Показательные логарифмические и тригонометрические уравнения

Урок по теме: «Решение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений» Итоговое повторение 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

«Решение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений»

По учебнику Никольского

«Алгебра и начала анализа, 10класс»

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Решение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений»

По учебнику Никольского

«Алгебра и начала анализа, 10класс»

1. Обеспечить повторение теоретического материала.

2. Обеспечить повторение ранее изученного способа введения новой

переменной для решения уравнений различных типов.

3. Обогатить опыт учащихся по применению данного метода с помощью

решения уравнений «от простого к сложному».

4. Систематизировать способы деятельности по методу введения новой

переменной для решения уравнений различных типов.

5. Развивать умения оценивать свои возможности и достижения.

I. Организационный этап

Здравствуйте, дорогие ребята! Сегодня у нас необычный урок. Необычность его заключается в том, что у нас в гостях учителя других школ. И в то же время – это обычный урок, т.к. мы продолжаем повторять ранее изученные темы и в частности сегодня и на следующем уроке мы займёмся повторением показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Вследствие этого целями этого урока будут:

— повторить простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и методы их решения;

— повторить методы решения уравнений, сводящихся к простейшим и в частности метод введения новой переменной, который применяется для всех видов уравнений и на мой взгляд – это один из мощных методов решения уравнений;

— осмыслить свои возможности, закрепить на практике и оценить их, что несомненно может помочь вам при сдаче предстоящего экзамена.

В течение всего урока вы сможете с помощью листа самооценки (см. Приложение № 1), который имеется у каждого на парте, выставить себе балл по каждому виду работы на уроке и подвести итог.

II. Подготовка учащихся к работе на основном этапе урока

Итак, давайте сначала повторим простейшие уравнения и их решения. Перед вами и на доске таблица (см. Приложение № 2), которую мы сейчас заполним соответствующими формулами, и она будет для вас своеобразным помощником на уроке.

(3 ученика по очереди с комментариями заполняют таблицу на доске, остальные работают на месте)

Учитель . Оцените себя за знание формул.

Учитель. Теперь в устной работе применяем формулы для решения простейших уравнений.

На дополнительной доске (экране) записаны уравнения, которые учащиеся решают устно.

1. 7 х = 3;
2. 2 х+1 = 8;
3. 5 х-3 = 1;
4. 3 х+4 = -3;
5. log 2 (х – 5) = 3;
6. log 4 х – log 4 (2х – 1) = 0;
7. sin х = -1/2;
8. cos х = 1;
9. tg х = 2;

Учитель. Оцените свою работу на этом этапе.

III. Письменная работа

Учитель. Это всё просто. Переходим к следующим уравнениям.

На центральной доске записаны три уравнения. Ответьте на вопросы:

— Какой вид имеет уравнение?

— Каким способом решается?

1) 9 х – 5∙3 х + 6 = 0;

2) 2lg 2 х – 5lgх – 7 = 0;

3) 2cos 2 х + 5cosх + 3 = 0.

Учитель. Эти уравнения тоже довольно простые и мы не будем на них останавливаться, а более подробно рассмотрим следующие три уравнения. Работаем в тетрадях, а тот, кто отвечает у доски, комментирует своё решение.

4) 3 8х2 – 6х – 13 – 3 4х2 – 3х – 7 – 2 = 0;

5) ______6_______ __ _______6_____ = 5;

lg (х + 7) + 2 lg (х + 7) – 3

6) 3tg 2 х + _____1______ = — 0,5

Учитель. Если у вас не возникло проблем с решением уравнений, оцените себя на «5», если же трудности были, то баллами ниже.

Сейчас мы подробно повторили метод замены переменной, однако нам предстоит на следующем уроке повторить решение однородных уравнений, поэтому дома вы рассмотрите п.6.1(пример 5) и п.11.4(пример 5), а также решите № 6.8 и № 11.31. (Информация о домашнем задании записана на дополнительной доске). Все возникшие вопросы мы обязательно разберём на следующем уроке.

