Показательные уравнения и неравенства егэ задания

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^<\frac>=\sqrt[n] \, (k\in Z,\, n\in N);\\ a^ <-x>= \frac<1>; \\ a^x\cdot a^y = a^; \\ \frac=a^; \\ (a^x)^y = a^; \\ a^x\cdot b^x = (ab)^x; \\ \frac=\left(\frac\right)^x.\\ \end> \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

0. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Подборка заданий по теме » Показательные уравнения и неравенства» Совместная разработка учителей Зайцевой Е.Б. ( ГБОУ гимназия № 526 )и Мальчиковой Н.М.(ГБОУ СОШ № 355)

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ гимназия №526 Зайцева Е.Б. ГОУ СОШ №355 Мальчикова Н.М.

Подборка заданий по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Основные типы задач Часть А

1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-2; -1) 2) (-1; 0) 3) (0; 1) 4) [-1; 2]

2. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2 2) 3) 4) 0,5

3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов: 1) (0; 8) 2) (-8; 0) 3) (-15; -8) 4) (8; 10)

4. Решите уравнение

Варианты ответов 1) -3 2) 4 3) нет решений 4) -7

5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-15; -5) 2) (-5; 5) 3) (15; 25) 4) (5; 15)

6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

Варианты ответов 1) (-7; 0) 2) (0; 4) 3) (4; 10) 4) (10; 20)

7. Решить уравнение

Варианты ответов 1) 3,5 2) 3,75 3) 3,25 4) 2,5

8. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 4.5 2) 4.6 3) 4,2 4)9

9. Решите уравнение

Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

10. Решить уравнение

Варианты ответов 1) -2 2) -1,5; 0,5 3) -0,5; 1,5 4) -0,5; 2.

Основные типы задач Часть В

1. Решить уравнения ( способом логарифмирования )

х 1 =1 х 2 =2 Ответ: 1; 2.

2. Решить уравнения ( способом вынесения общего множителя либо замены переменной )

Вариант решения: х-4=0 х=4 Ответ: 4.

4) 10)

3. Решить уравнения ( способом подстановки )

Пусть , где , тогда , , (- не удовлетворяет условию )

Получаем х=1 или х=0. Ответ: 1; 0.

4. Решить уравнения ( способом подстановки и приведением к квадратному )

Вариант решения: . Пусть , где , тогда , откуда , (- не удовлетворяет условию ). Далее откуда Ответ: 1; -1.

5. Решить однородное показательное уравнение

Вариант решения: разделим все части уравнения на (это возможно, поскольку ), получим . Обозначим теперь , где . Имеем , , , , . х=0. Ответ: 0.

4) 8)

6. Решить уравнение методом оценок и свойств монотонности

Вариант решения: Заметим сразу, что х=1 корень предложенного уравнения и докажем, что других корней уравнение не имеет. Действительно. Перепишем уравнение в виде . Так как функция монотонно убывает, то она может принимать каждое своё значение (в том числе ) лишь в одной точке, таким образом, если уравнение имеет корень, то единственный. Такой корень нами указан х=1. других корней нет. Ответ: 1.

Задания более сложного уровня

1. Уравнения, возможный способ решения логарифмирование

Ответ: 100; 0,01. Ответ: 1.

2. Уравнения, возможный способ решения метод замены переменной

3. Уравнения, которые удается решить, представляя данные выражения в виде произведения

4. Уравнения, решаемые с использованием свойств соответствующих функций

Ответ: 1. Ответ: 0.

Ответ: 1; -1. Ответ: нет решений.

5. Неравенства, решаемые методом интервалов

Ответ:

3. Показательно-логарифмические неравенства решаемые методом интервалов

4. Задания с параметром

1) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ:

2) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы одно решение

Ответ: а>0,5, a≠1, a≠0

3) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

4) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение имеет хотя бы один корень больший 2

5) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

6) Найдите все значения параметра а , при которых данное

уравнение не имеет корней меньших 2

7) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех значениях х . Ответ:

8) Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство