Подготовка к егэ по математике уравнения

Задания по теме «Простейшие уравнения»

Открытый банк заданий по теме простейшие уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №887

Условие

Найдите корень уравнения 5^<\log_<25>(10x-8)>=8.

Решение

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

Ответ

Задание №886

Условие

Найдите корни уравнения \cos\frac<\pi(x+5)><6>=0,5. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение

а) \frac<\pi(x+5)><6>=\frac<\pi><3>+2\pi k, \frac<6>=\frac13+2k, x+5=2+12k, x=-3+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-3.

б) \frac<\pi(x+5)><6>=-\frac<\pi><3>+2\pi k , \frac<6>=-\frac13+2k, x+5=-2+12k, x=-7+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-7.

Значит, наибольший отрицательный корень уравнения x=-3.

Решение уравнений

В этом разделе – все основные способы и приемы решения уравнений на ЕГЭ по математике.

А встретиться вам могут всевозможные уравнения – квадратные, а также уравнения высших степеней. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак корня (иррациональные) или знак модуля. Показательные и логарифмические. И для каждого из этих типов – свои методы и секреты решения.

Десятиклассникам будут особенно полезны темы: «Алгебраические уравнения», «Уравнения с модулем», «Иррациональные уравнения», «Системы алгебраических уравнений».

Запомним главное – что нужно знать при решении уравнений

— Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

— Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

— Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

— Если в уравнении есть дроби, корни четной степени, логарифмы – значит, не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

— Если в уравнении можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Решение уравнения лучше всего оформлять в виде цепочки равносильных переходов.

— Решив уравнение, сделайте проверку. Действительно ли найденные вами ответы являются корнями уравнения?

— Если слева и справа в уравнении находятся функции разных типов – например, квадратичная и показательная, или логарифм и синус, — значит, оно решается или графически, или с использованием свойств этих функций, или методом оценки

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Вынесем х как общий множитель за скобки:

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

При решении последнего уравнения возможны два случая:

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

Извлечем кубический корень из обеих частей

Соберем известные слагаемые в правой части

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x · x + 1 · x — <3·x>/ = 0$

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.