По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения

Определение угловых скоростей всех колес механизма как функцию времени

Страницы работы

Содержание работы

Задание для контрольной работы по теоретической механике (кинематика К3)

a) Механизм состоит из ступенчатых колес 1,2,3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на ступень колеса 3. Радиусы ступеней колес равны соответственно r₁=2см, R₁=4см, r₂=6см, R₂=8см, r₃=12см, R₃=16см. На ободьях колес расположены точки А и С. Ведущим звеном механизма является рейка 4, ее закон движения – s₄=4(7t-t 2 ). Определить в момент времени t=2с скорости v_A, v_C и ускорения e₂, a_A, a₅.

b) По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 ( x = 4+90t 2 , x измеряется в см, t – в секундах ) определить скорость, а также тангенциальное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен 0.5м. Данные для расчета: R₂=20см, r₂=10см, R₃=30см, r₃=10см.

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функцию времени t. Зная закон движения рейки 4, находим ее скорость:

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂=v₄ или w₂R₂=v₄.

Отсюда

Колеса 1 и 3 находятся во внешнем зацеплении, поэтому v₁=w₁R₁=v₃=w₃R₃ и

2. Определяем v_A. Так как v_A=w₁R₁, то и при t=2с после подстановки всех численных значений получим v_A=18 см/с

3. Определяем v_С. Так как точка С лежит на ободе ступени колеса 3, радиус которой – r₃, то v_C=u₃=w₃r₃. Подставив сюда численные значения будем иметь:

4. Определяем угловое ускорение e₂. Получим его просто продифференцировав по времени зависимость w₂ от t и подставив численные значения:

На рисунке дуговые стрелки угловых скоростей колес направлены противоположно дуговым стрелкам угловых ускорений. Это означает, что в рассматриваемый момент времени (t=2с) колеса механизма замедляют свое вращение (в частности, e₂ имеет отрицательное значение).

5. Для определения a_A (ускорение точки A) примем во внимание, что

.

Нормальное (центростремительное) ускорение точки А численно равно a_An = 81 см/с 2 , тангенциальное (касательное) ускорение a_At= -12 см/с 2 . Отрицательное значение показывает, что вектор a_At направлен противоположно вектору скорости v_A, вектор нормального ускорения направлен к центру колеса 1.

Полное ускорение точки А, таким образом, равно:

81.88 см/с 2 .

6. Определяем a₅. Ускорение a₅ груза 5 равно тангенциальному ускорению точки С a_Ct:

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.

1. Определяем сначала угловые скорости и ускорения всех колес как функцию времени t. Зная закон движения груза 1, находим его скорость:

Так как нить намотана на внешнюю ступень колеса 2, то v₁=v₂ или v₁=w₂R₂.

Отсюда ;

Внешняя ступень колеса 3 находится в зацеплении с внутренней ступенью колеса 2, скорости точек этих ступеней равны : v₃=u₂ или w₃R₃=w₂r₂. Получаем

Угловые скорости и ускорения имеют одинаковые знаки, поэтому их дуговые стрелки изображены на рисунке направленными в одинаковые стороны.

2. Определяем время, за которое груз 1 пройдет заданный путь:

3. Определяем скорость v_M. Точка М находится на ободе ступени радиуса r₃, ее скорость равна u₃ = v_M = w₃r₃. Для t=0.7с вычисляем скорость точки: v_M = 2.1см/с. Скорость точки направлена по касательной к ободу ступени колеса 3.

4. Определяем тангенциальное ускорение a_t точки М. Для него имеем:

Это ускорение направлено по касательной к ободу ступени колеса 3, также, как и скорость v_M.

5. Определяем центростремительное ускорение a_n точки М. Это ускорение определяется по формуле , что дает нам значение a_n=0.441 см/с 2 . Центростремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

6. Полное ускорение точки М получим по формуле : , это даст нам значение a=30.003 см/с 2 , то есть полное ускорение почти полностью определяется своей тангенциальной компонентой.

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения

Яблонский задание К.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях.
Движение груза 1 должно описываться уравнением
x=c₂t 2 + c₁t + c₀, (1)
где t-время, с; c_0-2-некоторые постоянные.
В начальный момент времени (t=0) координата груза должна быть x₀, а его скорость-v₀.
Кроме того, необходимо, чтобы координата груза в момент времени t=t₂ была равна x₂.
Определить коэффициенты c₀, c₁ и c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t₁ скорость и ускорение груза и точки M одного из колес механизма.
Схемы механизмов показаны на рис. 68-70, а необходимые данные приведены в табл. 23.

Контрольная работа Статика Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного расположения приложенных к телу сил, рекомендуется проводить в следующем порядке: Выделить твердое тело,

Главная > Решение

«Определить скорость и ускорение точки тела при поступательном и вращательном движении»

В задаче требуется по заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также тангенциальное, центростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени t = t 1 . В начальный момент времени t = 0 положение груза определяется координатой x 0 и он имеет скорость v 0 . В момент времени t = t 2 координата груза равна x 2 .

В задаче используется механизм, преобразующий простейшие движения: вращательное в поступательное (и наоборот); поступательное в поступательное; вращательное вокруг одной неподвижной оси во вращательное вокруг другой неподвижной оси. Для передачи движения применяются зубчатые, фрикционные и ременные передачи.

Алгоритм решения данной задачи на преобразование движений:

Записать уравнение движения для того тела, движение которого известно. В данном случае это движение груза 1 . Оно должно описываться уравнением

, , ,

где t – время; с 0 , с 1 , с 2 – некоторые постоянные . Необходимо определить эти коэффициенты, исходя из условий ( t = 0, t = t 2 ).

Определив коэффициенты, вычислить скорость и ускорение движения груза в момент времени t = t 1 .

Пользуясь формулами кинематики точки и формулами кинематики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, найти уравнение движения другого тела, которому передается движение от первого, значит, в конечном счете, и точки М .

Напомним некоторые связи между характеристиками вращательного и поступательного движения точки:

, ,

, , .

R 2 = 40 см, r 2 = 25 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 9 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 65 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 179 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 20 см, R 3 = 40 см,

x 0 = 7 см, v 0 = 0 см/с, x 2 = 557 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 3 см/с, x 2 = 80 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 2 см/с, x 2 = 189 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 15 см,

x 0 = 4 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 220 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 3 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 4 см/с, x 2 = 44 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 3 см, v 0 = 12 см/с, x 2 = 211 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 15 см, r 2 = 10 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 505 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 3 c.

R 2 = 25 см, r 2 = 15 см, R 3 = 10 см,

x 0 = 10 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 277 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 20 см, r 2 = 10 см, R 3 = 30 см, r 3 = 10 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 5 см/с, x 2 = 356 см,

t 2 = 5 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 20 см, R 3 = 35 см,

x 0 = 7 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 103 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 30 см, R 3 = 30 см, r 3 = 15 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 9 см/с, x 2 = 194 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 15 см, R 3 = 40 см, r 3 = 20 см,

x 0 = 9 см, v 0 = 8 см/с, x 2 = 105 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 50 см, r 2 = 20 см, R 3 = 60 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 4 см/с, x 2 = 119 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 32 см, r 2 = 16 см, R 3 = 32 см, r 3 = 16 см,

x 0 = 6 см, v 0 = 14 см/с, x 2 = 862 см,

t 2 = 4 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 18 см, R 3 = 40 см, r 3 = 18 см,

x 0 = 5 см, v 0 = 10 см/с, x 2 = 193 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 40 см, r 2 = 20 см, R 3 = 40 см, r 3 = 15 см,

x 0 = 8 см, v 0 = 5 см/с, x 2 = 347 см,

t 2 = 3 c, t 1 = 2 c.

R 2 = 25 см, r 2 = 20 см, R 3 = 50 см, r 3 = 25 см,

x 0 = 4 см, v 0 = 6 см/с, x 2 = 32 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

R 2 = 30 см, r 2 = 15 см, R 3 = 20 см,

x 0 = 10 см, v 0 = 7 см/с, x 2 = 128 см,

t 2 = 2 c, t 1 = 1 c.

Контрольная работа 3. Динамика

«Применение теоремы об изменении импульса к определению скорости материальной точки»

В задаче рассматривается тело массой m , которому сообщена начальная скорость v 0 , направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. На тело действует сила P , направленная в ту же сторону. Зная закон изменения силы P и коэффициент трения скольжения f , определить скорость тела в момент времени t 1 .

Изменение силы P между указанными значениями считать линейным.

Алгоритм решения задачи:

Сделать рисунок, обозначив силы, действующие на тело: 1) вес G , нормальная реакция опоры N , сила трения скольжения F и сила P .

Построить график изменения силы P = P ( t ) по заданным значениям.

Записать выражения, определяющие значение сил в проекции на ось x :

— сила тяжести;

— сила трения.

Принимая тело за материальную точку, составить уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось x для интервала времени от 0 до t 1 : изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной к точке, за тот же промежуток времени

.

Здесь S – сумма всех сил приложенных к телу: ,

в проекциях на ось x :

,

,

.

Последний интеграл можно определить по графику P = P ( t ) как площадь фигуры, лежащей под графиком в интервале времени от 0 до t 1 .

