Показательные уравнения метод введения новой переменной

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

Продолжаем разбирать решение показательных уравнений различными методами. В этой статье мы рассмотрим, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Сначала кратко напомним теорию. После этого решим несколько характерных показательных уравнений методом введения новой переменной.

Теория

На текущем сайте www.cleverstudents.ru есть отдельная статья, посвященная методу введения новой переменной. Там детально изложена теория метода со всеми необходимыми обоснованиями и доказательствами. Там же дан алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной. Здесь мы не будем дублировать эту информацию, а напомним лишь самые основные положения.

Метод введения переменной – общий, в том смысле, что с его помощью можно решать уравнения любых видов, в частности, показательные.

Метод введения переменной используется для решения уравнений, в которых переменная содержится только в составе нескольких одинаковых выражений, или уравнений, которые могут быть приведены к такому виду. То есть, с помощью метода введения новой переменной проводится решение уравнений f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) . Для наглядности приведем примеры показательных уравнений, для решения которых подходит метод введения новой переменной: , и др.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной проводится в следующей последовательности. Вводится новая переменная. Решается уравнение с новой переменной. Если оно не имеет решений, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же уравнение с новой переменной имеет решения, то осуществляется возврат к старой переменной, и находится решение исходного уравнения.

Характерные примеры

На практике встречается довольно много разнообразных показательных уравнений, которые решаются методом введения новой переменной. Сейчас мы разобьем их на несколько групп, возьмем из каждой группы по одному типичному представителю, и покажем их решение. Такой подход позволит справиться с решением почти любого заданного показательного уравнения методом введения переменной. Для его решения нужно будет определить, к какой группе относится заданное уравнение, и провести его решение по аналогии с решением типичного примера.

В первую группу определим показательные уравнения, в которых явно видны одинаковые выражения с переменной. Такими, например, являются уравнения и . Покажем решение первого из них.

Решите уравнение .

Во вторую группу поместим показательные уравнения, в которых фигурируют степени с одинаковыми основаниями и противоположными показателями. В качестве примера приведем уравнения и . Сюда же давайте отнесем и уравнения, в которых присутствуют степени с одинаковыми показателями и взаимно обратными основаниями. Таким, например, являются показательные уравнения и . При решении подобных показательных уравнений методом введения новой переменной в качестве новой переменной t берется одна из степеней, другая степень выражается через переменную t как 1/t . Давайте покажем решение одного из записанных уравнений.

Решите уравнение .

Здесь же хочется отдельно выделить уравнения, в которых взаимно обратные числа в основаниях степеней завуалированы сопряженными выражениями. Например, в показательном уравнении основания степеней и являются взаимно обратными числами, ведь . Это позволяет провести решение показательного уравнения методом введения новой переменной.

Решите показательное уравнение .

Методом введения новой переменной проводится решение показательных уравнений, в записи которых находятся степени с одинаковыми основаниями и кратными показателями. Приведем несколько примеров таких уравнений: 5 2·x +9·5 x −10=0 , 2 x −8−2 −x +8·2 −2·x =0 , . Введением новой переменной решение подобных показательных уравнений можно свести к решению рациональных уравнений.

Решите уравнение .

К предыдущей группе стоит отнести еще показательные уравнения, степени в которых имеют одинаковые показатели, но разные основания, представляющие собой разные целые степени одного из оснований. Характерными представителями таких уравнений являются, например, 25 x +9·5 x −10=0 и . Покажем, как выглядит решение первого из этих показательных уравнений методом введения новой переменной.

Решите уравнение 25 x +9·5 x −10=0 .

Нередко встречаются показательные уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых степеней. Вот характерные примеры однородных показательных уравнений: (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 , и т.п. Такие уравнения, как правило, решаются методом введения новой переменной после предварительного деления обеих частей уравнения на одну и ту же «старшую» степень.

Решите уравнение (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 .

Вообще, введению новой переменной часто предшествует ряд преобразований уравнения. Это, в частности, видно на предыдущем примере. Преобразования, характерные для показательных уравнений, детально разобраны в материале решение показательных уравнений через преобразования.