IV. Самостоятельная работа

Учитель. А теперь вам предлагается проверить свои знания при решении самостоятельной работы (см. Приложение №3). Следует отметить, что задания взяты из КИМов для сдачи ЕГЭ.

У каждого на парте имеется текст самостоятельной работы, состоящей из 4-х заданий различного уровня сложности. Обратите внимание на критерии оценки. Время работы 15 минут, после чего вам будут предложены варианты правильных ответов, и вы сможете выставить себе оценку. Удачи!

Учитель. Время работы вышло. Обратите внимание на доску, где указаны варианты правильных ответом, проверьте и оцените себя.

(Учащиеся сдают листы с решениями самостоятельной работы).

V. Подведение итогов

Теперь подведите итог своей работы на уроке. Если ваш общий балл совпадёт с экзаменационной оценкой, то у вас самооценка на должном уровне, а если нет, то вам необходимо поработать над собой.

Мы завершаем нашу работу и в конце урока я прошу вас на обратной стороне листа самооценки написать 5-6 слов, в которых вы сформулируете своё впечатление от урока.

(Спросить 1-2 учащихся)

(Учащиеся сдают листы самооценки).

Учитель. Я благодарю вас за работу. До свидания!

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

Опубликовано 16.09.2020Подготовка к ЕГЭ

Решение рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений и систем

На сегодняшний день ЕГЭ по математике проходит в форме решения заданий, содержащихся в контрольно-измерительных материалах, при этом, ответы на задания выносят на отдельный бланк.

Уравнения могут быть следующих видов:

В данной статье рассмотрена профильная математика, а именно раздел по видам и системам рациональных, иррациональных, показательных, тригонометрических и логарифмических уравнений.

При решении уравнений нужно помнить основные термины:

— Корнем уравнения называют неизвестное число, которое нужно найти;

— Решение уравнения предполагает нахождение его корня;

— Уравнения, у которых совпадают решения называют равносильными;

— ОДЗ – область допустимых значений;

— Если возможно заменить переменные, то нужно это выполнить;

— После решения уравнения необходимо провести проверку на правильность нахождения корня.

Итак, рассмотрим каждый вид уравнений по отдельности, включая примеры решения.

1. Рациональные уравнения – уравнения, у которых, как правило, слева расположено рациональное выражение, а справа – ноль.

Рациональным уравнением называют уравнение вида r(х)=0.

Если обе части уравнения являются рациональными выражениями, то рациональные уравнения называют целыми.

Дробно-рациональным называют уравнение, которое содержит дробное выражение.

Порядок действий при решении данного вида уравнения должен быть следующий:

— Все члены должны быть переведены в левую часть уравнения;

— Данную часть уравнения нужно представить в виде дроби p(x)/q(x);

— Для полученного решения нужно провести проверку, то есть.

При решение этого рационального уравнения понадобится формула (а-в)2=а2-2ав+в2.

Рассмотрим ещё один пример решения рационального уравнения:

На основе примеров показано, что рациональные уравнения могут быть с разным количеством переменных.

Иррациональными уравнениями считают уравнения с переменной под корнем. Для того, чтобы определить является ли уравнение иррациональным нужно просто посмотреть на корень переменной. Следует учитывать, что в некоторых учебниках по математике иррациональное уравнение определяют другим способом.

Способы решения таких уравнений:

— Возвести в степень обе части уравнения;

— Ввести новые переменные;

Пример решения уравнения по первому способу:

Пример решения по второму способу:

1. Показательные уравнения

Показательные уравнения – уравнение, содержащее неизвестный показатель.

В учебниках по математике разных авторов определение показательного уравнения может отличаться. Обычно такие отличия касаются незначительных деталей.

Как правило, это уравнения вида af(x)=ag(x), где а не равно одному и число а больше нуля. Из этого следует, что f(x)=g(x).

— Уравнение с одним основанием;

— Уравнение с равными основаниями.

Существует следующие способы решения таких уравнений:

— Использовать метод логарифмов;

— Привести уравнение к квадратному виду;

— Вынести за скобку общий множитель;

— Ввести новую переменную.

Итак, как решить показательное уравнение? Любое по сложности уравнение нужно привести в простую форму.

