Подобные слагаемые, их приведение, примеры
Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.
Определение и примеры подобных слагаемых
В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.
Рассмотрим сумму двух слагаемых 3 · a + 2 · a . В этой сумме слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть, которая представлена буквой a . Согласно определению, эти два слагаемых являются подобными. Числа 2 и 3 в данном случае являются числовыми коэффициентами.
Рассмотрим сумму 5 · x · y 3 · z + 12 · x · y 3 · z + 1 . Здесь подобными являются слагаемые 5 · x · y 3 · z и 12 · x · y 3 · z , которые имеют одинаковую буквенную часть x · y 3 · z . Следует обратить внимание на то, что в буквенной части присутствует степень y 3 . Наличие степени не нарушает данное выше определение буквенной части в связи с тем, что y 3 по сути является произведением y · y · y .
Числовые коэффициенты 1 и − 1 в случае подобных слагаемых часто не записываются, но подразумеваются. К примеру, сумма 3 · z 5 + z 5 − z 5 состоит из трех слагаемых 3 · z 5 , z 5 и − z 5 , которые являются подобными. Здесь z 5 – это одинаковая буквенная часть, 3 , 1 и — 1 – коэффициенты.
Если слагаемые в буквенном выражении не имеют буквенной части, то они также являются подобными. Например, сумма 5 + 7 · x − 4 + 2 · x + y представлена 4 подобными слагаемыми, два из которых ( 5 и — 4 ) не имеют буквенной части.
Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:
3 · 5 · a — 2 · 5 · a + 12 · 5 · a .
Здесь общей буквенной частью подобных слагаемых является выражение 5 · a .
По аналогии можно выделить подобные слагаемые в выражении 4 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 0 , 5 · ( x 2 + x − 1 / x ) − 1 . Это будут слагаемые с одинаковой буквенной частью ( x 2 + x − 1 / x ) .
Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.
Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.
Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.
Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.
Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение 2 · x · y + 3 · y · x можно переписать в виде 2 · x · y + 3 · x · y . Тогда слагаемые будут подобны.
К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:
- перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
- вынесение за скобки буквенной части;
- вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.
Приведем пример таких вычислений.
Возьмем выражение 3 · x · y + 1 + 5 · x · y . Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 3 · x · y + 5 · x · y + 1 .
Теперь вынесем за скобки буквенную часть: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 .
Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках: x · y · ( 3 + 5 ) + 1 = x · y · 8 + 1 .
Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью: x · y · 8 + 1 = 8 · x · y + 1 .
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.
Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3 · x · y + 1 + 5 · x · y коэффициентами подобных слагаемых 3 · x · y и 5 · x · y являются числа 3 и 5 . Сумма коэффициентов равна 8 . Умножим ее на буквенную часть и получим: 3 · x · y + 1 + 5 · x · y = 8 · x · y + 1 .
Приведите подобные слагаемые: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 .
Решение
Начнем с приведения подобных слагаемых 0 , 5 · x и 3 , 5 · x . Используя правило, сложим их коэффициенты 0 , 5 + 3 , 5 = 4 . Умножим буквенную часть на полученный результат 4 · x .
Теперь займемся приведением подобных слагаемых без буквенной части: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4 . Вспомним правило сложения чисел с разными знаками и выполним вычитание обыкновенных дробей. Получим: 1 2 + ( — 1 4 ) = 1 2 — 1 4 = 1 4
Итог: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .
Приведем краткую запись решения: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = ( 0 , 5 · x + 3 , 5 · x ) + ( 1 2 − 1 4 ) = 4 · x + 1 4 .
Ответ: 0 , 5 · x + 1 2 + 3 , 5 · x − 1 4 = 4 · x + 1 4 .
Особо хочется отметить тот факт, что приведение подобных слагаемых базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое можно выразить равенством a · ( b + c ) = a · b + a · c . Когда мы выполняем приведение подобных слагаемых, мы используем это равенство справа налево, т.е. в виде a · b + a · c = a · ( b + c ) .
