Подкоренное уравнение может быть равно 0

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 — истинно:
При x₂ = -2— истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x — 90;

x9;

б) 1 — x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x — 1 — 8= x 3 — 1 + 4+ 4x;
=0;
x₁=1; x₂=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0 лишний корень.
Ответ: x₁=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

x₁ =

x₂ =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 — х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 — 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂ = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение—= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 — 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x — 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 — 40x + 25 = 9(x 2 — Зх + 3), или

7x 2 — 13x — 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ =— не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 — 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y — 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = —. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 — 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 — 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t₁ = 2 t₂ =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 — 2x = 8x — 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х₁ = 2, x₂ =.

Свойства корня n-ой степени

Что такое корень n-ой степени

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a (n=2, 3, 4. ) называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число a.

Число a называют подкоренным числом, число n — показателем корня. Важно, что корень четной степени существует только из положительных чисел, а корень нечетной — как из положительных, так и отрицательных, поэтому выражение — 27 4 не имеет смысл, а тот же корень третьей степени имеет — — 27 3 = — 3 .

В алгебре корни нужны для более сокращенных и точных подсчетов, т.к самый простой корень из числа 3 будет равен длинной десятичной дроби, округлив которую получим лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного удобнее представить их в виде радикала.

Знак радикала как раз и используют для обозначения корня.

Основные свойства

Основные свойства корня n-ой степени с примерами:

1. ( a n ) n = a , n — ч е т н о a , n — н е ч е т н о Корень n-ой степени и возведение в эту же степень, эти операции являются взаимопоглощающими, поэтому при извлечении корня и возведении значения в степень, получаем искомое число a. Пример: вычислите значение выражения ( — 5 , 8 3 ) 3 . По свойству получаем значение выражения равному -5,8.
2. a b n = a n * b n , a ≥ 0 , b ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 25 3 * 5 3 = 25 * 5 = 125 3 3 = 25 .
3. a b n = a n b n , a ≥ 0 , b > 0 . Пример: найти значение выражения 27 8 3 = 27 3 8 3 = 3 2 .
4. ( a n ) k = a n k . Пример: найти значение выражения: ( 2 3 ) 6 = 2 3 6 = 64 3 = 4 .
5. a k n = a n k , a ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 729 2 3 = 729 3 * 2 = 729 6 = 3 .
6. a k p n p = a k n , a ≥ 0 . Пример: найти значение выражения: 8 6 9 = 8 3 * 2 3 * 3 = 8 2 3 = 64 3 = 4 .
7. — a n = — a n , n — н е ч е т н о . Пример: найти значения корня: — 27 3 = — 27 3 = — 3

Область определения корня, пояснение на примерах

Под областью определения в математике понимают множество допустимых для конкретного выражения значений неизвестной переменной (x).

Для корня n-ой степени область определения меняется в зависимости от значения показателя корня.

Если n — четное число, где, n = 2m, где m ∈ N, то область определения — это множество всех действительных неотрицательных чисел D ( x 2 * m ) = [ 0 ; + ∞ ) .

Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел D ( x 2 * m + 1 ) = ( — ∞ ; + ∞ ) .

Рассмотрим несколько примеров на определение области определения выражений содержащих корень:

1. Найти область определения функции f ( x ) = 1 x 2 + 4 x + 3 . Решение: т.к. подкоренное выражение с корнем четной степени (n=2) должно быть положительным, то необходимо решить неравенство x 2 + 4 x + 3 > 0 . Неравенство является строгим, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. После результатам решения неравенства получим область определения D ( f ) = ( — ∞ ; — 3 ) ∪ ( — 3 ; + ∞ ) .
2. Найти область определения функции y = 12 — 2 x 6 . Решение: подкоренное выражение из корня четной степени должно быть больше или равно нулю, отсюда следует 12 — 2 x ≥ 0 , о т к у д а x ≤ 6 .
3. Найти область определения функции y = 3 x — 6 — 25 — x 3 . Решение: функция содержит два выражения под корнем и областью определения будет пересечения областей определения каждого подкоренного выражения, однако подкоренное выражение s q r t [ 3 ] 25 — x может любое значение (т.к показатель степени у корня нечетный). Значит для определения области определения всего выражения будет достаточно только указать область определения выражения для подкоренного выражения 3 x — 6 . Получим 3 x — 6 ≥ 0 , j n r e l f x ≥ 2 .

Метод оценки значения

Не из всех чисел можно извлечь челочисленный корень, в таком случае необходимо приблизительно оценить значение этого корня. Методом оценки значения корня является метод подбора левой и правой границ, т.е. целочисленных значений, корень из которых мы можем извлечь.

Рассмотрим пример: оценить значение 19 . Найдем ближайшие числа большие и меньшие 19, из которых извлекается целочисленный корень, это соответственно 25 и 16, тогда имеем: 16 19 25 , значит 4 19 5 . Значение корня извлеченного из 19 находится в промежутке между 4 и 5.

Рассмотрим еще один пример: оценить значение выражения 19 3 . Найдем ближайшие целочисленные границ, из которых можем извлечь кубический корень, получим: 8 3 19 3 27 3 , значит 2 19 3 3 . Значение кубического корня, извлеченного из числа 19 находится в промежутке между 2 и 3.

Задания для самопроверки

Выполним ряд заданий для проверки и закрепления работы с корнями n-ой степени.

Найти значение выражения 121 * 64 .

Решение: применим свойство произведения корней a b n = a n * b n , получим 121 * 64 = 11 * 8 = 88 .

Решить неравенство ( x — 2 ) 2 ≤ 4 .

Решение: применим свойство корня , тогда неравенство примет вид: ( x — 2 ) ≤ 4 или — 4 ≤ x — 2 ≤ 4 , решая двойное неравенство получим — — 2 ≤ x ≤ 6 .

Найти значение выражения 16 81 4 .

Решение: применим свойство корня a b n = a n b n , получим 16 4 81 4 = 2 3 .

Указать имеет ли смысл выражение — 27 3 .

Решение: вспомним какие числа являются область определения для корня нечетной степени, эти числа — любые, отсюда следует, что выражение — 27 3 имеет смысл.

Указать при каких значениях переменной у имеет смысл выражение 1 y — 1 .

Решение: чтобы определить все допустимые значения переменной необходимо обеспечить выполнение двух условий.

Подкоренное выражение из корня четной степени принимает неотрицательные значения, второе в дроби знаменатель не может быть равен нулю, тогда получим систему: y ≥ 0 y — 1 ≢ 0

Решая эту систему, получим y ≥ 0 y ≢ 1 . Значит выражение имеет смысл при всех у больше или равных нулю, исключая единицу.

Оцените значение выражения 124 4 .

Решение: Найдем ближайшие левую и правую границы, из которых можно извлечь целочисленный корень четвертой степени, получим 81 4 124 4 256 4 или 3 124 4 4 .

Квадратный корень: формулы вычисления. Формула нахождения корней квадратного уравнения

Некоторые задачи в математике требуют умения вычислять значение корня квадратного. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В данной статье приведем эффективный метод вычисления квадратных корней и используем его при работе с формулами корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные говорят, что он начал использоваться впервые приблизительно в первой половине XVI века в Германии (первый немецкий труд по алгебре Кристофа Рудольфа). Ученые полагают, что указанный символ является трансформированной латинской буквой r (radix означает «корень» на латыни).

Вам будет интересно: Гимназия при Русском музее, Санкт-Петербург: отзывы

Корень из какого-либо числа равен такому значению, квадрат которого соответствует подкоренному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y2 = x.

Корень из положительного числа (x > 0) является также числом положительным (y > 0), однако если берут корень из отрицательного числа (x Вам будет интересно: Психология и философия: связь наук, общие понятия, отличия

Приведенные выше примеры являются очень простыми, и вычисление корней в них не представляет никакого труда. Сложности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое не может быть представлено в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что на практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √(12,15), √(8,5) и так далее.

