Показательные уравнения и неравенства теория с параметром

Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С

Теория к заданию 18 из ЕГЭ по математике (профильной)

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

3. $sin^<2>α+cos^<2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^<-x>)=5\) имеет единственное решение.

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^ <-x>> 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac<1>)=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $$_<1,2>=\frac<5±\sqrt<25-4(a+1)^2>> <2(a+1)>.$$
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac<5><2>$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0 0\).

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac<1><2>-\frac<\sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как \( x>0.\)

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 0, \\D≥0, \\D>0, \\ _<0>>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end $$ $$ \begin a>0, \\a

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) \(3\cdot 4^+27=a+a\cdot 4^\)
\(3\cdot 4^-a\cdot 4^=a-27\)
\(4^(3-a)=a-27\)
\(4^=\frac<3-a>\)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
\(\frac<3-a>\gt 0\Rightarrow\frac\lt 0\)

\(3\lt a\lt 27\)
\(x-2=log_4\frac<3-a>\)
\(x=2+log_4\frac<3-a>\)
Ответ:
При \(a\leq 3\cup a\geq 27\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(3\lt a\lt 27,\ x=2+log_4\frac<3-a>\)

2) \(D=0\) при \(a=1,\ t=\frac22=1\)
\(11^<|x|>=1=11^0\Rightarrow |x|=0\Rightarrow x=0\) — один корень

3) \(D\gt 0\) при \(a\lt 1,\ t_<1,2>=\frac<2\pm 2\sqrt<1-a>><2>=1\pm \sqrt<1-a>\)
Корень \(t_2=1+\sqrt<1-a>\) положительный при всех \(a\lt 1\)
Получаем для \(x:\ 11^<|x|>=1+\sqrt<1-a>\Rightarrow |x|=log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\)
\(log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\geq 0,\) т.к. \(1+\sqrt<1-a>\geq 1\), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: \(x=\pm log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\)

Для корня \(t_1=1-\sqrt<1-a>\) решаем неравенство (учитывая \(a\lt 1\)):
\( 1-\sqrt<1-a>\gt 0\Rightarrow\sqrt<1-a>\lt 1\Rightarrow \begin 1-a\lt 1\\ a\lt 1 \end \Rightarrow \begin a\gt 0\\ a\lt 1 \end \Rightarrow 0\lt a\lt 1 \)
Тогда \(|x|=log_<11>(1-\sqrt<1-a>\), но log_11⁡\(log_<11>(1-\sqrt<1-a>\lt 0\) и не может быть равен модулю. Значит, для корня \(t_1\) решений нет.

Ответ:
При \(a\gt 1\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a=1\) один корень \(x=0\)
При \(a\lt 1\) два корня \(x=\pm log_<11>⁡(1+\sqrt<(1-a)>\)

Пример 2. При каких значениях \(a\) неравенство \(4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0\) имеет хотя бы одно решение?
Замена: \(t=2^x\)
Функция \(f(t)=t^2-at-a+3\) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если \(D\gt 0\) и будет равна 0 при \(D=0\).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
\(D=a^2-4\cdot (-a+3)=a^2+4a-12\geq 0\)
\((a+6)(a-2)\geq 0\)

\(a\leq -6\cup a\leq 2\)

Решение квадратного уравнения: \(t_<1,2>=\frac><2>\)
По свойству показательной функции, \(t\) должно быть положительным.
Для первого корня: \begin a-\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\lt a\Rightarrow \begin a\gt 0\\ a^2+4a-12\geq 0\\ a^2+4a-12\lt a^2 \end \Rightarrow \\ \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2\\ a\lt 3 \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 3\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \Rightarrow 2\leq a\lt 3 \end Для второго корня: \begin a+\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\gt -a\Rightarrow \left[ \begin \begin -a\lt 0\\ a^2+4a-12\geq 0 \end \\ \begin -a\geq 0\\ a^2+4a-12\gt (-a)^2 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \\ \begin a\leq 0\\ a\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow a\geq 2 \end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при \(a\geq 2\)
Ответ: \(a\in\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

Пример 3. При каких значениях \(a\) оба корня уравнения \(16^x-a\cdot 4^x+2=0\) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: \(t=4^x\gt 0\)
\(t^2-at+2=0\)
\(D=a^2-8\)
\(D\geq 0\) при \(|a|\geq 2\sqrt<2>\)
Решение уравнения: \(t_<1,2>=\frac><2>\)
По условию \(0\leq x_<1,2>\leq 1,\) что для замены даёт \(4^0\leq 4^>\leq 4^1,\ 1\leq t_<1,2>\leq 4\)
Условие выполняется, если одновременно \( \begin t_1\geq 1\\ t_2\leq 4 \end \)
Решаем систему: \begin \begin \frac><2>\geq 1\\ \frac><2>\leq 4 \end \Rightarrow \begin a-\sqrt\geq 2\\ \sqrt\leq 4-a \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin \begin a-2\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (a-2)^2 \end \\ \begin 4-a\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (4-a)^2 \end \end \Rightarrow \begin a\geq 2\\ a\leq 4\\ a\leq -2\sqrt<2>\cup a\geq 2\sqrt<2>\\ a^2-8\leq a^2-4a+4\\ a^2-8\leq 16-8a+a^2 \end \Rightarrow \begin 2\sqrt<2>\leq a\leq 4\\ a\leq 3\\ a\leq 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt<2>\leq a\leq 3 \end Ответ: \(a\in[2\sqrt<2>;3]\)

Пример 4. При каких значениях \(a\) система \( \begin 2^x-y+1=0\\ |x|+|y|=a \end \) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
\(y=2^x+1\) – это кривая показательной функции \(y=2^x\), поднятая на 1 вверх.
\(|x|+|y|=a\) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках \((\pm a;0),(0;\pm a)\).

Одна точка пересечения при \(a=2\). Решение – точка \( \begin x=0\\ y=2 \end \)
При \(a\lt 2\) решений нет.
При \(a\gt 2\) — два решения.