Рассмотрим наиболее простой пример решения показательного уравнения:

Для решения данного уравнения следует 2 возвести во вторую степень.

Решение даже простейших показательных уравнений имеет большую значимость. Поэтому далее вам будет легче решать уравнения более сложного уровня.

Данная тема является одной из самых сложных, поэтому следует внимательно подойти к изучению данной темы. Известны три формулы тригонометрических уравнений, запомнить которые не составляет особой сложности.

Наиболее простое тригонометрическое уравнение имеет вид sin x=a, cos x=a, tg x=а, а – число действительное.

Способы решения таких уравнений:

— Решение с помощью форму и приведение к простейшему;

— Ввод других переменных;

— Разложить уравнение по множителям.

Пример решения тригонометрического уравнения:

Здесь нужно рисовать окружность, далее выделить точки с координатой ½, соответственно, это точки 5п/6 и п/6. Если пройти по окружности, исходя из данных точек, то х=п/6+2пk, x=5п/6+2пn. При этом синус и косинус принадлежат промежутку [-1;1]. Если при решении уравнения в его правой части стоит число не принадлежащее промежутку, считается, что уравнение не имеет решения.

Также рассмотрим пример решения уравнения, разложив его по множителям.

Нужно применить формулу sin2x = 2sinxcosx.

2sinxcosx – sinx = 0.

sinx (2cosx – 1) = 0.

Таким образом, если один из множителей равен нулю, то решение уравнения также равно нулю.

Далее, sinx=0, x=пk.

1. Логарифмические уравнения

Особое значение имеет подготовка ЕГЭ по математике логарифмы, это обусловлено тем, что в КИМах чаще всего встречаются именно этого вида уравнения.

Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной величиной, находящейся внутри логарифма.

Примерами логарифмических уравнений являются уравнения следующего вида:

Способы решения уравнений данного вида:

— Применять способ уравнивания к единице;

— Применять способ умножать на единицу;

— Применять доступные правила логарифмов;

— Введение другого основания;

— Возвести в степень.

Самым простым логарифмическим уравнением принято считать уравнение вида log a x = b, при этом основание a>0,a≠1.

Пример решения уравнения:

Сначала следует найти значение области, то есть ОДЗ. При этом нужно помнить, что под логарифмом выражение всегда положительное. Воспользуемся логарифмическим определением, представим х степью основания 2 логарифма, степень будет равна 3.

Решение уравнения является ОДЗ, то есть корень уравнения найден.

Таким образом, подобное задание ЕГЭ по математике легко можно решить, зная логарифмы и способы их решения.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

• Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 401)
• Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 295)
• ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 276)
• Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 237)

StudyWay

Помощь

© 2021 StudyWay. Все права защищены.

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.

Общие методы решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная: повторение теоретического материала, связанного с решениями уравнений; проверка умений применять изученный материал при решении тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений;
• развивающая: развитие умений выявлять закономерности и обобщать, навыков самоконтроля;
• воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, чувства солидарности и уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: урок обобщающего повторения.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки с заданиями).

I. Организационный момент.

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

(Класс разбит на группы по 6 человек в каждой. Это группы постоянного состава, в них входят учащиеся с разным уровнем подготовки. Ученик с самым высоким уровнем знаний является консультантом в группе, к нему могут обратиться за помощью все члены этой группы).

II. Проверка домашнего задания.

Консультанты в группе проверяют домашнее задание и ставят оценки.

III. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Ребята, сегодня мы постараемся вспомнить, уравнения какого вида были изучены нами в 10-11 классах, повторить общие стандартные методы их решения, формулы и правила, необходимые для их решения. В течение всего урока вы будете поэтапно работать самостоятельно, в случае необходимости можете обратиться за помощью к консультантам в группах.

Итак, уравнения какого вида были изучены? (Тригонометрические, показательные, логарифмические).

Напомните, пожалуйста, общие стандартные методы их решения. (Решение простейших уравнений, уравнений, сводящихся к простейшим с помощью тождественных преобразований, метод замены и введения новой переменной.)