Показательные уравнения и неравенства история

Показательные уравнения и неравенства история

Название работы: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Категория: Конспект урока

Предметная область: Педагогика и дидактика

Описание: Цели: Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по изученной теме Развивать творческие способности, умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Дата добавления: 2014-04-17

Размер файла: 854.5 KB

Работу скачали: 108 чел.

Урок-конференция по алгебре и началам анализа.

«Обобщение и систематизация знаний по теме « Показательная функция .Показательные уравнения и неравенства». 11-й класс

“Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый лёгкий

и путь опыта – это путь самый горький”.

Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по изученной теме Развивать творческие способности , умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Подготовка к уроку.

Для участия в конференции класс поделили на группы по интересам.

“Теоретики ” получают задание изучить исторические сведения о показательной функции и показательных уравнениях. Сделать презентацию найденного материала.

“Практики” готовят задания, предлагаемые в экзаменационных работах.

“Исследователи” занимаются исследованием и решением более сложных уравнений.

“ Специалисты” по прикладной математике изучают процессы и явления, которые можно задать показательной функцией.

Вводное слово учителя: Сегодня у нас урок конференция по теме

“ Показательные уравнения и неравенства ”. В работе конференции принимают участие 4 группы, которые готовили материал по данной теме .

Слово предоставляется теоретикам :

История показательной функции

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.

Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!

Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет.

Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

А сейчас проведем небольшой математический диктант, состоящий из простейших показательных уравнений. Вы должны решить уравнения и составить слово из букв, данных по предложенной схеме, считывая буквы в том порядке, какой диктуется списком уравнений.

7). 4 х-2 6 =24 , х=3

Сообщение о М. Штифеле .

Штифель Михаил ( ок. 1486 – 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключен в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Он опубликовал несколько научных трудов, и среди них знаменитая – “ Полная арифметика”.

В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений, приведенных к к единому каноническому виду. Он занимался изучением арифметической и геометрической прогрессии, систематически сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени. Штифель первым из математиков рассматривал отрицательные числа, как числа меньшие нуля, и одним из первых ввёл знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Его идеями пользовался при изобретении логарифмов Джон Непер.

Практики подготовили и предлагают дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой . :

Группа исследователей занималась исследованием и решением более сложных уравнений: (ученики показывают решение уравнений)

Слово специалистам по прикладной математике:

Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

Применение показательной функции

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 10 15 или приблизительно 2000 растений на 1 кв.м суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 10 14 . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий

в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;

5.Р адиоактивный распад вещества – процессу органического затухания Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

6. Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N 0 e xt . По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

7 . В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (со гласно формуле

8 . Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом.

9. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: Р = Р 0 а h

где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности

.

10. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

11 . Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени описывается формулой: N = N 0 e t

N 0 – число людей, при t = 0, N – число людей в момент времени t

1 2 . Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения,

В книге Жюля Верна “ Матиас Шандор” выведен силач Матифу. Он совершил много подвигов, среди которых есть такой.

Готовился спуск на воду трабоколо ( трабоколо – небольшой корабль с парусами в форме трапеции). Когда уже начали выбивать из – под киля клинья, удерживающие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта.

Спусковое судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей мимо яхты.

“вдруг из толпы зрителей выскакивает какой – то человек, он хватает канат, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать в руках канат… поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновенье ока неизвестный набрасывает на неё канат, который начинает медленно разметываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длится секунд десять. Наконец канат лопнул. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута,… яхта была спасена.

Вы, конечно, догадались, что неизвестным, спасшим яхту, был силач Матифу”.

Прочитав классу этот отрывок, мы задаем вопрос: нужна ли была нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Посмотрим, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани, надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами ( небольшими тумбами), укреплёнными на борту судна, сила трения между тросами и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто придерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Предположим, что после одного оборота каната вокруг столба сила F0, приложенная к одному концу каната, удерживает в К раз большую силу, приложенную к другому концу. После ещё одного оборота каната удерживаемая сила возрастает ещё в К раз и становится к 2 раз больше, чем сила F 0 . Для пенькового каната и деревянного столба К = 2 1,75 . поэтому, оборачивая канат вокруг столба три раза, получаем увеличение в 1800 раз.

