Показательная и логарифмическая функции показательные уравнения

Разработка лекции к темам Показательная и логарифмическая функции. Логарифмы, свойства. Решение показательных и логарифмических уравнений.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Правильные Неправильные дроби

если а b

«—» означает деление, b – на сколько частей надо делить, а – сколько таких частей надо взять.

Смешанное число: сумма целого числа и дробной части. 2 + 3 ₌₂ 3

Правильные Неправильные дроби

n 1 3 2 11 51 11 13 2 8

2 4 3 37 8 11 5 15

1.

2.

Запись неправильной Запись смешанного числа дроби в виде смешанного числа: в виде неправильной дроби:

1. Найти произведение целой части и 1. разделить с остатком числитель на знаменателя; знаменатель;

2. Найти сумму полученного

2. неполное частное будет целой произведения и числителя частью; дробной части;

3. остаток (если он есть) дает 3. Результат будет числителем числитель, а делитель — неправильной дроби, знаменатель дробной части. знаменатель дробной части знаменателем полученной дроби.

Пример:

Запись дроби в виде частного и частного в виде дроби:

Задача : Израсходовано 5 метров ткани на пошив семи блузок. Сколько ткани израсходовано на одну блузку?

Решение: 5 : 7 = (м) израсходовано на 1 блузку.

Ответ: (М).

сложения и вычитания, применяемые при изучении темы:« Сложение и вычитание смешанных чисел»

Алгоритм сложения и вычитания

Если из b не вычитается l , занимаем у А 1 и представляем ее как и выполнить вычитание.

Девиз юных математиков:

Не любить никак нельзя.

Очень строгая наука,

Очень точная наука, Интересная наукаЭто математика!

Спасибо за внимание!

Краткое описание документа:

Материал учебника преподносмтся учащимся лекционно, для продуктивного усвоение учащимися материала используются составленные карточки — информаторы. карточки — информатиры.

2. Конспект для ученика по теме «Степенные, показательные и логарифмические функции»

Здравствуйте! Сегодня разберем тему «Степенные, показательные и логарифмические функции».

Введение

Пропорциональные величины

Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

где k — постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая

с осью X угол , тангенс которого равен k:

tg = k (рис.8).

Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3.

Линейная функция

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае — нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x, где k — постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10).

У этой кривой две ветви. Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

1. область определения функции: , область значений: ;
2. функция монотонная (убывающая) при x 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?);
3. функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
4. нулей функция не имеет.

Квадратичная функция

где a, b, c — постоянные, .

В простейшем случае имеем:

График этой функции квадратная парабола — кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

— тоже квадратная парабола того же вида, что и , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D.

Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

— область определения функции: ( т.e. ), а область значений: …

(ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

— функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная;

— функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая;

— при D 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция

Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции.

Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак перед квадратным корнем).

Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Показательная функция

Функция y = a x , где a — положительное постоянное число, называется показательной функцией.

Аргумент x принимает любые действительные значения;

в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию.

Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения:

y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3.

Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 0;

— функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 у0

Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0 1 функция возрастает (в случае 0 x₁. Надо доказать, что log_a x₂>log_a x₁. Допустим противное, т. е. что log_a x₂≤log_a x₁ (3)

Так как показательная функция у = а х при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: a log _a x ₂ ≤ a log _a x ₁. (4)

Но a log _a x ₂ = x₂, a log _a x ₁ = x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x₂ ≤ x₁. Это противоречит допущению x₂ > x₁.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1;

log_a 1 = 0 при любом а > 0, так как а₀ = 1.

Вследствие возрастания функции при а > 1 получаем, что при х > 1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0 отрицательные.

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства

Разделы: Математика

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2 x — 2 x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Уравнение 2 x = 32 имеет корень x = 5.

Ответ: 5

Пример 2. 5 x + 2 / 5 x — 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5 x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5 x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5 x — 5 x+2 ≥ — 120 (линейное показательное неравенство).

— 24 · 5 x ≥ — 120 | : (-24),

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5 x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Ответ: (-∞; 1]

Пример 2. 5 x +2 · 5 -x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5 2x +2 – 3 · 5 x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5 x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5 x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Ответ: [0; log₅2]

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

Ответ: 16

Пример 2. lg 2 x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y 2 — 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x 2 — 3x) = log₂ (х — 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x 2 — 3x = х — 3 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg 2 x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

Это квадратное неравенство выполняется при t 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 — 4x) 0, откуда х 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 18.05.2014