Показательные уравнения и их системы конспект

Конспект урока по теме: Показательные уравнения и их системы.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме: Показательные уравнения и их системы. »

Тема: «Показательные уравнения и их системы».

рассмотреть способы решения показательных неравенств и способствовать выработке навыков их решения.

развитие зрительной памяти;

развитие математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

воспитывать интерес к предмету;

воспитывать ответственность, самостоятельность.

Организационный момент. (1 мин)

Итоги математического диктанта. (7 мин)

Изучение нового материала. (12 мин)

Решение показательных неравенств. (22 мин)

Итоги урока. (2 мин)

Домашнее задание. (1 мин)

Итоги математического диктанта.

а) Анализ ошибок, допущенных учащимися в работе.

б) Решить на доске задания из домашней работы, вызвавшие затруднения у учащихся.

Изучение нового материала.

Какое уравнение называется показательным? (Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным уравнением).

Определение. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.

Для решения таких неравенств используются следующие утверждения:

если , то при следует

если , то при следует

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Согласно свойству монотонности показательной функции при основании, большем 1, меньшему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени, т.е.

Пример 2. Найдем наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству .

Решение. Сделаем преобразование и получим неравенство, равносильное данному: отсюда следует, что или

Решением исходного неравенства является промежуток тогда наибольшим целым значением переменной, удовлетворяющим исходному неравенству, будет .

Пример 3, рассмотрим открыв учебник на странице 102. (Разбор по учебнику).

Конспект урока + презентация на тему «Показательные уравнения и их системы. Методы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение 1.docx

Фамилия, Имя учащегося_______________________________

Рассуждения с рабочего места

Решение заданий у доски

Решение заданий на месте самостоятельно

Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx

Выбранный для просмотра документ Приложение 3б.docx

Задания для самостоятельного решения

Выбранный для просмотра документ Приложение 3в.docx

Задания для самостоятельного решения

Выбранный для просмотра документ Рефлексия.docx

Варианты ответа (поставьте галочку)

На уроке я работал

Своей работой на уроке я

Урок для меня показался

Материал урока мне был

Выбранный для просмотра документ Технологич.карта.docx

Министерство образования республики Башкортостан

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Уфимский автотранспортный колледж»

Показательные уравнения и системы.

Методы их решения.

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени, т.е это уравнения вида , где и .

Овладение методикой решения показательных уравнений повышает умственные и творческие способности обучающихся. При решении уравнений обучающиеся приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У обучающихся формируются такие качества личности как целеустремленность, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение раннее изученного материала: показательной функции, свойств степени, свойств логарифма. Показательные уравнения встречаются и при сдаче ЕГЭ на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Данное занятие разработано в соответствии с темой и учитывая возрастные особенности обучающихся. На занятии используются ИКТ, как сопровождение изучаемого материала, как средство самостоятельной работы и средство самопроверки знаний. Использование ИКТ полно позволяет развивать речевые способности обучающихся, увеличить объем предлагаемого материала, а также развивает творческие интеллектуальные способности. Визуальный материал способствует лучшему закреплению и усвоению изученного материала и повышает мотивацию обучающихся к предмету.

Оглавление

УФИМСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Технологическая карта (план) занятия

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

Тема занятия: Показательные уравнения и их системы. Методы их решения.

Вид занятия (тип урока): урок ознакомления с новым материалом

Повторение, а именно:

выяснить мотив появления показательной функции;

вспомнить историю возникновения показательной функции;

показать связь показательной функции с другими предметами.

Познакомить студентов с определением показательного уравнения

Познакомить студентов с основными методами и приемами решения показательных уравнений и систем.

Воспитывать ответственное отношение к труду.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах.

Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала

4.Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные уравнения и их системы. Методы решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников.

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ: биология, экономика, физика.

ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕСВЯЗИ: показательная функция и ее свойства, свойства степеней и логарифмов,

Обеспечение занятия

а) Наглядные пособия: презентация, учебники, задания на закрепление изученного материала, раздаточный материал.

