО , а три отрезка МА, АВ, ВО, параллельные осям координат x , y , z . Тогда

П = А МО = А МА + А АВ + А ВО .

Вычислить работу на каждом из участков, учитывая, что:

на участке МА x = const , dx = 0, y = const , dy = 0, z изменяется от z до 0;

на участке А B x = const , dx = 0, z = 0, dz = 0, y изменяется от y до 0;

на участке BO y = 0, z = 0, dy = 0, dz = 0, x изменяется от x до 0 .

Найти значение П .

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = xz 2 , F y = y 2 , F z = x 2 z,

F x = x 3 , F y = yz 2 , F z = y 2 z,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = z,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = z 2 ,

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = x 2 z 3 , F y = y, F z = x 3 z 2 ,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = 5z,

F x = xz 2 , F y = y 3 , F z = x 2 z,

F x = xy 2 z, F y = x 2 yz, F z = x 2 y 2 ,

F x = x 2 , F y = y, F z = z 2 ,

F x = x, F y = y 2 , F z = z 3 ,

F x = 2x, F y = y 3 , F z = z,

F x = x 2 y 3 z 3 , F y = x 3 y 2 z 3 , F z = x 3 y 3 z 2 ,

F x = xz 2 , F y = -y 3 , F z = x 2 z,

F x = xy 2 , F y = x 2 y, F z = 4z,

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = 2x 2 , F y = 3y, F z = z 3 ,

F x = x 2 y 3 z 3 , F y = x 3 y 2 z 3 , F z = x 3 y 3 z 2 ,

F x = -5x 2 , F y = yz 2 , F z = y 2 z,