С учетом найденного значения импульса переменной силы P найти величину скорости v 1 .

m = 35 кг, v 0 = 5,4 м/с, t 1 = 4 c, = 25 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,1

m = 20 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 6 c, = 37 0 ,

P 0 = 200 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,25

m = 25 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 4 c, = 21 0 ,

P 0 = 150 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,1

m = 10 кг, v 0 = 4,5 м/с, t 1 = 5 c, = 32 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 180 Н, f = 0,12

m = 16 кг, v 0 = 9 м/с, t 1 = 4 c, = 24 0 ,

P 0 = 50 Н, P 1 = 120 Н, f = 0,08

m = 40 кг, v 0 = 4 м/с, t 1 = 4 c, = 25 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,06

m = 20 кг, v 0 = 8 м/с, t 1 = 5 c, = 25 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,2

m = 16 кг, v 0 = 7,6 м/с, t 1 = 6 c, = 23 0 ,

P 0 = 75 Н, P 1 = 200 Н, f = 0,12

m = 12 кг, v 0 = 0 м/с, t 1 = 6 c, = 20 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 140 Н, f = 0,2

m = 50 кг, v 0 = 12 м/с, t 1 = 2 c, = 27 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 250 Н, f = 0,08

m = 10 кг, v 0 = 5 м/с, t 1 = 6 c, = 35 0 ,

P 0 = 50 Н, P 1 = 100 Н, f = 0,24

m = 12 кг, v 0 = 3 м/с, t 1 = 3 c, = 42 0 ,

P 0 = 60 Н, P 1 = 180 Н, f = 0,15

m = 10 кг, v 0 = 8 м/с, t 1 = 4 c, = 30 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 150 Н, f = 0,18

m = 20 кг, v 0 = 8,5 м/с, t 1 = 5 c, = 23 0 ,

P 0 = 40 Н, P 1 = 100 Н, f = 0,07

m = 14 кг, v 0 = 9 м/с, t 1 = 7 c, = 18 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 140 Н, f = 0,15

m = 20 кг, v 0 = 3 м/с, t 1 = 5 c, = 39 0 ,

P 0 = 150 Н, P 1 = 300 Н, f = 0,12

m = 24 кг, v 0 = 10 м/с, t 1 = 6 c, = 15 0 ,

P 0 = 100 Н, P 1 = 240 Н, f = 0,2

m = 15 кг, v 0 = 13 м/с, t 1 = 8 c, = 26 0 ,

P 0 = 110 Н, P 1 = 150 Н, f = 0,22

m = 15 кг, v 0 = 7,2 м/с, t 1 = 3 c, = 30 0 ,

P 0 = 0 Н, P 1 = 120 Н, f = 0,3

m = 22 кг, v 0 = 8,2 м/с, t 1 = 2 c, = 15 0 ,

P 0 = 70 Н, P 1 = 110 Н, f = 0,15

«Определение потенциальной энергии в данной точке поля»

На материальную точку, помещенную в силовое поле, действует со стороны поля сила, проекции которой F x , F y , F z заданы. Определить потенциальную энергию в заданной точке М поля.

Алгоритм решения задачи:

Определить, является ли данное силовое поле потенциальным. Для этого проверить, удовлетворяют ли частные производные проекций силы условиям:

; ; .

Если условия выполнены, то можно определять величину потенциальной энергии П в данной точке M ( x , y , z ). Она равна работе сил поля по перемещению материальной точки от данной точки М до 0:

.

Так как работа сил потенциального поля не зависит от пути интегрирования, можно выбрать его наиболее удобным для решения способом. Такой путь будет не прямая МО , а три отрезка МА, АВ, ВО, параллельные осям координат x , y , z . Тогда

П = А МО = А МА + А АВ + А ВО .

Вычислить работу на каждом из участков, учитывая, что:

на участке МА x = const , dx = 0, y = const , dy = 0, z изменяется от z до 0;

на участке А B x = const , dx = 0, z = 0, dz = 0, y изменяется от y до 0;

на участке BO y = 0, z = 0, dy = 0, dz = 0, x изменяется от x до 0 .

Найти значение П .

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = xz 2 , F y = y 2 , F z = x 2 z,

F x = x 3 , F y = yz 2 , F z = y 2 z,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = z,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = z 2 ,

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = x 2 z 3 , F y = y, F z = x 3 z 2 ,

F x = x 2 y 3 , F y = x 3 y 2 , F z = 5z,

F x = xz 2 , F y = y 3 , F z = x 2 z,

F x = xy 2 z, F y = x 2 yz, F z = x 2 y 2 ,

F x = x 2 , F y = y, F z = z 2 ,

F x = x, F y = y 2 , F z = z 3 ,

F x = 2x, F y = y 3 , F z = z,

F x = x 2 y 3 z 3 , F y = x 3 y 2 z 3 , F z = x 3 y 3 z 2 ,

F x = xz 2 , F y = -y 3 , F z = x 2 z,

F x = xy 2 , F y = x 2 y, F z = 4z,

F x = xy 2 z 2 , F y = x 2 yz 2 , F z = x 2 y 2 z,

F x = 2x 2 , F y = 3y, F z = z 3 ,

F x = x 2 y 3 z 3 , F y = x 3 y 2 z 3 , F z = x 3 y 3 z 2 ,

F x = -5x 2 , F y = yz 2 , F z = y 2 z,