Во всех вышеназванных случаях следует применять специальный метод вычисления корня квадратного. В настоящее время таких методов известно несколько: например разложение в ряд Тейлора, деление столбиком и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, наиболее простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, которая также известна как вавилонский способ определения квадратных корней (существуют свидетельства, что древние вавилоняне применяли ее в своих практических вычислениях).

Пусть необходимо определить значение √x. Формула нахождения квадратного корня имеет следующий вид:

an+1 = 1/2(an+x/an), где limn->∞(an) => x.

Расшифруем эту математическую запись. Для вычисления √x следует взять некоторое число a0 (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбирать его таким, чтобы (a0)2 было максимально близко к x. Затем подставить его в указанную формулу вычисления квадратного корня и получить новое число a1, которое уже будет ближе к искомому значению. После этого необходимо уже a1 подставить в выражение и получить a2. Эту процедуру следует повторять до получения необходимой точности.

Пример применения итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения корня квадратного из некоторого заданного числа для многих может звучать достаточно сложно и запутанно, на деле же оказывается все гораздо проще, поскольку эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано удачное число a0).

Приведем простой пример: необходимо вычислить √11. Выберем a0 = 3, так как 32 = 9, что ближе к 11, чем 42 = 16. Подставляя в формулу, получим:

a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Дальше нет смысла продолжать вычисления, поскольку мы получили, что a2 и a3 начинают отличаться лишь в 5-м знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить всего 2 раза формулу, чтобы вычислить √11 с точностью до 0,0001.

В настоящее время широко используются калькуляторы и компьютеры для вычисления корней, тем не менее отмеченную формулу полезно запомнить, чтобы иметь возможность вручную вычислять их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое корень квадратный, и умение его вычислять используется при решении квадратных уравнений. Этими уравнениями называют равенства с одной неизвестной, общий вид которых приведен на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют собой некоторые числа, причем a не должно равняться нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, в том числе и равными нулю.

Любые значения икса, удовлетворяющие указанному на рисунке равенству, называются его корнями (следует не путать это понятие с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x2), то корней для него не может быть больше, чем два числа. Рассмотрим далее в статье, как находить эти корни.

Нахождения корней квадратного уравнения (формула)

Этот способ решения рассматриваемого типа равенств также называется универсальным, или методом через дискриминант. Его можно применять для любых квадратных уравнений. Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

Из нее видно, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x1 отличается от расчета x2 только знаком перед корнем квадратным. Подкоренное выражение, которое равно b2 — 4ac, является не чем иным, как дискриминантом рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку он определяет число и тип решений. Так, если он равен нулю, то решение будет всего одно, если он положительный, то уравнение обладает двумя действительными корнями, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x1 и x2.

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце XVI века один из основоположников современной алгебры француз Франсуа Виет, изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства его корней. Математически их можно записать так:

x1 + x2 = -b / a и x1 * x2 = c / a.

Оба равенства легко может получить каждый, для этого необходимо лишь выполнить соответствующие математические операции с корнями, полученными через формулу с дискриминантом.

Совокупность этих двух выражений можно по праву назвать второй формулой корней квадратного уравнения, которая предоставляет возможность угадывать его решения, не используя при этом дискриминант. Здесь следует оговориться, что хотя оба выражения справедливы всегда, применять их для решения уравнения удобно только в том случае, если оно может быть разложено на множители.

Задача на закрепление полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, обсуждаемые в статье. Условия задачи следующие: необходимо найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма составляет 4.

Это условие сразу напоминает о теореме Виета, применяя формулы суммы квадратных корней и их произведения, записываем:

x1 + x2 = -b / a = 4;

x1 * x2 = c / a = -13.

Если предположить, что a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

Воспользуемся формулой с дискриминантом, получим следующие корни:

x1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 — 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Заметим, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, получим: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a0 = 4, тогда:

a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

В вычислении a3 нет необходимости, поскольку найденные значения отличаются всего на 0,02. Таким образом, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x1,2, получим:

x1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x2 = (4 — 8,246)/2 = -2,123.

Как видим, сумма найденных чисел действительно равна 4, если же найти их произведение, то оно будет равно -12,999, что удовлетворяет условию задачи с точностью до 0,001.