Примерную силу, необходимую для удержания спускаемого корабля будем считать равной 400 кН, а поскольку канат, медленно разматывался, можно сделать вывод, что Матифу сумел обернуть его вокруг швартовой пушки хотя бы 3 раза. Отсюда составляем уравнение: 400000 = 1800 F 0 , тогда F 0 =220 Н, что эквивалентно 22 кг. Приложить силу в 22 кг. Вполне может любой здоровый взрослый человек.

Описанное выше явление мы используем ежедневно, например, завязывая шнурки на ботинках. Узел – это веревка, обвитая вокруг другой верёвкой, он тем крепче, чем больше раз одна часть веревки сплетается с другой.

Во всех этих примерах функции, где основание const, а показатель изменяется приведены примеры показательной функции

II . Практическая часть конференции.

Ученики получают карточки с примерами и должны их решить, кто скорее. Класс заканчивает работу, подводится итог.

Ученики получают карточки с самостоятельной работой и выбирают вариант.

Итог урока : Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции. Мы сказали, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых того времени. Сейчас на дворе XXI век , так что перспектива развития ваших знаний велика.

Показательные уравнения и неравенства история

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2

РАЗРАБОТКА ОСВЕЩАЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ВОПРОСЫ:

3.Структура и место темы в учебном курсе.

4. Теоретические основы преподавания темы.

5.Тематическое планирование темы.

6.Основные результаты обучения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

3.Структура и место темы.

4. Теоретические основы преподавания темы.

5.Тематическое планирование темы.

6.Основные результаты обучения.

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. Наше время не стало исключением. Сначала появились калькуляторы, затем компьютеры. Это внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная работа), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Тем более что повышение качества образования и формирование у учащихся ключевых компетенций – важнейшая задача модернизации школьного образования в условиях перехода к ФГОС нового поколения. Конечно использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Это актуально особенно сейчас, когда стоит задача формирования не просто умений, а умений, непосредственно сопряжённых с опытом их применения в практической деятельности. Когда важно приоритетное нацеливание на развитие познавательного интереса учащихся, реализацию принципа связи обучения с жизнью. Практически все, что окружает современного человека – это так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского. Это собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX века Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Термин «показатель» впервые ввел немецкий математик М. Штифель в XVI веке. Он же дал определение при а≠1.

Тема «Показательные уравнения и системы уравнений» изучается в курсе общеобразовательной школы в 11 классе. Данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, так как тесно связана с темами «Показательная функция», «Показательные неравенства», «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства».

Прежде, чем перейти непосредственно к решению показательных уравнений, учащиеся знакомятся с показательной функцией. К моменту решения уравнений они уже знают определение показательной функции, ее свойствами и график, знакомы с новыми обозначениями и понятиями. Кроме того, учащиеся уже изучили следующие теоремы, которые являются необходимой базой для решения показательных уравнений и неравенств:

Теорема 1. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 2. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 3. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 4. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ.

Остановлюсь подробнее именно на решении показательных уравнений. Показательными называются уравнения вида , где a –положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

В основе решения показательных уравнений лежит теорема, с которой знакомят учащихся на первом уроке решения уравнений.

Теорема. Показательное уравнение , (где а равносильно уравнению .

Выделяют три основных метода решения показательных уравнений.

• Функционально-графический метод. Он основан на использовании иллюстраций или каких-либо свойств функций.
• Метод уравнивания показателей. Он основан на том, что обе части уравнения приводят к степени с одинаковым показателем, а затем применяют выше приведенную теорему.
• Метод введения новой переменной.

Рассмотрю способы решения различных видов показательных уравнений.

