Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Алгебра
План урока:
Простейшие показательные уравнения а х = b
Его называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2:
Тогда уравнение будет выглядеть так:
Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем:
Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2 х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию.
Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным.
Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке.
Сразу отметим, что если в ур-нии вида а х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически:
Решая простейшее показательное уравнение
мы специально представляли правую часть как степень двойки:
После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида
то его единственным решением является х = с.
Задание. Найдите решение показательного уравнения
Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели:
Задание. Найдите корень уравнения
Решение. Заметим, что число 625 = 5 4 . Тогда ур-ние можно представить так:
Отсюда получаем, что х = 4.
Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями.
Задание. При каком х справедливо равенство
Решение. Преобразуем число справа:
Теперь ур-ние можно решить:
Задание. Решите ур-ние
Решение. Любое число при возведении в нулевую степень дает единицу, а потому можно записать, что 1 = 127 0 . Заменим с учетом этого правую часть равенства:
Уравнения вида а f( x) = a g ( x)
Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние
Для его решения заменим показатели степеней другими величинами:
Теперь наше ур-ние принимает вид
Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней:
При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания:
В общем случае использованное правило можно сформулировать так:
Задание. Найдите корень ур-ния
Решение. Представим правую часть как степень двойки:
Тогда ур-ние примет вид
Теперь мы имеем право приравнять показатели:
Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие
Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что
С учетом этого можно записать
Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели:
Задание. Укажите корень показательного уравнения
Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми:
Тогда ур-ние примет вид:
Задание. Найдите корень ур-ния
Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями:
С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5 3+х :
Задание. При каких х справедлива запись
Можно сделать преобразования, после которых в ур-нии останется только показательная функция 5 х . Для этого произведем следующие замены:
Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен:
Теперь множитель 5 х можно вынести за скобки:
Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13.
Задание. Найдите решение уравнения
Решение. Преобразуем левое слагаемое:
Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование
Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки:
Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели:
Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем:
Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям
Рассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике.
Задание. Из-за радиоактивного распада масса слитка из изотопа уменьшается, причем изменение его массы описывается зависимостью m(t) = m0 • 2 – t/ T , где m0 – исходная масса слитка, Т – период полураспада, t – время. В начальный момент времени изотоп, чей период полураспада составляет 10 минут, весит 40 миллиграмм. Сколько времени нужно подождать, чтобы масса слитка уменьшилась до 5 миллиграмм.
Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия:
m0 = 40 миллиграмм;
m(t) = 5 миллиграмм.
В результате мы получим ур-ние
из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40:
Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества.
Задание. На особо точных рычажных весах в лаборатории лежат два слитка из радиоактивных элементов. Первый из них весит в начале эксперимента 80 миллиграмм и имеет период полураспада, равный 10 минутам. Второй слиток весит 40 миллиграмм, и его период полураспада составляет 15 минут. Изначально весы наклонены в сторону более тяжелого слитка. Через сколько минут после начала эксперимента весы выровняются? Масса слитков меняется по закону m(t) = m0 • 2 – t/ T , где m0 и Т – это начальная масса слитка и период его полураспада соответственно.
Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону
а масса второго слитка описывается зависимостью
Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m1 = m2):
Делим обе части на 40:
Основания равны, а потому приравниваем показатели:
Уравнения с заменой переменных
В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 3 2 = 9. Тогда введем новую переменную t = 3 x . Если возвести ее в квадрат, то получим, что
C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:
Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:
Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:
Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:
Задание. Найдите корни ур-ния
Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4 4х+1 :
Так как 1 4х+1 = 1, мы можем записать:
Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4 4х+1 строго положительна при любом х.
Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4) 4х+1 и (3/2) 4х+1 . У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что
9/4 = (3/2) 2 , поэтому и (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 . Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных.
Произведем замену t = (3/2) 4х+1 , тогда (9/4) 4х+1 = ((3/2) 4х+1 ) 2 = t 2 . Далее перепишем ур-ние с новой переменной t:
Снова получили квадратное ур-ние.
Возвращаемся к переменной х:
И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:
Графическое решение показательных уравнений
Не всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений.
Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство
Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3 х и у = 4 – х:
Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния:
Получили верное равенство, значит, х = 1 – это действительно корень ур-ния.
Задание. Решите графически ур-ние
Решение. Перенесем вправо все слагаемые, кроме 2 х :
Слева стоит показательная функция, а справа – квадратичная. Построим их графики и найдем точки пересечения:
Видно, что у графиков есть две общие точки – это (0;1) и (1; 2). На всякий случай проверим себя, подставив х = 0 и х = 1 в исходное ур-ние:
Ноль подходит. Проверяем единицу:
И единица тоже подошла. В итоге имеем два корня, 0 и 1.
Показательные неравенства
Рассмотрим координатную плоскость, в которой построен график некоторой показательной ф-ции у = а х , причем а > 0. Пусть на оси Ох отложены значения s и t, и t t и a s на оси Оу. Так как
является возрастающей функцией, то и величина a t окажется меньше, чем a s . Другими словами, точка a t на оси Оу будет лежать ниже точки а s (это наглядно видно на рисунке). Получается, что из условия t t s . Это значит, что эти два нер-ва являются равносильными.
С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во
Представим восьмерку как степень двойки:
По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно:
Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3).
Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее.
Так как показательная ф-ция у = а х при основании, меньшем единицы, является убывающей, то окажется, что на оси Оу точка a s лежит ниже, чем a t . То есть из условия t t > a s . Получается, что эти нер-ва равносильны.
Например, пусть надо решить показательное неравенство
Выразим число слева как степень 0,5:
Тогда нер-во примет вид
По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во
В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так:
а его решением будет промежуток (3; + ∞).
В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида
основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом
Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный:
Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило:
Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы.
Задание. Решите простейшее неравенство
Представим число 64 как степень двойки:
теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1):
Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во
Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный:
Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна.
Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков:
Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную.
Задание. Найдите решение нер-ва
Решение. Для начала представим число 3 х+1 как произведение:
Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во:
Получили дробь, в которой есть одна показательная ф-ция 3 х . Заменим её новой переменной t = 3 x :
Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом:
которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева
Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки:
Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть
Теперь произведем обратную замену t = 3 x :
Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его:
Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной.
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://100urokov.ru/predmety/urok-7-uravneniya-pokazatelnye
http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva