Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 366)
ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 263)
Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 248)
Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 221)

StudyWay

Помощь

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Тригонометрические уравнения. Показательные уравнения. Применение технологии модульного обучения на уроках математики
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Вариативность учебных школьных планов, альтернативные учебники и программы по математике, достижение максимальных результатов при ограниченном учебном времени на изучение большого объёма учебного материала – всё это создаёт определённые трудности в преподавании предмета.

Рано или поздно встаёт проблема поиска технологии обучения, позволяющей практически решить эти трудности. В настоящее время существует множество технологий, значительно влияющих на результативность образовательного процесса. Мое внимание привлекает модульная технология, обеспечивающая высокий уровень индивидуализации обучения и формирование общеучебных умений и навыков учащихся.

Отличие модульного обучения от других педагогических технологий заключается в том, что учащиеся на уроке работают самостоятельно, руководствуясь технологической картой, состоящей из разноуровневых элементов. Задания учебных элементов модуля направлены на активное чтение изучаемого текста учебника, дополнительной литературы. Учащиеся из пассивных исполнителей и наблюдателей превращаются в активных участников процесса самообразования. Теория модульного обучения подробно изложена в работах Шамовой Т.И., Юцявичене П.А., И.Б.Сенновского, П.И.Третьякова и др.

Скачать:

Вложение	Размер
primenenie_tehnologii_modulnogo_obucheniya_na_urokah_matematiki.doc	253 КБ
Мой взгляд на воспитание	1.37 МБ

Предварительный просмотр:

Применение технологии модульного обучения на уроках математики.

Модульные уроки удобно использовать в 10–11-х классах как обобщение после изучения основного материала по теме.

Работа по модульной системе начинается с планирования и определения целей и конечных результатов обучения. Учебный материал разбивается на отдельные логически завершенные учебные элементы (блоки) и определяются цели и рекомендации для каждого из них. После чего составляются модульная программа и технологические карты, содержащие разноуровневые обучающие модули и определяются способы учебной деятельности учащихся. По количеству учащихся делается распечатка технологических карт. В начале изучения блока проводится рекомендательная беседа, поясняющая содержание каждого модуля данного блока. По результатам работы учащийся может получить комплексную оценку за все модули блока или за каждый из модулей в отдельности. Учащийся имеет право пересдать тот или иной модуль из блоков, если более глубоко изучил его, чем на момент контроля. По итогам работы над блоком проводятся консультации и зачёт.

Опыт показывает, что учащимся эта система обучения нравится, растёт познавательный интерес к предмету, вырос уровень самостоятельности учащихся по освоению содержания учебного материала, учащиеся учатся осуществлять самоконтроль, сопоставлять результаты самостоятельной работы и её цели.

Ниже представлены модули по темам: «Показательные уравнения» и «Тригонометрические уравнения»

Уровень 1. Модуль 1.

1. Вспомните основные свойства степеней. Уверенное владение необходимым набором формул и свойств избавит Вас от множества непростительных ошибок и сэкономит время для решения более сложных заданий.

Решение большинства показательных уравнений сводится к решению простейших уравнений вида , , а1. Из монотонности показательной функции следует .

1.1. 2 5х + 1 = 2 3х + 7 , (1балл); 1.2. 4 х – 3 = 16, (1балл); 1.3. 5 6х + 4 = 1, (1балл); 1.4. , (2 балла);

1.5. 11 0,3х = 0, (1балл); 1.6. , (2 балла).

2. Метод уравнивания оснований. Решите уравнения,

Пример: Решить уравнение .

Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду .

Это уравнение равносильно уравнению 2х 2 – 4х = — 6. Решая квадратное уравнение х 2 – 2х + 3 = 0, получаем корни уравнения х 1 = — 1, х 2 = 3. Ответ: х 1 = — 1, х 2 = 3.