Урок алгебры в 7 классе по теме: «Приведение подобных слагаемых»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ #U0443#U0440#U043e#U043a #U0430#U043b#U0433#U0435#U0431#U0440#U044b.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
«Величие человека – в его способности мыслить» Блез Паскаль
Устная работа: 1. Назвать коэффициент выражения: 5,1ас; -1,23вс; -ав; 15ху; хуz.
2. Решить уравнения: -х = 8; -х = — 93; -3х = 27; -5х = 10; 2х = -5. Устная работа:
Устная работа: 3. Упростить выражение: х+х; а-а; 0-а; в*в*в; х-0; х:х; х*х; а-0; в+в+в; х+0; с*0; х:0.
Устная работа: 4. Раскрыть скобки: -(а+в+с); (х+у)-х; (с+5,4) — ( 4,9 + с); ( а-в) + (-а +в).
5. Запишите распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. a(b + c) = ab + ac a(b — c) = ab — ac
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами;
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок;
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении;
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Прочитайте анаграмму: Пбднеыоо сааымеелг
Прочитайте анаграмму: Подобные слагаемые
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. подобные слагаемые;
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. подобные слагаемые; алгоритм приведения подобных слагаемых.
Приведение подобных слагаемых
Подобный — похожий на что, схожий с чем, близкий, подходящий, одного вида, образа, свойств или качеств (из толкового словаря В. И. Даля).
Если выполнено: отметка: 5 заданий 5 4 задания 4 3 задания 3 1 — 2 задания 2
Ромашка Блума Простой вопрос: раскрыть скобки ( а — в) – (а + в); алгоритм раскрытия скобок
Ромашка Блума Практический вопрос: привести подобные слагаемые: 2а -6а + 8а – а — 5в +4;
Ромашка Блума Объясняющий вопрос: для чего нужно знать алгоритм приведения подобных слагаемых?
Ромашка Блума Творческий вопрос: Докажите, что при любом значении буквы значение выражения равно -24 5(7у- 2) — 7(5у + 2)
Ромашка Блума Оценочный вопрос: Помогает ли распределительный закон умножения при сложении слагаемых?
Ромашка Блума Уточняющий вопрос: Ты действительно думаешь, что приведение подобных слагаемых тебе поможет при нахождении значений выражений?
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. подобные слагаемые; алгоритм приведения подобных слагаемых.
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Раскрытие скобок при помощи распределительного свойства умножения; подобные слагаемые; алгоритм приведения подобных слагаемых.Какие слагаемые называются подобными;
«З» Знаем«Х» Хотим узнать «У» Узнали Действия с положительными и отрицательными числами; раскрытие скобок; определение числового коэффициента в выражении; распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. подобные слагаемые; алгоритм приведения подобных слагаемых.Какие слагаемые называются подобными; алгоритм приведения подобных слагаемых.
Домашнее задание п.3.4, № 294 (2столбик), № 295(2столбик) №299(в, г), №301 (а, в, д) № 308 (по желанию)
Рефлексия: Я понимал всё, о чём говорилось и, что делалось на уроке. Я принимал активное участие в работе. Мне было интересно. Мне было достаточно комфортно на уроке, но я принимал в нем не очень активное участие. Мне было не очень интересно Домашнее задание я не понял. К ответам на уроке я был не готов. Мне было скучно на уроке.
Спасибо за урок!
Выбранный для просмотра документ #U0443#U0440#U043e#U043a.doc
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №38» г. Курска
Учитель математики Шаркова Анна Ивановна
Урок по теме: «Приведение подобных слагаемых»
Форма урока: урок изучения нового материала с применением ИКТ.
Цель урока: Изучить и отработать алгоритм приведения подобных слагаемых.
— изучить алгоритм приведения подобных слагаемых;
— ввести понятие подобных слагаемых;
— объяснить, что значит « привести подобные слагаемые»;
— совершенствовать вычислительные навыки.
— развивать мыслительные способности, умение классифицировать, сравнивать, выполнять по аналогии.
— развивать умение анализировать и систематизировать материал по данной теме.
— воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, чувство сотрудничества.