б) Раздаточный материал: раздаточные листы; оценочные листы, лист рефлексия; лист с домашним заданием, лист с кроссвордом

в) Технические средства обучения: компьютер, проектор, интерактивная доска

1. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1,2). – М., Новая волна, 2008

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10кл. – М.,2005.

3. Богомолов Н.В. Сборник задач по матемайтике. Учебное пособие для ССУЗов– М., Дрофа, 2010.

1. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова.

Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные уравнения и их системы. Методы решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

владение стандартными приемами решения показательных уравнений и их систем;

Содержание занятия

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

ЭПИГРАФ К УРОКУ.

Эпиграф появляется на экране и преподаватель его зачитывает

ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧАЩИХСЯ С УСЛОВИЯМИ ОЦЕНИВАНИЯ ИХ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИИ

Знакомит студентов с оценочными листами

Знакомятся с оценочными листами

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Проводит небольшой математический диктант, который состоит из 2 вариантов по 7 заданий в каждом. Задания записаны на доске, в виде презентации.

Учащиеся решают задания математического диктанта. После решения, меняются листочками и проверяют правильность решений, сравнивая с ответами, записанными на доске. Выставляют оценки по критериям, заданным на доске.

ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ ЗАНЯТИЯ

Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод учащихся на тему урока.

Озвучивает тему и цель занятия.

Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод учащихся на тему урока.

Озвучивает тему и цель занятия.

ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Работает у доски.

Создает схему метода решения показательных уравнений и каждый раз, при нахождений нового метода решения, возвращается к схеме и дополняет его.

Предлагает студентам несколько примеров и показывает метод их решения на доске. Свои примеры сопровождает презентацией.

Показывает метод решения одной показательной системы и делает вывод решения показательных систем.

Напоминает студентам факт того, что они не должны забывать о своих оценочных листах.

Каждый метод заносят в схему.

Во время решения преподавателем у доски примеров, помогают с места своими ответами.

Кому тема понятна, то до решения преподавателем на доске, решают пример в тетрадях сами.

Результаты оценки собственных знаний заносят в оценочные листы.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Преподаватель ставит вопрос выбора (разбиение множества представленных уравнений по способу их решения).

Дает ребятам задания для решения у доски.

Студенты по рядам решают задания самостоятельно в тетрадях. Дает возможность студентам оценить знания своего соседа.

Задаются индивидуальные задания, которые лежат на столах перед учащимися, у каждого свой вариант

Студенты решают задания на доске, но прежде определяют метод решения каждого из метод решения каждого из предложенных показательных уравнений.

У студентов есть возможность оценить не только свои знания, но и знания своего соседа и побывать на пару секунд на месте преподавателя.

Решают индивидуальные задания.

Инструктаж по выполнению домашнего задания

Рассматривают листочки с домашним заданием

Напоминает о том, что нужно подсчитать баллы, заполнить оценочные листы, листы рефлексия и сдать их в конце занятия.

Заполняют оценочный лист, лист рефлексия, считают набранные баллы и выставляют себе оценки.

В ОСТАВШЕЕСЯ ВРЕМЯ

Слушает презентацию студентов

Отвечают у доски, сопровождая свои ответы презентацией «Показательная функция в природе и технике»

Ставит точку урока притчей и словами знаменитого английского философа Герберта Спенсера и благодарит всех за урок.

Конспект занятия

Преподаватель: Сегодня я рада приветствовать вас на открытом уроке, посвященном показательным уравнениям и их системам.

Эпиграф

«Три пути ведут к знаниям: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький»

Ознакомление студентов с условиями оценивания их деятельности на занятии .

Преподаватель: Каждому из вас были розданы оценочные листы. /слайд №2/ Посмотрите Приложение №1. В ходе нашего занятия, каждый из вас должен самостоятельно оценивать свои знания (по пятибалльной шкале), а в конце занятия вы выставите себе оценку, по собранным баллам. Надеюсь, что вы будете объективно оценивать свои знания.

Проверка домашнего задания

Преподаватель: А теперь давайте проверим домашнее задание.

