Показательные уравнения. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.
Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.
Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.
Структура урока
1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока
– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.
2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)
- Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
- Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
- Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
- Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5
3. Изучение нового материала (лекция)
Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).
1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
Пример 1 (слайд № 6).
(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .
Пример 2 (слайд №7)
36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.
Пример 3 (слайд №8)
81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 4 (слайд № 9)
2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.
2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.
Пример 2 (слайд № 11).
5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.
3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t1 = 9,
t2 = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.
4. Закрепление изученного материала
– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).
5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой
– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).
- (0,3) 5 – 2х = 0,09;
- 225 · 15 2х + 1 = 1;
- 3 х + 1 – 3 х = 18;
- 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0
Решение № 1 (слайд № 14)
Решение № 2 (слайд № 15)
15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.
Решение № 3 (слайд № 16)
3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.
Решение № 4 (слайд № 17)
3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t1 = 27,
t2 = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.
6. Подведение итога урока. Рефлексия
– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?
7. Домашнее задание (слайд № 18)
Урок по математике «Показательные уравнения»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема: «Показательные уравнения»
1. Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений;
2. Сформировать умения и навыки решения несложных простейших показательных уравнений.
3. Продолжить развивать логическое мышление учащихся.
4. Развивать навыки самостоятельной работы и взаимоконтроля.
5. Развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности учащихся.
Методическое обеспечение урока:
«Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс» Дорофеев Г. В., Москва «Дрофа» 2007г.
Дидактический материал (карточки).
Тип урока: комбинированный.
а) С древних времен на Руси, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь здоров». Сейчас мы говорим «Здравствуйте», т.е. люди желают здоровья друг другу. Здравствуйте ребята и гости.
Мобилизирующий момент: Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», — ответил юноша. Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
б) Постановка цели и задач
Тема урока «Показательные уравнения» (слайд 1)
А эпиграфом к нашему уроку станут слова С.Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т.е другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.
А какие вообще виды уравнений вы знаете?(Рациональные, дробно – рациональные, квадратные, линейные, тригонометрические, иррациональные)
И так как тема нашего урока «показательные уравнения», то как вы думаете,
чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставите вы цели?
Обучающиеся: повторить материал, который нам понадобится при изучении данной темы, изучить определение показательных уравнений, познакомиться со способами решения показательных уравнений.
Преподаватель: Совершенно верно: сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним видом уравнений — показательные, узнаем способы решения показательных уравнений, повторим теорию, проведём тестирование, выполним самостоятельную работу, покажем наши умения критически относиться к себе и своим друзьям.
2.Актуализация опорных знаний. Теоретический опрос:
Устные упражнения. Слайд №2.
1) а) у = 2 х ; б) у = ( 0,2) х ; в) у = ( х-2) 3 ; г) у = х 2 ; д.) у = П х ; е) у = 3-х .
Какие из функций являются показательными?
Дайте определение показательной функции.
Какие из них являются возрастающими? Убывающими? Почему?
Какой из графиков является графиком показательной функции у = П х ?
Как упростить выражения?
а) 3 х * 3 2 = 3 х+2 ;
Какое свойство степеней использовано?
a m * a n = a m + n
А теперь применим их в обратном порядке (справа налево).
б) 2 х+3 = 2 х * 2 3 ,
4) как представить в виде степени?
9 х = (3 2 ) х = 3 2х = (3 х ) 2 .
Какое свойство степеней использовано?
Вынести общий множитель за скобки. (По готовой записи.)
а) 4 х + 4 х+2 = 4 х + 4 х * 4 2 = 4 х * (1 + 4 2 ) = 4 х * 17;
б) 10 х-1 + 10 х = 10 х-1 * (1 + 10) = 10 х-1 * 11.
а) какой множитель выносят за скобки? (С наименьшим показателем степени.)
Что для этого сделали? (Представили в виде 4 х+2 = 4 х * 4 2 .)
3. Изучение нового материала.
Мы повторили свойства степеней и показательной функции для лучшего усвоения и понимания новой темы “ Показательные уравнения и способы их решения”.
Слайд №6. (Работа со слайдом)
а) определение показательного уравнения.
Определение: показательное уравнение — это уравнение, содержащее переменную в показателе степени.
Простейшие показательные уравнения вида а х = в, где a > 0, а ≠ 1. слайд№7
1) при в > 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в> 0 имеет с графиком функции у = а х одну единственную точку.
3) для решения уравнение представляем в виде а х = а с .
б) методы решения показательных уравнений. Слайд №8 .
Метод приведения степеней к одинаковому основанию.
Вынесение общего множителя за скобки.
Метод введения новой переменной.
Метод почленного деления.
“ Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть- и в последствии подтвердить это, — что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц
Сегодня мы рассмотрим два метода решения уравнений.
в) решение простейших показательных уравнений. (Работа на доске и в тетрадях)
I . Приведение к одинаковому основанию левой и правой части уравнения.
а) с объяснением у доски;
Основания степеней равны, значит, равны и показатели степеней.
Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим показательную функцию, ее график и основные свойства. Также научимся решать простейшие показательные уравнения.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Показательная функция и логарифм»
http://infourok.ru/material.html?mid=18578
http://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-prosteyshie-pokazatelnye-uravneniya