Решите самостоятельно: 2.1. , (1 балл); 2.2. , (2 балла);

3. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

Пример: Решить уравнение 2 . 3 х +1 – 6 . 3 х – 1 – 3 х = 9

Решение: Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как а > 1), то есть, совершаем операцию деления. При делении основание степени остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3 х – 1 (2 . 3 2 – 6 – 3) = 9; 3 х – 1 . 9 = 9; 3 х – 1 = 1; х – 1 = 0; х = 1. Ответ: х = 1.

Решите самостоятельно: 3.1. 7 . 5 х – 5 х + 1 = 2 . 5 -3 , (2 балла); 3.2., (4 балла).

4. Метод введения новой переменной (способ подстановки). Приняв , t >0, сводим показательное уравнение к алгебраическому.

Пример: Решить уравнение

Решение: Положив , t >0, переходим к квадратному уравнению t 2 – 10t + 9 = 0, корни которого t 1 = 1 > 0, t 2 = 9 > 0. Значит, и , откуда х 1 = 0, х 2 = 2. Ответ: х 1 = 0, х 2 = 2.

Решите самостоятельно: 4.1 3 2х – 2 . 3 х – 3 = 0; (2 балла) 4.2. , (3 балла).

5 . Метод решения однородных уравнений . Решение однородных уравнений первой степени вида сводится к делению обеих частей уравнения на , а однородных уравнений второй степени вида соответственно на .

Пример: Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде . Относительно переменных 5 х и 4 х уравнение однородное второй степени. Поделим обе части уравнения на 4 2х . Получаем ; Положив , t >0, переходим к квадратному уравнению 4t 2 – 9t + 5 = 0, корни которого t 1 = 1 > 0, t 2 = > 0. Значит, и , откуда х 1 = 0, х 2 = 1. Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1

Решите самостоятельно: 5.1., (2 балла); 5.2., (3 балла).

Уровень 2. Модуль 6.

Вы прошли средний уровень усвоения материала. Теперь Вам самостоятельно придётся выбирать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы и решите самостоятельно:

6.1. (1 балл); 6.2. 2 х -1 + 2 х + 1 = 20 (1 балл); 6.3. 4 х -2 = 0,5 1 — х (2 балла);

6.4. 3 х+2 + 3 х + 1 + 3 х = 39, (2 балла).

Уровень 3. Модуль 7.

Молодец! Вы освоили решение уравнений II уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

7.1. 9 х + 6 х = 2 2х + 1 , (2 балла); 7.2. , (3 балла);

7.3. , (3 балла); 7.4. , (3 балла).

Уровень 1. Модуль 1.

1.1. 3 7х + 2 = 9 3х , (1балл); 1.2. 5 х – 4 = 125, (1балл); 1.3. 12 3х + 1 = 1, (1балл); 1.4. , (2 балла);

1.5. 8 0,4х = 0, (1балл); 1.6. , (2 балла).

2. Метод уравнивания оснований. Решите уравнения,

Пример: Решить уравнение .

Решение: Используя формулу и свойства степеней, приведём уравнение к виду .

Решите самостоятельно: 2.1. , (1 балл); 2.2. , (2 балла);

Пример: Решить уравнение 2 . 3 х +1 – 6 . 3 х – 1 – 3 х = 9

3 х – 1 (2 . 3 2 – 6 – 3) = 9; 3 х – 1 . 9 = 9; 3 х – 1 = 1; х – 1 = 0; х = 1. Ответ: х = 1.

3.1. 2 х — 1 + 2 х — 2 + 2 х — 3 = 448, (2 балла); 3.2., (4 балла).

Пример: Решить уравнение

Решите самостоятельно: 4.1. 4 х – 10 . 2 х — 1 – 24 = 0; (2 балла) 4.2. , (3 балла).

Пример: Решить уравнение

Решите самостоятельно: 5.1., (2 балла); 5.2., (3 балла).

Уровень 2. Модуль 6.

6.1. (1 балл); 6.2. 3 х +1 + 3 х = 108 (1 балл); 6.3. 2 х + 5 + 2 3 . 2 х — 1 – 2 2 = 0, (2 балла);

6.4. 2 . 3 х+1 – 6 . 3 х — 1 = 12, (2 балла).

Уровень 3. Модуль 7.

7.1. 2 2х+ 1 + 2 х + 2 — 16 = 0, (2 балла); 7.2. , (3 балла);

7.3. , (3 балла); 7.4. , (3 балла).

Тема «Тригонометрические уравнения»

1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно:

1.1. cosx = , (1балл); 1.2. sinx =, (1балл); 1.3. tgx = 1, (1балл); 1.4. cos = 0, (2 балла);

1.5. 2cosx = 1, (1балл); 1.6. 3tgx = 0, (1балл); 1.7. sin 4x = 1, (2 балла).

2. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (sinx, cosx, tgx) или их комбинацию обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.

Пример: Решить уравнение 4 – cos 2 x = 4sinx.

Решение: Вместо cos 2 x подставим тождественное ему выражение 1 – sin 2 x. Тогда исходное уравнение примет вид: 4 – (1 — sin 2 x) = 4sinx,

3 + sin 2 x = 4sinx,

sin 2 x — 4sinx + 3 = 0. Обозначив sinx = t, получим квадратное уравнение t 2 – 4t + 3 = 0, которое имеет корни t 1 = 1; t 2 = 3. Значит исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sinx = 1, тогда х = или sinx = 3, которое не имеет решений.

Решите самостоятельно: 2.1. tg 2 x – 3tgx + 2 = 0, (2 балла); 2.2. 2cos 2 x + 5sinx – 4 = 0, (3 балла);

2.3. + 2sinx = 3, (3 балла).

3. Метод решения однородных уравнений. Однородными называются уравнения вида

a sinx + b cosx = 0, a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, где a, b, c – числа. Решение однородных уравнений сводится к делению обеих частей уравнения на cosx или cos 2 x соответственно.

Пример: Решить уравнение 5 sinx – 2cosx = 0.

Решение: Поделим обе части уравнения на cosx, предварительно доказав, что cosx не равно 0. Если cosx = 0, то 5 sinx – 2 . 0 = 0. Т.е. sinx = 0. Но sinx и cosx одновременно быть равными 0 не могут, т.к. в этом случае не выполняется тождество sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение на cosx.

, получим 5 tgx – 1 + 0.

Т. е. tgx = 2/5, отсюда x = arctg(2/5) + Ответ: x = arctg(2/5) +

Решите самостоятельно: 3.1. sinx – cosx = 0, (2 балла); 3.2. sin 2 x – sin 2x = 3 cos 2 x, (3 балла).

4. Метод разложения на множители заключается в представлении данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Т.о. уравнение можно представить в виде совокупности более простых множителей. Одними из более популярных способов разложения на множители являются вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.

Пример: Решите уравнение 2 sin 3 x – cos2x — sinx = 0.

Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а cos2x представим в виде 1 – 2sin 2 x. Получим

(2 sin 3 x – sinx) – (1 – 2sin 2 x) = 0, из выражения, стоящего в первых скобках вынесем sinx, а из вторых скобок – (-1). Уравнение примет вид

sinx(2 sin 2 x – 1) + (2sin 2 x — 1) = 0,

(2 sin 2 x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений

2 sin 2 x – 1 = 0 или sinx + 1 = 0,

sin 2 x = 1/2, sinx = -1,

Решите самостоятельно: 4.1 sin 2 x – sinx = 0, (2 балла), 4.2. 3cosx + 2sin2x = 0, (3 балла).

5.1. cos2x – 5sinx – 3 = 0, (1 балл); 5.2. sin2x + cos2x = 0, (1 балл); 5.3. cos 2 x – cos2x = sinx, (2 балла);

5.4. sin4x – cos2x = 0, (2 балла); 5.5. 5 – 5cos, (2 балла).

Молодец! Вы освоили решение уравнений I уровня сложности. Целью дальнейшей Вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла); 6.2. 29 – 36sin 2 (x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла);

6.3. 2sinx cosx + — 2cosx — sinx = 0, (2 балла); 6.4. sin4x = 2cos 2 x -1, (2 балла);

6.5. sinx (sinx + cosx) = 1, (3 балла); 6.6. , (3 балла).

1. Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Решите самостоятельно:

1.1. sinx = -, (1балл); 1.2. cosx =, (1балл); 1.3. ctgx = -1, (1балл); 1.4. sin = 0, (2 балла);

1.5. 4sinx = 2, (1балл); 1.6. cos4x = 0, (2 балла); 1.7. 5tgx = 0, (1 балл).

Пример: Решить уравнение 4 – cos 2 x = 4sinx.

3 + sin 2 x = 4sinx,

sinx = 1, тогда х = или sinx = 3, которое не имеет решений.

Решите самостоятельно: 2.1. 2 + cos 2 x – 3cosx = 0, (2 балла); 2.2. 4 – 5cosx – 2 sin 2 x = 0, (3 балла);

2.3. + 2sinx = 3, (3 балла).

3. Метод решения однородных уравнений. Однородными называются уравнения вида

Пример: Решить уравнение 5 sinx – 2cosx = 0.

, получим 5 tgx – 1 + 0.

Т. е. tgx = 2/5, отсюда x = arctg(2/5) + Ответ: x = arctg(2/5) +

Решите самостоятельно: 3.1. 5sinx + 6cosx = 0, (2 балла); 3.2. 3sin 2 x – 2sin 2x + 5 cos 2 x = 2, (3 балла).

Пример: Решите уравнение 2 sin 3 x – cos2x — sinx = 0.

Решение: Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а cos2x представим в виде 1 – 2sin 2 x. Получим

sinx(2 sin 2 x – 1) + (2sin 2 x — 1) = 0,

(2 sin 2 x – 1)(sinx + 1) = 0, это уравнение равносильно совокупности уравнений

2 sin 2 x – 1 = 0 или sinx + 1 = 0,

sin 2 x = 1/2, sinx = -1,

Решите самостоятельно: 4.1 tg 2 x – 4tgx = 0, (2 балла), 4.2. 5sin2x — 2sinx = 0, (3 балла).

5.1. cos2x + 3sinx = 2, (1 балл); 5.2. sin2x — cos2x = 0, (1 балл); 5.3. 6 — 10cos 2 x + 4cos2x = sin2x, (2 балла);

5.4. cosx cos2x = 1, (2 балла); 5.5. cos 2 , (2 балла).

6.1. sin6x + cos6x = 1 – 2sin3x, (2 балла); 6.2. 29 – 36sin 2 (x – 2) – 36cos(x – 2) = 0, (3 балла);

6.3. 2sinx cosx + — 2cosx — sinx = 0, (2 балла); 6.4. sin4x = 2cos 2 x -1, (2 балла);

6.5. sinx (sinx + cosx) = 1, (3 балла); 6.6. , (3 балла).

Каждому учащемуся выдается технологическая карта с перечнем заданий. Самостоятельной работе учащихся предшествует краткий инструктаж, занимающий не более 1 минуты, так как необходимая информация содержится в раздаточном материале. Учитель по ходу урока, наблюдая и направляя деятельность учащихся, управляет процессом обучения.

Юцявичене П.А. Теория и практика модульного обучения. Каунас, 1998.
Третьяков П.И., Сенновский И.Б. Технология модульного обучения в школе: Практико-ориентированная монография / Под ред. П.И. Третьякова. М.: Новая школа, 2001.
Шамова Т. И. Модульное обучение: теоретические вопросы, опыт, перспективы. Москва, 1994.

источники:

http://thestudyway.com/education_ege/logarifmicheskie_trigonometricheskie_sistemy/

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/01/25/trigonometricheskie-uravneniya-pokazatelnye-uravneniya-primenenie