Проверку домашнего задания мы проведем в виде математического диктанта по теме «Свойства степеней»

На доске вам заданы задания в 2-х вариантах /слайд №3/. 1-ый и 3-ий ряд делают 1-ый вариант, а 2-ой и 4-ый ряд выполняют 2-ой вариант.

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

А теперь поменяйтесь листочками с соседом по парте и посмотрите на доску. На доске высвечиваются ответы. Проверяете работу соседа и пишете сколько ответов правильных и какую оценку модно поставить. Критерии оценивания таковы:если вы без ошибок решили все 7 заданий, то получаете оценку5; если 6-5 заданий, то оценка – 4; если 4 задания, то оценка 3, если 3 и менее, то 2.

Обоснование темы и целей урока .

Преподаватель: Сейчас на доске я напишу две последовательности чисел, а вы должны определить принцип построения числового ряда.

Обучающиеся вместе с учителем: Все числа, записанные в каждом ряду, представляют собой степень некоторого положительного числа, не равного 1.

Преподаватель: А можно ли записать это одним общим выражением?

Обучающиеся: Да, можно. ( ).

Преподаватель: Верно. И так, мы получаем уравнение относительно переменной , которая содержится в показателе степени. Такой вид уравнения называется показательным. Вот мы с вами и пришли к теме нашего сегодняшнего занятия. И так записываем тему нашего урока: «Показательные уравнения и их системы. Методы их решения» /слайд №4/

Сегодня нашей основной целью будет Знакомство с показательным уравнением и основными методами решения показательных уравнений и систем.

А кто попробует сформулировать определение показательного уравнения?

Обучающиеся: Вывод: Показательное уравнение – это уравнение вида , где и . Оно имеет единственное решение . /слайд №6/

Преподаватель: Записываем это определение в тетрадях.

Изложение нового материала .

Преподаватель: Сразу хочу начать с того, что методов решения показательных уравнений несколько и мы сегодня с вами рассмотрим каждый и a з них. Давайте нарисуем в виде схемы методы решений показательных уравнений. И с нахождением каждого нового метода будем эту схему дополнять.

Решение показательных уравнений

Нарисуем на доске с краю

Рассмотрим первую группу примеров:

Учитель записывает примеры на доске, а на экране примеры появляются друг за другом, причем после решения каждого примера на доске высвечивается ответ. /слайд №7,8,9,10/

 . И так приступим к решению первого уравнения. /слайд №7/

.

Для решения данного уравнения применим свойства степеней

Мы привели обе части уравнения к одному основанию, а теперь приравниваем степени и получим, что . Уравнение решено. А теперь проверим правильность нашего ответа. Правильный ответ высвечивается на доске.

Но с другой стороны мы могли решить данное уравнение согласно определению, с помощью логарифма. Тогда получим =2/

Получили тот же самый ответ.

Мы получили 1 метод решения показательных уравнений – сведение к одному основанию. Запишем этот метод на схеме.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

 .Преподаватель: Рассмотрим следующее уравнение. Учащиеся смотрят на интерактивную доску. /слайд № 7/

Приступим к решению данного уравнения.

Применим свойства степеней и получим равносильное уравнение.

У нас получились одинаковые множители –это и мы можем вынести его за знак скобки.

Ответ:

Смотрим ответ на доске.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Итак, мы получили еще один метод решения показательных уравнений – это вынесение общего множителя за скобки. Запишем этот метод на схеме.

 .Преподаватель: Теперь рассмотрим следующее показательное уравнение./слайд №8/

Заменим

не подходит т.к.

Возвращаемся к замене и получаем

Ответ:

Теперь я хочу задать один вопрос, а если бы уравнение выглядело бы так: , то какую замену здесь вы бы сделали?

Преподаватель: Вывод: получили еще один метод решения показательного уравнения и это – введение новой переменной. Добавим его в нашу схему.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Не забывайте оценивать свои знания и заносить баллы в оценочные листы.

 V . Рассмотрим еще одно показательное уравнение.

Смотрим на интерактивную доску и там высвечивается уравнение. /слайд №8/

Уравнения данного вида решаются с помощью графиков. В одной координатной плоскости построим график (график показательной функции) и (график линейной функции).

