Показательные и логарифмические уравнения и неравенства проект

Урок на тему «Методы решения показательных, логарифмических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Этот урок был проведен в 11 классе. Тип урока — урок обобщения и систематизации пройденного материала с целью подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

— создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

— активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике;

— подготовка к ЕГЭ.

— развивать способности применять теоретические знания на практике;

— развивать навыки работы с заданиями №7, 17 базового уровня ; №5, 13, 15 профильного уровня

— развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

— воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, карточки с заданиями, диагностические карты.

1. Организация начала урока (Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ).

Девиз сегодняшнего урока: “Нельзя изучать математику глядя на то, как это делает сосед”.

Только свой труд в изучении математики может принести результаты. Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств и применить их на практике.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у каждого диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

1. Актуализация знаний учащихся

1. Сообщения учащихся.

а) Показательные уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 1).

б) Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 2)

1. Комплексное применение знаний на практике.

1. Применение теоретического материала к решению задач.

Одновременно у доски работают четверо учащихся. Решают показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

а) 49 x -8∙7 x + 7 = 0

1. Самостоятельная работа

Оцените свои умения решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. У каждого из вас есть индивидуальная карточка с заданиями. На выполнение работы отводим 15 минут. По окончании вы в соответствии оцениваете свою работу и выставляете соответствующую отметку в диагностическую карту.

Критерии оценивания: 4 заданий – «5»; 3 заданий – «4»; 2 заданий – «3» и менее 2 заданий –«2».

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства

Разделы: Математика

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2 x — 2 x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Уравнение 2 x = 32 имеет корень x = 5.

Ответ: 5

Пример 2. 5 x + 2 / 5 x — 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5 x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5 x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5 x — 5 x+2 ≥ — 120 (линейное показательное неравенство).

— 24 · 5 x ≥ — 120 | : (-24),

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5 x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Ответ: (-∞; 1]

Пример 2. 5 x +2 · 5 -x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5 2x +2 – 3 · 5 x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5 x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5 x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Ответ: [0; log₅2]

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

Ответ: 16

Пример 2. lg 2 x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y 2 — 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x 2 — 3x) = log₂ (х — 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x 2 — 3x = х — 3 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg 2 x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

Это квадратное неравенство выполняется при t 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 — 4x) 0, откуда х 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 18.05.2014

Проект на тему «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

2.Глава I .Обзор литературы по теме проекта………………………..6-7

3. Глава II . Эмпирическая часть:…………………………………… 8-9

Раздел 1.Решение логарифмических и показательных уравнений

Раздел 2. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств…………………………………………17-19

Раздел 3. Доклад про логарифмическую спираль…………………….20-21

Раздел 4. Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный)…………..22-23

“ Из всех заслуживающих изучения первопричин и

действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом — Свет,

а из достопримечательностей Математики — разум

исследователя в несравненно большей

степени, чем всё остальное, возвышает

непреложность её доказательств.
Леонардо да Винчи

Название проекта: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»

Краткая аннотация проекта:

Проект предусматривает исследования развития самостоятельности при изучении темы: «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств» и как это влияет на качественную подготовку к итоговой аттестации .

-Недостаток знаний у учащихся о решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств;

-низкие баллы по математике ЕГЭ-2015

Цель проекта – формирование у каждого ученика умения решать различные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств, эффективно подготовиться к сдаче ЕГЕ; .

Задачи исследования: познакомить и обобщить знания учащихся с разнообразием уравнений и неравенств , научить способам их решений по данной теме.

Предмет исследования: формы работ учащихся на уроках математики в процессе решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Гипотеза исследования: строить образовательный процесс на учебном диалоге ученика и учителя; привитие умения пользоваться математическими формулами; формировать мыслительные и самостоятельные практические действия; повысить их умения решать уравнения и неравенства по данной теме.

В чем заключаются методические рекомендации по развитию самостоятельности при обучении математике по данной теме?

Каковы теоретические основы развития самостоятельности при обучении математике?

Каковы нестандартные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств?

Каким образом прослеживается свойства логарифмической функции вне математической области?

Каковы теоретические основы при обучении математике по данной теме?

Какова методика при изучении указанной темы?

Какие трудности возникают при изучении темы «Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств»?

Какие требования предъявляются к изучению указанной темы?

Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

Метод проектов — далеко не открытие наших дней, он возник в начале прошлого века в США и используется не только в школьном образовании.

Что же такое проект?

— Проект – происходит от латинского project us .

Его буквальный перевод – « брошенный вперед » — уже объясняет многое.

— В современном русском языке слово «проект» имеет несколько весьма близких по смыслу значений. Так называют:

Совокупность документов, необходимых для создания какого-либо сооружения или изделия;

Предварительный текст какого-либо документа;

Какой–либо замысел или план.

В начале ХХ века американский философ и педагог Дж. Дьюки и его последователь В.Х. Килпатрик стали авторами «метода проектов».

Суть новаторской идеи заключалась в том, что дети, исходя из своих интересов, вместе с учителем выполняли собственные проекты. Так, решая какую-либо задачу, они включались в реальную деятельность и овладевали новыми знаниями.

Мой проект посвящается теме решения логарифмических и показательных

уравнений и неравенств. Эта тема включена в задания ЕГЭ №5 и №15(профильный уровень) и №7(базовый уровень).

Применение на уроках презентаций по этой теме позволяет:

учитывать индивидуальные способности;

формировать мыслительные и самостоятельные практические действия;

развивать творческие способности;

активизировать познавательную деятельность учащихся.

Глава I .Обзор литературы по теме проекта .

Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения неравенств с одной переменной-2011 г.

Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.

Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

Приложение газеты «Первое сентября», Математика, 2012г

В [1], [3], [4] рассматриваются все задания №5, №15 ЕГЭ-2016 года по базовому и профильному уровню, т.е. задания разделов 1;4 .

Из [2], [6], [7], [8] этих источников рассматриваются задания , наиболее ярко характеризующие тот или иной основной метод решения логарифмических и показательных уравнении и неравенств во всей его полноте в разделе1 .

Из [5], [7], [9], [10] этих источников взяты повышенного уровня подготовки №15 , которые решаются методом рационализации – методом Голубева или об одном способе , упрощающем решение логарифмических и показательных неравенств в разделе 2 .

Из [2] взят материал применение логарифма вне области математики, доклад про логарифмическую спираль в разделе 3.

Выводы: изучаемая тема из разных источников преподносится в разной последовательности и в разной форме, но вся литература соответствует требованиям ФГОС

Раздел 1 . Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств

Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

где а > 0, а ≠ 1, равносильное уравнению

Основные теоремы о логарифмах.

«Хитрости » свойств логарифмов:

при А≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А 1/В ;

при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;

при А=1 и В≠0 корней нет;

Логарифмы с переменным основанием

Методы решения логарифмических уравнений

1.Решение уравнений, основанных на определении логарифма

2.Решение уравнений потенцированием

3.Применение основного логарифмического тождества

6.Переход к другому основанию

Рассмотрим каждый из этих методов на примерах .

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

По определению логарифма

х = –3 – корень уравнения.

2. Решение уравнений потенцированием

Учитывая область определения получаем систему:

Откуда х ₁ = 0, х ₂ = – 4. Так как х > –1, то корень х ₂ = – 4 – посторонний.

3. Применение основного логарифмического тождества

Область определения уравнения

откуда х основное логарифмическое тождество , получим:

log ₂ (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х ₁ = 0; 2 х = 8, х ₂ = 3. Так как x 3 , то х ₂ = 3 – посторонний корень.

Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его:

(10 lg x ) lg x + x lg x = 20, x lg x + x lg x = 20, x lg x = 10 или lg x lg x = lg 10, lg 2 x = 1, lg x = ±1, значит lg x = 1, x ₁ = 10; lg x = –1, x ₂ = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0, x ≠ 1.

5. Замена переменной в уравнениях

Две основные идеи решения логарифмических уравнений :

приведение уравнения к виду

с последующим потенцированием;

замена неизвестных вида

с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Так как – х > 0, т.е. х IxI =- x , то данное уравнение можно записать в виде

Пусть = t , t ≥0, тогда получаем t = t 2 , t ( t – 1) = 0, откуда t ₁ = 0, t ₂₌ 1.