Планируемый результат: в результате изучения данной темы, обучающиеся должны усвоить понятие подобных слагаемых, научиться применять распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания при приведении подобных слагаемых.
Применение ИКТ осуществлялось в течение всего урока
« Инсерт» — чтение с пометкой; «Ромашка Блума»; « Кластер» — выделение смысловых единиц текста и графическое их оформление в определенном порядке.
Методы обучения на уроке:
Исследовательский (работа с книгой по поиску алгоритма приведения подобных слагаемых);
Частично поисковый (эвристическая беседа, ведущая к составлению алгоритма )
Структура и ход урока.
Здравствуйте! Возьмитесь за руки, пожелайте друг другу удачи. Садитесь.
Сегодня я предлагаю эпиграфом к нашему уроку взять слова французского ученого Блеза Паскаля: «Величие человека – в его способности мыслить»
Ребята, я не зря взяла этот эпиграф к уроку. Еще раз прочитайте слова Паскаля. Как вы думает, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?
(Развивать мыслительные способности.)
А еще развивать умение классифицировать, сравнивать, выполнять по аналогии.
Начнем с устной работы.
1. Назвать коэффициент выражения:
5,1ас; -1,23вс; -ав; 15ху; ху z .
2. Решить уравнения:
-х = 8; -х = — 93; -3х = 27; -5х = 10; 2х = -5.
3. Упростить выражение:
х+х; а — а; 0-а; в*в*в; х-0; х:х; х*х; а-0; в+в+в; х+0; с*0; х:0.
4. Раскрыть скобки:
5. Запишите распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
a ( b — c )= ab — ac
Ребята, давайте вспомним, что мы уже знаем, чем занимались на предыдущих уроках?
Таблица на слайде:
Заполняем таблицу на слайде:
Действия с положительными и отрицательными числами;
определение числового коэффициента в выражении;
распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Теперь заполним столбик — Хотим узнать: Прочитайте анаграмму: пбднеыоо сааымеелг
Правильно, подобные слагаемые. Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке?
(Сегодня на уроке мы хотим узнаем, что это такое, и научимся приводить подобные слагаемые) , заполняют второй столбик таблицы.
Действия с положительными и отрицательными числами;
определение числового коэффициента в выражении;
распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
алгоритм приведения подобных слагаемых.
( Это и есть цели нашего урока)
Открываем тетради и записываем тему урока: Приведение подобных слагаемых
III . Работа над темой урока.
Задание на повторение
1.Работа у доски: раскрыть скобки:
— К акое свойство умножения применяется при раскрытии скобок?
(распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания)
П осмотрите на слагаемые. Что у них общего? (одинаковые буквенные части)
Чем они отличаются? (коэффициентом)
Н айдите в учебнике как называются слагаемые, которые имеют общую буквенную часть и отличаются только коэффициентом. (обучающиеся дают ответ)
Упростим 5а + 2а + 12а = а · (5 + 2 + 12) = 19а.
— Чем мы воспользовались при упрощении выражения?
(Распределительным законом умножения.)
— Что записали в скобках?
(Сумму коэффициентов всех слагаемых.)
В выражении 5а + 2а + 12а все слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.
Давайте посмотрим в толковом словаре В. И. Даля значение слова «Подобный»
Подобный — похожий на что, схожий с чем, близкий, подходящий, одного вида, образа, свойств или качеств (из толкового словаря В. И. Даля).
— Сформулируйте определение подобных слагаемых.
Определение. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
— Чем могут отличаться подобные слагаемые? (Только коэффициентами.)
— Приведите примеры подобных слагаемых.
Задание: найти и подчеркнуть подобные слагаемые в выражении:
3х + 5у 13 bx – 4 b
7 s – 4 s -2 p + 10 p
2а + 3в +5а – 5; m + 2 m + 6 m – 3 n ;
-3у +2х +3х; 11 p + 2 p + 20 p – 3 x
(задания заранее напечатаны на листах).
Учитель: Во всех ли выражениях есть подобные слагаемые? Чем отличаются подобные слагаемые? (коэффициентами)
Учитель: Как вы думаете, что значит привести подобные слагаемые?