Решением будет являться абсцисса точки пересечения графиков этих функции.

Из рисунка видно, что они пересекаются в точке . Следовательно решением данного уравнения является . Проверяем правильность данного решения:

4=4. Значит мы все сделали верно.

Мы получили еще один метод решения показательных уравнений — графический. Дополним нашу схему.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Мы с вами рассмотрели основные методы решения показательных уравнений. Эти методами мы пользуемся довольно часто при решении показательных уравнений. Но есть еще и те методы, которые мы используем, хотя и не так часто. Все же мы на них остановимся и рассмотрим примеры с использованием этих методов.

V . Метод логарифмирования обеих частей /слайд №9/

Зачастую используют логарифмы для избавления от степеней и последующего решения показательных уравнений. Сейчас мы рассмотрим решение показательного уравнения с использованием логарифмов.

Мы с вами видим, что привести к одному основанию мы не можем. Поэтому будем решать с помощью логарифма. Первым делом нам надо избавиться от степени.

Для избавления от степеней, необходимо взять логарифм обеих сторон уравнения. При этом степень превращается в множитель перед логарифмом: log _b (x y ) = ylog _b (x). Таким образом, переменная уже не находится в показатели степени и поэтому с ней можно проводить основные арифметические действия до тех пор, пока она не будет обособлена на одной из сторон уравнения.

Можем брать логарифм по основанию 10 или по основанию 2 или натуральный логарифм обеих сторон уравнения. В нашем примере возьмем логарифм по основанию 10: log ₁₀ (6 x )= log ₁₀ (32) или по другому можем записать .

Множитель перед логарифмом вносится под знак логарифма в качестве показателя степени. С другой стороны, показатель степени выносится за знак логарифма как множитель. Например, 2log ₃ (x) = log ₃ (x 2 ). Это правило и применяется при логарифмировании обеих частей уравнения для избавления от степеней.

Используя эти правила, запишем lg(6 x )= lg32 как xlg6= lg32. Теперь разделим обе части уравнения на lg6 и получим: .

И так, в ответе получаем

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Логарифмирование обеих частей

V . Решение однородных показательных уравнений /слайд №9/

Очень часто при решении показательных уравнений можно встретить уравнения вида: . Уравнения такого вида называются однородными. Давайте разберем общий случай решения таких уравнений. Т.к. , то разделим обе части уравнения на Тогда получаем: . Введем новую переменную и получим . Находим корни квадратного уравнения и выполняем обратную замену. Решаем полученные показательные уравнения.

Рассмотрим данный метод на примере.

.

Т.к. мы можем наше уравнение поделить на .

Получим . Сделаем замену . Тогда получаем квадратное уравнение относительно t : .

Решать такое уравнение мы умеем: и .

Теперь выполняем обратную замену:

и

В ответе получим: , .

Тема урока: Показательные уравнения и их системы

Класс 11

Тема: Показательные уравнения и их системы

— Цель урока: «Обобщение и систематизация знаний учащихся; Закрепление умений решать показательные уравнения и системы уравнений»

Тип урока: урок обобщение

Форма: частично- поисковый

Оборудование: дидактические материалы

1. Организационный момент. Взаимное приветствие учителя и учащихся. Определение отсутствующих, проверка подготовленности учащихся к уроку, организация внимания учащихся
2. Проверка домашнего задания: Выявления уровня знаний учащимися заданного на дом материала; определение типичных недостатков в знаниях и причин их появления; ликвидация обнаруженных недочетов.
3. Всесторонняя проверка знаний: Стимулировать опрашиваемых и весь класс к овладения рациональными приемами умения и самообразования
4. Постановка цели: Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению знаний. Сообщение темы, цели и задачи изученного материала. Постановка перед учащимися цели урока.
5. Закрепление

1. Письменные упражнения:

Решить систему уравнений:

1. Перемножим уравнения (1) и (2):

Поделим уравнения (1) и (2):

1. Данную систему сводим к эквивалентной ей системе:

Выполним задание из учебника