4. Метод введения новой переменной

Теория:

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Уравнение 3 x = 9 имеет корень x = 2 , а уравнение 3 x = − 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной
план-конспект урока по алгебре (10, 11 класс) на тему

Урок по теме «Решение показательных уравнений методом введенияновой переменной»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Учебник . Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» (профильный и базовый уровень), М., Мнемозина, 2015

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

• повторить свойства степени с рациональным показателем, решение простейших показательных уравнений; познакомить учащихся с методом решения показательных уравнений с помощью введения новой переменной;

• развивать навыки самостоятельной работы и работы в сотрудничестве, в группах; развивать логическое мышление учащихся;

• воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Предметные
Учащиеся научатся:

– решать уравнения методом введения новой переменной;
– понимать и использовать математический язык, символические обозначения;
– использовать метод введения переменной для решения математических задач из различных разделов курса.

Метапредметные результаты (УУД):

Личностные:
– формирование выраженной устойчиво-познавательной мотивации и интерес к учению;
– формирование навыков рефлексии.

– формулирование собственного мнения и позиции;
– работа в группе — установление рабочих отношений, эффективное сотрудничество и продуктивная кооперация;
– осуществление взаимного контроля и оказание необходимой помощи в сотрудничестве.

Регулятивные:
– самостоятельная оценка правильности выполнения действия и внесение необходимых коррективов в исполнение, как в конце действия, так и по ходу его реализации;
– основы саморегуляции в учебной и познавательной деятельности в форме осознанного управления своей деятельностью, направленной на достижение поставленных целей;
– осуществление познавательной рефлексии в отношении действий по решению учебных и познавательных задач;

– планирование пути достижения целей.

Познавательные:
– осуществление сравнения при самостоятельном выборе оснований и критериев для указанной логической операции;
– установление причинно-следственных связей.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, сигнальные карточки с цифрами 1, 2, 3, документ-камера.

Тип урока: урок изучения нового материала

Ι. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности

Сегодняшний урок я хотела начать античным афоризмом «Незнающие пусть научатся, знающие — вспомнят еще раз». На уроке нам предстоит повторить свойства степени с рациональным показателем, решение простейших показательных уравнений, решение уравнений графически, используя свойства функций, вынесение общего множителя за скобки, а также узнать новое. Эти знания пригодятся при сдаче ЕГЭ. На столе у вас лежат оценочные листы. На протяжении урока будем себя оценивать.

ІІ. Актуализация знаний и умений.

1. Устные упражнения (слайд 2)

1. Приведите 25 2+х к основанию 5;

4 2х к основанию 2.

1. Разложите на множители: 5 1-х , 5 2х+1 , 5 х-2 .
2. Представьте данную функцию в виде показательной

1. Решите уравнения: 3 х =1 , 2 х =-2, 5 │х│ =5

Ученикам раздаются тестовые задания и сигнальные карточки с цифрами 1,2,3.

Учитель читает задание, а ученики поднимают карточку соответствующую верному ответу.(1, 2, 3)

2 . Тестовые задания (слайды 3-9)

1. Какая из формул верна?

1. a m ∙ a n =a m+n 2. 3. ( a m ) n =a m+n

1. Представить в виде степени с основанием 6 выражение :

1. 2. 3.

1. Вычислить:

1. 2. 3.

4) Какое из уравнений не имеет корней?

1. 3 х+1 =3 2. 6 х =10 3. 3 х =0

5) Какое из уравнений решено графически?

7) Представить 0,25 в виде степени числа 2:

1. 2 2 2. 2 -2 3. 2 -5

3.Проверка домашнего задания

В это время (во время выполнения учащимися устных упражнений и самостоятельной работой с тестовыми заданиями) трое учащиеся работают у доски и выполняют домашнее задание № 11.64(б), 6.28 (г), 12.17 (б)

Решите графически уравнение №11.64(б)

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков у= ( и у=х+3

Так как функция у= ( убывает на R, а возрастает на R, то уравнение имеет один корень, и корнем является х=-1