Показательные уравнения неравенства решу егэ

Основные положения и примеры решения простейших показательных неравенств.

Показательные неравенства содержат переменную в показателе степени. В случае, если вам встретилось неравенство, в котором переменная не только в показателе, но и в основании степени, попробуйте применить метод рационализации, о котором несколько слов в конце статьи. Если же неизвестная величина только в основании степени, а показатели фиксированы, то это неравенство относится к рациональным и содержит не показательные, а степенные функции.

Чтобы решать показательные неравенства нужно вспомнить, что мы знаем о показательной функции.

Область определения показательной функции D = R, то есть всё множество действительных чисел. Иначе записывают \(x\in(-\infty; +\infty)\). Область значений функции \(E = (0; +\infty)\), т.е. результат может принимать только положительные значения.
Функция монотонна: одному значению аргумента соответствует только одно значение функции.

При a > 1 функция возрастающая,

Поэтому для решения простейших показательных неравенств достаточно свести обе части неравенства к степени с одинаковым основанием (выравнять основания) и затем сравнить показатели степени. Т.е. как бы сравнивать функцию с самой собой при разных значениях её аргумента. При этом, если основание степени больше единицы, то знак неравенства для показателей будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если основание степени меньше единицы, то знак неравенства для показателей будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 1.

Решить неравенство \[\left(\frac<1><3>\right)^ > \frac<1><9>\]

Решение.

Представим одну девятую как одну третью в квадрате, тогда \[\left(\frac<1><3>\right)^ > \left(\frac<1><3>\right)^2\] Основанием степени в обеих частях неравенства является \(\dfrac<1><3>\). Одна третья меньше единицы, показательная функция является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно при переходе к сравнению показателей знак неравенства развернётся. Получим \[x-8 5.\]

Решение.

На первый взгляд числа 3 и 5 таковы, что выражения не могут быть сведены к одному основанию в какой-либо степени. На этот случай у нас определена обратная к показательной логарифмическая функция. Мы говорим, что обе части неравенства нужно прологарифмировать по одному основанию. Однако, на мой взгляд, именно для решения неравенств лучше всего использовать следующее свойство логарифма, вытекающее из его определения \(b = a^<\log_ab>\). Здесь основания степени и логарифма совпадают, поэтому при вычислении логарифма как бы «сокращаются», значит «восстановить» можно любые допустимые значения, нужные для решения конкретного неравенства. Этим приёмом мы и будем пользоваться в дальнейшем, чтобы разбираться со знаком неравенства по той же схеме, что и в предыдущих двух примерах.

Итак, представим правую часть неравенства следующим образом \(5 = 3^<\log_35>,\) тогда \[ 3^ > 3^ <\log_35>\\ x+5 > \log_3 <5>\\ x > -5 + \log_3<5>.\] Можно вычислить примерное значение \(-5 + \log_3<5>\) с помощью калькулятора, оно составляет ≈ −3,535. Но точный ответ неравенства, если он получается с иррациональными числами, так и записывают через логарифм.

Ответ: \(x \in [-5 + \log_3<5>;\; +\infty). \)

Итак, при решении простейших неравенств следует выравнять основания степеней, а затем их отбросить и перейти к сравнению показателей. При этом очень важно следить за отношением основания степени к единице. Если \(a > 1\) при переходе к сранению показателей знак неравенства сохраняется, если \(a x 2 − 8x 7

Решение.

Заметим, что 0,2 = \(\dfrac<1><5>\) и уравняем основания левой и правой части. \[\left(\frac<1><5>\right)^ -7; \\x^2 — 8x + 7 > 0.\] Корни квадратного трёхчлена те же, ветви параболы направлены вверх, но так как теперь требуется, чтобы они находились выше оси абсцисс, то интервалы выполнения неравенства будут теми же: \((-\infty;1)\) и \((7; +\infty;)\).

Ответ: x ∈ (−∞;1) ∪ (7;+∞).

Введение вспомогательной переменной

Решение.

Преобразуем левую часть, используя свойства степеней. \[3^4\cdot3^ <-3x>— 35\cdot\frac<1^<2 - 3x>><3^<2 - 3x>> + 6 \ge 0; \\ \frac<3^4><3^<3x>> — 35\cdot\frac<1><3^2\cdot3^<- 3x>> + 6 \ge 0; \\ \frac<3^4><3^<3x>> — 35\cdot\frac<3^<3x>> <3^2>+ 6 \ge 0. \]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается дважды и только в показателе степени тройки, причем оба раза в одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = 3^<3x>\). Причём по определению показательной функции мы должны рассматривать только положительные значения y. Тогда неравенство принимает вид \[\frac<3^4> — 35\cdot\frac <3^2>+ 6 \ge 0. \] Известные степени тройки вычислим и всё выражение приведём к общему знаменателю. \[\frac<81> — 35\cdot\frac <9>+ 6 \ge 0; \\ \frac<81\cdot9 - 35\cdot y^2 + 6\cdot9\cdot y > <9y>\ge 0;\\ \frac<729 - 35y^2 + 54y> <9y>\ge 0. \] Учитывая, что знаменатель этой дроби может быть лишь положительным, так как \(y > 0\), то остаётся решить квадратное неравенство \[729 — 35y^2 + 54y \ge 0.\] Проделайте это самостоятельно. Должен получиться следующий результат \[-\frac<27> <7>\le y \le \frac<27><5>.\] Из этого ответа берём только положительную часть \(0 1), окончательно получаем \[3x \le \log_3<\frac<27><5>> \\ x \le \frac<1><3>\log_3\frac<27><5>. \]

Ответ: \(x \in (-\infty; \;\dfrac<1><3>\log_3\dfrac<27><5>) \).

Замечание: При желании этот ответ можно преобразовать, используя формулу для логарифма дроби. \[\frac<1><3>\log_3\frac<27> <5>= \frac<1><3>(\log_327 — \log_35) = \frac<1><3>(3 — \log_35) = 1 — \frac<1><3>\log_35. \]

Разложение на множители

Решение.

Здесь в правой и левой частях неравенства разные основания и привести выражение к одному основанию, пользуясь только свойствами степени не получится, потому что свойства относятся к операциям умножения, деления и возведения в степень, а мы имеем с обеих сторон суммы показательных функций. В этом случае надо стараться разложить выражения на множители. Здесь это можно будет сделать вынесением общего множителя за скобки, а вообще для решения подобных неравенств очень рекомендую повторить различные способы разложения на множители, особенно формулы сокращенного умножения. \[ 3^ + 3^ + 3^ \le 2^x + 2^ + 2^; \\ 3^ + 3^\cdot3^1 + 3^\cdot3^2 \le 2^x + 2^\cdot2^ <-1>+ 2^\cdot2^<-2>; \\ 3^ + 3^\cdot3 + 3^\cdot9 \le 2^x + 2^\cdot\frac<1> <2>+ 2^\cdot\frac<1><4>; \\ 3^(1 + 3 + 9) \le 2^x(1 + \frac<1> <2>+ \frac<1><4>); \\ 3^\cdot13 \le 2^x\cdot\frac<7><4>.\] Чтобы все величины, содержащие переменную х, оказались в левой части неравенства, а все числа – в правой, разделим обе его части на \(2^x\cdot13\) и проведём необходимые сокращения дробей. Это не приведёт к изменению знака неравенства, так как нам заведомо известно, что делим на положительное выражение. \[\frac<3^x\cdot13><2^x\cdot13>\le\frac<2^x\cdot7><4\cdot2^x\cdot13>;\\ \frac<3^x> <2^x>\le \frac<7><4\cdot13>;\\ \left(\frac<3><2>\right)^x \le \frac<7><52>.\] Пользуясь определением логарифма выравниваем основания \[\left(\frac<3><2>\right)^x \le \left(\frac<3><2>\right)^ <\log_<\frac<3><2>><\frac<7><52>>>.\] Учитывая, что \(\dfrac<3> <2>> 1\), получим \[x \le \log_<\frac<3><2>><\frac<7><52>>.\]

О методе рационализации.

Метод рационализации для показательных неравенств сводится к следующему:

неравенство вида \[(h(x))^<\large>\geqslant (h(x))^<\large>\] равносильно системе \[\begin (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end\] Например, чтобы получить решение показательного неравенства \(3^ 0 \end\]

Очевидно, что в случае числового основания степени это решение не является более простым и более понятным, чем решение предыдущих примеров. Метод рационализации существенно сокращает объём рассуждений и выкладок, когда в основании степени также как и в её показателе находятся неизвестные переменные величины. И хотя такие неравенства относятся к более сложным типам, чем те, которые бывают на ЕГЭ даже профильного уровня, рассмотрим пример.

Решение.

Обратите внимание – для решения показательных неравенств методом рационализации тоже нужно выравнивать основания степеней или, как в этом примере, иметь их одинаковыми по условию задачи.

Заменяем неравенство на равносильную систему \[\begin \left(\dfrac-1\right)\Large(\normalsize(x-1)-(2x)\Large)\normalsize\le 0;\\[1ex] \dfrac>0 \end\] Далее решаем каждое неравенство системы методом интервалов.

\[\left(\frac-1\right)\Large(\normalsize(x-1)-(2x)\Large)\normalsize\le 0;\\ \left(\frac\right)(x-1-2x)\le 0;\\ \left(\frac<- x^2+x+1><(x-1)(x+1)>\right)(-x-1)\le 0;\\ \frac<(x^2-x-1)(x+1)><(x-1)(x+1)>\le 0.\] Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители нужно решить уравнение \(x^2-x-1=0\).
Решив, получим корни \(\dfrac<1-\sqrt<5>> <2>\approx -0,62\) и \(\dfrac<1+\sqrt<5>> <2>\approx 1,62\).

Обратите внимание – дробь с неизвестными в знаменателе можно сокращать только после того, как записали ОДЗ. Мы ОДЗ не записывали, поэтому сокращать не будем. Тот факт, что на 0 делить нельзя, отметим непосредственно на числовой оси.

Общее решение системы

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Показательные неравенства

О чем эта статья:

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

• a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
• a f(x) > a g(x) f(x)

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,5 3 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х

Если а > 1, то a x > a n a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 x > a n a

Наконец, если рассмотреть случай, когда а х > 9

Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:

Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3 х , обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

(3 х ) 2 — 12 × 3 х + 27 х = у

y 2 — 12y + 27 х 1 х 2

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 2 x — 5 sinx + 2 2 — 5y + 2

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство указанным выше способом:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2 х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.

(2 х — 2) × (2 х — 1/2) × (2 х — 3) > 0

Пример 2

Обозначим 3 х через новую переменную y:

3 х = y, при условии что 3 х > 0.

Применим метод интервалов и получим:

Вернем на место нашу старую переменную:

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

4 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

2 × 2 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2 х и 5 х . Следовательно, можно разделить обе части на 2 2х или 5 2х . Выберем 5 2х , т. е. 25 х . В итоге у нас получится:

Если обозначить (2/5) х новой переменной y, получим квадратное неравенство:

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

2 х х и 3 — х, а также точка их пересечения.

Очевидно, что точкой пересечения является х = 1, при этом график функции 2 х ниже в области от -∞ до 1.

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция (1/2) х находится выше — диапазон от -∞ до -1.