Показательные уравнения и неравенства егэ профиль

ЕГЭ Профиль №15. Показательные неравенства

15 заданием профильного ЕГЭ по математике является неравенство. Одним, из наиболее часто встречаемых неравенств, которое может оказаться в 15 задание, является показательное неравенство. Большая часть показательных неравенств предлагаемых на реальных экзаменах решается с помощью замен, методом интервалов или разложением на множители. Прежде чем решать показательные неравенства необходимо знать свойства показательной функции и уметь решать показательные уравнения (см. задание 13 профильного ЕГЭ « Показательные уравнения »). В данном разделе представлены показательные неравенства (всего 109) разбитые на два уровня сложности. Уровень А — это простейшие показательные неравенства, которые являются подготовительными для решения реальных показательных неравенств предлагаемых на ЕГЭ по профильной математике. Уровень В — состоит из неравенств, которые предлагали на реальных ЕГЭ и в диагностических работах прошлых лет.

Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2 x .

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2 x₁ > 2 x₂ , то x₁ > x₂ . Итак, от неравенства 2 x > 2 3 можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.

2. Следующее неравенство:

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2 log₂7 .

3. Еще одно неравенство:

Здесь правую часть удобно представить как .

Вспомним, как выглядит график функции :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства \left ( \frac<1> <2>\right )^<4>» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%3C1%3E%3C2%3E&space;%5Cright&space;)%5E%3Cx%3E&space;%3E&space;%5Cleft&space;(&space;%5Cfrac%3C1%3E%3C2%3E&space;%5Cright&space;)%5E%3C4%3E» /> следует, что x x − 2 · 5 2x − 10 x > 0.

Заметим, что 4 x = 2 2x , 10 x =5 x ·2 x , и запишем неравенство в виде:
2 2x − 5 x ·2 x − 2 · 5 2x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 5 2x и обозначим . Получим квадратное неравенство:

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t 2 − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t 2 − t − 2 = 0, получим t₁ = −1, t₂ = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t 2 − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:

Представим 2 в виде степени с основанием :

Его дискриминант , корни

Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.

Получаем, что значит,

Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства Знак здесь может быть любой: . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.

И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что , знак неравенства меняется на противоположный.

Задания по теме «Показательные неравенства»

Открытый банк заданий по теме показательные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1193

Условие

Решите неравенство 3^<2x^2+7>+3^<(x+3)(x+1)>-4\cdot 3^<8x>\geqslant 0.

Решение

3^<2x^2+7>+3^-4\cdot 3^<8x>\geqslant 0, разделим обе части неравенства на 3^<8x>\neq 0, 3^<8x>>0; неравенство примет вид 3^<2x^2-8x+7>+3^\geqslant 0, введем обозначение 3^=t, t>0, получим: 3t^2+t-4\geqslant 0 . Найдем корни уравнения 3t^2+t-4=0, t_1=-\frac43, t_2=1. Решением неравенства 3t^2+t-4\geqslant0 являются промежутки \left( -\infty ; -\frac43\right] и \left[ 1; +\infty \right). Так как t>0, то 3^\geqslant 1, 3^\geqslant 3^0, x^2-4x+3\geqslant 0, x\leqslant 1 и x\geqslant 3. То есть решениями этого неравенства являются x\in(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

Ответ

(-\infty ; 1]\cup [3;+\infty ).

Задание №1192

Условие

Решите неравенство 3^<3x>-3^\cdot 2^<2x>+18^x-3\cdot 8^x\geqslant 0.

Решение

3^<3x>-3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3+3^<2x>\cdot 2^x-3\cdot 2^ <3x>\geqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 2^<3x>, 2^ <3x>\neq 0, 2^<3x>>0, неравенство примет вид \frac<3^<3x>><2^<3x>>-\frac<3^x\cdot 2^<2x>\cdot 3><2^<3x>>\,\,\,+ \frac<3^<2x>\cdot 2^x><2^<3x>>-\frac<3\cdot 2^<3x>><2^<3x>>\geqslant 0,

\left( \frac32\right) ^<3x>-3\cdot \left( \frac32\right) ^x+\left( \frac32\right) ^<2x>-3\geqslant 0, введем обозначение \left( \frac32\right) ^x=t, t>0.

t\in[-\sqrt 3;-1]\cup [\sqrt 3;+\infty ), но t>0, следовательно, решением неравенства t^3+t^2-3t-3\geqslant 0 является t\in[\sqrt 3;+\infty ).

\left( \frac32\right) ^x=t, тогда \left( \frac32\right) ^x\geqslant \sqrt 3.

Ответ

Задание №990

Условие

Решите неравенство 7^<2x>-7^+3|7^-5| \geq 6

Решение

Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^<2>-7t+3|t-5| \geq 6.

\left[\!\!\begin \begin t^<2>-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t^<2>-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0

\left[\!\!\begin \begin t^<2>-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t^<2>-10t+9 \geq 0, \\ 0

\left[\!\!\begin \begin t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end \\ \begin t \leq 1; t \geq 9, \\ 0

1) 0

2) 7^ \geq 7,\, x \geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).

Ответ

Задание №988

Условие

Решение

С помощью замены 5^=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac<4t-17>+\frac<10t-13> <2t-3>> \frac<8t-30><2t-7>+\frac<5t-4>.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

Решим неравенство методом интервалов

С учётом условия t > 0, получим

Возвращаясь к переменной x , получим, что 5^ \frac<3> <2>\frac<7> <2>откуда x \log_<5>\frac<3> <2>\log_<5>\frac <7>

Ответ

(-\infty;0)\,\cup \left (\log_<5>\frac<3><2>; \log_<5>\frac<5><2>\right )\,\cup \left (\log_<5>\frac<7><2>; \log_<5>4\right)

Задание №967

Условие

Решение

Обозначим 3^=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac<3(t+3)t>\leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 то есть 0 Тогда 0

Ответ

Задание №228

Условие

Решите неравенство \left | 2^-3 \right | \geq 4+\frac<1><6-\left | 2^-3 \right |> .

Решение

Пусть \left | 2^-3 \right |=t , тогда получаем неравенство t \geq 4+\frac<1><6-t>. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+\frac<1> <6-t>\leq 0; \frac-10t+25> <6-t>\leq 0; \frac<(t-5)^<2>> <6-t>\leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6 . Отсюда \left | 2^-3 \right |=5 или \left | 2^-3 \right | > 6 .

Пусть 2^=a , решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения \left | a-3 \right |=5 получаем \left[\!\!\begin a-3 = 5, \\a — 3= -5; \end\right. \Leftrightarrow \left[\!\!\begin a = 8, \\ a = -2. \end\right.

Далее \left[\!\!\begin 2^=8 \\ 2^=-2; \end\right. \Leftrightarrow x=3 . Модуль \left | a-3 \right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3 .

Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6 . Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

\left | a-3\right | > 6 получаем a или a > 9 . Далее \left[\!\!\begin 2^ 9; \end\right.\: \Leftrightarrow \: 2^ > 2^<\log_<2>9> \Leftrightarrow \: x > \log _<2>9 .