Показательные и логарифмические уравнения и неравенства ответы

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства

Разделы: Математика

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2 x — 2 x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Уравнение 2 x = 32 имеет корень x = 5.

Ответ: 5

Пример 2. 5 x + 2 / 5 x — 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5 x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5 x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5 x — 5 x+2 ≥ — 120 (линейное показательное неравенство).

— 24 · 5 x ≥ — 120 | : (-24),

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5 x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Ответ: (-∞; 1]

Пример 2. 5 x +2 · 5 -x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5 2x +2 – 3 · 5 x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5 x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5 x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Ответ: [0; log₅2]

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

Ответ: 16

Пример 2. lg 2 x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y 2 — 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x 2 — 3x) = log₂ (х — 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x 2 — 3x = х — 3 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg 2 x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

Это квадратное неравенство выполняется при t 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 — 4x) 0, откуда х 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 18.05.2014

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_<2>5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), — обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1.

ОДЗ неравенства:

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель заменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида заменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

Решим его методом интервалов:

Ответ:

2.

Заметим, что выражение положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Оценим . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Ответ:

3.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\\ x+1\neq 0. \end\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E0;%5C%5C&space;x+1%5Cneq&space;0.&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x 2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂ x = t

Теперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.

Поскольку , выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log₃2

Заметим, что log₃2 − 2 t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.
Вернемся к переменной x:

или

Ответ:

4. Еще одна задача из той же серии.

Запишем ОДЗ:

Умножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″ />. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Поделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.» />

Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4 x) = t. Тогда:

Неравенство примет вид:

Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

Применим метод рационализации.

Оценим

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log _h f можно заменить на ( h-1)( f-1), а множитель (log _h f — 1) — на ( h — 1)( f — h).

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″ /> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″ /> > 0 при всех x, получим:

Ответ: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Поскольку , поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить и ?

Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Тесты по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

функции, уравнения и неравенства

1. Какая из данных функций является показательной?

а) y= в) y=

б) y= г) y=.

2. Решите уравнение

а) в) -3

б) 5 г) другой ответ.

3. Решите неравенство

а) в)

б) г)

4. Найдите сумму корней уравнения

б) 6 г) другой ответ.

5. Решите показательное уравнение

6. Укажите возрастающую логарифмическую функцию

7. Найдите log₃ 729

8. Решите уравнение log ₅ х =1.

б) 2; г) другой ответ.

9. Решите неравенство lg(x+2)>lg4

а) в)

б) г)

б)2;-4 г) другой ответ.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

функции, уравнения и неравенства

1. Какая из данных функций является показательной?

а) y=; в) y=;

б) y= ; г) y=.

2. Решите уравнение .

а) 4 в)

б) 2 г) другой ответ.

3. Решите неравенство

а) в)

б) г)

4. Найдите сумму корней уравнения

б) -1 г) другой ответ.

5. Решите показательное уравнение

б) 1 г) другой ответ.

6. вычислите значение log₂ 128

б) 5 г) другой ответ.

7. Укажите убывающую логарифмическую функцию

8. Решите уравнение log₂x=3.

б) 8 г) другой ответ.

9. Решите уравнение ln(x 2 -3x + 4 )=ln2

б) 1 г) другой ответ

10. Решите неравенство log₂(x+5)>3

а) в)

б) г)

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

функции, уравнения и неравенства

1. Какая из данных функций является показательной?

а) y=; в) y=;

б) y= ; г) y=.

2. Решите уравнение .

б) 3 г) другой ответ.

3. Решите неравенство

а) в)

б) г)

4. Найдите сумму корней уравнения

б) -2 г) другой ответ.

5. Решите уравнение

б) — г) другой ответ.

6. Вычислите значение log₆ 1296

б) 2 г) другой ответ

7. Укажите убывающую логарифмическую функцию

б) 0,4; г) другой ответ.

б) 11;-1 г) другой ответ.

10. Решите неравенство ln(x+7) ln8.

а) в)

б) г) другой ответ.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

функции, уравнения и неравенства

1. Какая из данных функций является показательной?

а) y=; в) y=;

б) y= ; г) y=.

2. Решите уравнение .

б) 3 г) другой ответ.

3. Ршите неравенств о

а) ; в)

б) г) другой ответ.

4. Найдите сумму корней уравнения

б) 6 г) другой ответ.

5. Решите уравнение

б) 1 г) другой ответ

6. Вычислите значение log ₇ 343

7 . Решите уравнение log ₅ x= 2 .

8 . Укажите возрастающую логарифмическую функцию

9 . Решите уравнение lg(x +6 )=lg( 4 x-9)?

б) 15 г) другой ответ.

10. Решите неравенство log₄( 11 -3x) log₄2.

а) в)

б) г) другой ответ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 574 649 материалов в базе

Другие материалы

• 12.11.2015
• 425
• 1

• 12.11.2015
• 771
• 0

• 12.11.2015
• 2905
• 13

• 12.11.2015
• 657
• 0

• 12.11.2015
• 1131
• 0

• 12.11.2015
• 459
• 0

• 12.11.2015
• 555
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.11.2015 16490
• DOCX 151 кбайт
• 177 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Рахимберлина Асем Сагындыковна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 38672
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.