6 .Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде

Далее имеет

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3,получим: *= или

Методы решения показательных уравнений

2 2 x -4 = 64. (методом уравнивания показателей)

2 2 x – 6∙2 x + 8 = 0.(метод введения новой переменной)

7 2 x +1 + 7 2 x +2 + 7 2 x +3 = 57. (вынесение общего множителя.)

Схемы решения логарифмических и показательных неравенств

1. Сведение к рациональным неравенствам

2.Метод интервалов и систем

1. a f (x) > a g( x) f(x) > g( x)

a f (x) > a g( x) f(x)

Решить неравенство: 3 х – 3 х – 3 ≥ 26

2.Решить неравенство: lg 2 x 2 + 3 lg x > 1

=t, 4+3t-1>0; t=1/4, t=-2 ; x=, x=10 -2

3. Решить неравенство

Разделим обе части неравенства на :

Пусть =m, m>0, тогда

, , ; ; ;

Ответ: .

4. Решить неравенство Решение:

Так как то последнее соотношение равносильно

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

1.Таблица работает при условии : f ›0, g ›0, h ›0, h ≠1

где f и g — функции от х, h — функция или число, V — один из знаков ≤,›,≥,‹

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

2.И еще несколько полезных следствий :

где f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ‹,≥,≤,›

Пример 2:

Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h ›0, h ≠1.

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей .

( x 2 _{— x -2)} 2 x -6 ≥ ( x 2 — x -2) 3-4 x
X 2 — x -2›0

(( X 2 — x -2)-1)((2 x -6)-(3-4 x ))≥ 0

x ›2 ; x ‹-1
( x 2 — x -3)(6 x -9)≥0 , x _{2= ,} x _3=1,5

Так как 3‹ √13 ‹4,то x 2‹ x 3‹ x 1

С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1) U ( ; +∞)

Доклад про логарифмическую спираль:

Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так:

обойду земной шар и вернусь в

точку начала пути.

Но этот ответ неверен.

Ведь идти на северо-восток — это

значит постоянно увеличивать

восточную долготу и северную

широту, и вернуться в более южную

точку мы не сможем.

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

где r – расстояние от точки,

вокруг которой закручивается

спираль (ее называют полюсом),

до произвольной точки на спирали,

φ – угол поворота относительно полюса, ά – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( log _ά r ) возрастает пропорционально углу поворота φ.

Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.

В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный )

Задание15 № 507708. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 2010 год вариант 201. (Часть С)

Задание 15 № 507764. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2010 вариант 1. (Часть С)

Задание 15 № 508210. Решите неравенство:

Задание 15 № 508366. Решите неравенство:

Задание 5 № 26651 Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26653. Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26646. Найдите корень уравнения

Задание 5 № 26657. Найдите корень уравнения .

Задания №7 базового уровня такие же как и задания№5 профильного уровня

Проведя исследовательскую работу, дети узнают много полезного и интересного о методах решения логарифмических уравнениях и неравенствах, научатся работать с источниками информации, узнают в каких случаях и как используются те или иные или другие нестандартные методы.

Я, как учитель, в процессе работы над проектом с большим интересом составляла его, соблюдая нормы структурных требований. Интерес к чему-то новому, помню еще, было со школы: когда будучи ученицей седьмого класса, я получила задание от учительницы (на следующий урок подготовить выступление) по геометрии по теме «Средняя линия трапеции», построить чертеж на доске и доказать теорему о средней линии трапеции.(1982г)

Я справилась этим заданием. « Все новое — это хорошо забытое старое » гласит народная мудрость.

Выпускник получит возможность овладеть специальными приемами решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств, применять их для решения заданий ЕГЭ.

Проектную работу с успехом можно применить при подготовке к ЕГЭ.

Элементы проекта могут быть использованы также при подготовках к олимпиаде. В дальнейшем эта работа будет продолжаться по другой теме по заданиям ЕГЭ «Нахождение объемов тел».