А теперь научимся с вами приводить (складывать) подобные слагаемые, для этого нам нужен алгоритм, который вы сами найдете в учебнике (работа по учебнику)
Проверяем Алгоритм приведения подобных слагаемых:
Чтобы привести подобные слагаемые, надо:
сгруппировать эти слагаемые;
сложить их коэффициенты;
полученное число умножить на общую буквенную часть .
Учитель: закрепим алгоритм нахождения подобных слагаемых.
Выполнить № 294 – 295 первый столбик
№ 298 (а, в, д) (1 человек у доски)
№ 296 (верно или неверно)
№ 300 (а) (обязательно)
Тестирование. (10 мин.)
Вариант 1.
1. Найти значение выражения при
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
2. Найдите числовой коэффициент выражения: .
1) – 30; 2) – 10; 3) – 7; 4) 12.
3. Приведите подобные слагаемые: .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4. Упростите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5. Если кг – вес дыни, а кг – вес тыквы, выбрать выражение, которое показывает, на сколько килограмм дыня тяжелее тыквы.
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Вариант 2.
1. Найти значение выражения при
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
2. Найдите числовой коэффициент выражения: .
1) – 30; 2) – 10; 3) – 7; 4) 12.
3. Приведите подобные слагаемые: .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4. Упростите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
5. Если кг – вес дыни, а кг – вес тыквы, выбрать выражение, которое показывает, во сколько раз дыня тяжелее тыквы.
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
IV . Учитель. А теперь закрепим пройденный теоретический материал, для этого будем использовать « Ромашку Блума».
Простой вопрос: раскрыть скобки ( а — в) – (а + в); алгоритм раскрытия скобок
Практический вопрос: привести подобные слагаемые: 2а -6а + 8а – а — 5в +4;
Объясняющий вопрос: для чего нужно знать алгоритм приведения подобных слагаемых?
Творческий вопрос: докажите, что при любом значении буквы значение выражения равно -24.
Оценочный вопрос: помогает ли распределительный закон умножения при сложении слагаемых?
Уточняющий вопрос: ты действительно думаешь, что приведение подобных слагаемых тебе поможет при нахождении значений выражений?
V . Рефлексия. Что вы узнали сегодня на уроке (заполним третий столбик таблицы)
Действия с положительными и отрицательными числами;
определение числового коэффициента в выражении;
распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
алгоритм приведения подобных слагаемых.
Какие слагаемые называют подобными;
алгоритм приведения подобных слагаемых.
VI . Домашнее задание: п.3.4, № 294 (2столбик) ,295(2столбик) №299 (в, г) , №301 (а. в, д), № 308 (по желанию)
6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых
1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.
Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.
Примеры. Раскрыть скобки.
1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.
2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».
Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
Примеры. Раскрыть скобки.
2б) — (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d;
2в) — (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b.
3. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с.
Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).
Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
Примеры. Привести подобные слагаемые.
3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а;
3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m;
3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.
4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.
Примеры. Привести подобные слагаемые.
4а) -4а +5с-11с -20а = (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с;
4б) 3,2х +5,6у -8х -3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у;
4в) 8 m -3k +7 m -2k+12k +13 m = (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k.
5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры. Раскрыть скобки.
5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙ 4х+2 ∙ (-5) = 8х-10у;
5б) -3 (4а+7с) = -3 ∙ 4а-3 ∙ 7с = -12а-21с;
5в) -6 (-а+4с) = -6 ∙ (-а) -6 ∙ 4с = 6а-24с.
6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.
Примеры. Упростить выражение.
6а) (3х+у) -2 (5х-у) = 3х +у -10х +2у = -7х+3у;
6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах +4,5х -4ах = 4,5х-ах;
6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х -6у +6х -3у = -9у.
7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить:
http://infourok.ru/urok-algebri-v-klasse-po-teme-privedenie-podobnih-slagaemih-662285.html
http://mathematics-repetition.com/6-4-2-raskrtie-skobok-privedenie-podobnh-slagaemh/