1). Простейшие показательные уравнения решают либо с помощью графика, либо способом приведения к общему основанию. Графический способ стараются применять только тогда, когда алгебраический весьма затруднен. Например, при решении уравнения . Уравнения вида решаются так: показатель степени приравнивают к 0 и находят корни уравнения . Поступают так, пользуясь определением: . Поэтому уравнение равносильно уравнению , а оно в свою очередь равносильно уравнению , – некоторая функция.

При уравнение вида решают способом приведения к общему основанию. Следует помнить, что показательная функция монотонна и непрерывна, т. е. принимает каждое свое значение только один раз при одном значении аргумента и поэтому если , то .

2). Показательные уравнения вида сводят к виду . Выражение, стоящее в левой части, делится на правую часть (или наоборот). Так как показатели степени равны, частное степеней есть степень частного, а справа (или слева) остается 1.

3). Уравнения вида , где А1, А2, …, Аn, p1, p2, …, pn – числовые коэффициенты, решаются следующим образом: среди степеней с основанием а, как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число В, стоящее в левой части, следует разделить на эту сумму. В итоге уравнение сводится к виду: .

Таким образом, при решении уравнений методом уравнивания показателей, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию, применяя либо свойства степени, либо разложение на множители, либо почленное деление на выражение , где .

4). Уравнения вида . Эти уравнения сводятся к квадратным путем замены выражения новой переменной. После решения получившегося квадратного уравнения возвращаются к старой переменной и решают простейшие показательные уравнения.

Сделав замену на t, где , получим

Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6. -6 – посторонний корень. Решив уравнение , имеем .

1. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕМЫ.

Показательная функция. Ее свойства и график.

Решение простейших показательных уравнений.

Сведение показательного уравнения к линейному.

Сведение показательного уравнения к квадратному.

Решение показательных уравнений всех видов.

Решение систем показательных уравнений.

Решение показательных неравенств.

Повторение и обобщение.

Подготовка к контрольной работе.

1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ.

Учащиеся должны усвоить следующие понятия:

• Степень с иррациональным показателем;
• Показательная функция;
• График показательной функции;
• Показательное уравнение;
• Показательное неравенство;
• Экспонента.

Учащиеся должны усвоить следующие обозначения:

Учащиеся должны знать:

• Свойства показательной функции;
• Основные теоремы.

Учащиеся должны уметь:

• Строить график показательной функции;
• Решать простейшие показательные уравнения;
• Приводить обе части уравнения к степени с одинаковым показателем;
• Пользоваться свойством монотонности показательной функции;
• Делать замену переменной в более сложных показательных уравнениях;
• Решать системы показательных уравнений.

1. А. Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа». «Мнемозина». Москва. 2014.
2. А. Н. Колмогоров и др.» Алгебра и начала анализа». «Просвещение». Москва. 2014.
3. М. Я Выгодский. «Справочник по элементарной математике». Москва. Издательство «Наука». 1986.
4. А. П. Савин. «Энциклопедический словарь юного математика». Москва. Издательство «Педагогика». 1989.
5. А. И. Макушевич. «Детская энциклопедия». Москва. Издательство «Педагогика». 1992.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дифференцирование логарифмической и показательной функции. Первообразная показательной функции.

На этом уроке учащиеся должны познакомиться с формулами производных показательной и логарифмической функции и умение находить первообразную показательной функции.

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

Обобщение и закрепление знаний основных свойств показательной функции и применение их при решении задач.

Обобщающий урок по теме «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств.»

Урок проводится с использованием компьютера и мультимедийного проектора. В ходе урока проводится тест «Показательная функция» с самопроверкой, работа по вариантам, работа по рядам с проверкой консульт.

Повторительно-обобщающий урок по теме Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений

Цели:-повторить свойства показательной функции;-проверить навыки выполнения заданий ЕГЭ базового уровня по данной теме;- повторить и систематизировать способы решения показательных уравнений;-расширит.

Урок-семинар на тему: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Конспект открытого урока-семинара, проведенного в 10 классе, на тему: Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ». Предоставленный материал дает возм.

Конспект урока в 11 классе «Показательная функция. Решение показательных уравнений»

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний. Цели урокаОбразовательные: Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме. Закрепит.

Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Презентация на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ» является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр.