Показательные уравнения неравенства с параметрами

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство $(a-2)x>a^2-4$ для любого значения параметра $a$.

Первый случай: Если $a=2$, получим неравенство $0*x>0$, которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если $a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;$

Третий случай: Если $a 2$ $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство $ax^2-4x-4>0$ при всех значениях параметра $a$.

Первый случай: Если $a=0$ , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при $a > -1; D 0$ ветки параболы направлены вверх, а при $a 0,D > 0$

Занятие по программе элективного курса «Решение логарифмических, показательных уравнений, неравенств с параметрами»

Разделы: Математика

1. Введение

Если ставится задача для каждого значения a из некоторого множества A решить уравнение F(x,a) = 0 относительно x, то уравнение F(x,a) = 0 называется уравнением с параметром a, а множество A — областью изменения параметра.
Решить уравнение F(x,a) = 0 с переменной xи параметром a — это значит на подмножестве A множества действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x,a) = 0 при всех значениях параметра a.
Ясно, сто написать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.
Покажем на примерах, как эти значения параметра обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом подмножестве решается заданное уравнение (система уравнений, неравенство).

2. Показательные и логарифмические уравнения

Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений с параметром на конкретных примерах.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.

Данное уравнение эквивалентно системе:

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a — 6) 2 – 4 • 9 = a 2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +∞). Если a = 12, то .

При D > 0 квадратное уравнение может иметь два решения, а исходное уравнение – только одно из двух, если другое решение квадратного уравнения не удовлетворяет условию x > -3. Это возможно, если корни квадратного уравнения расположены по разные стороны от точки x = -3. Поэтому, если значение квадратного трехчлена в точке x > -3 отрицательно, т.е. (-3) 2 + 2(a — 6) + 9 x + 2 x — 1 — 5 = 0 имеет единственное решение?

Введем обозначение 2 x = t. Уравнение принимает вид: a ∙ t + 1 / t — 5 = 0, или a ∙ t 2 — 5t + 1 = 0. Если a = 0, то t = 1 / 5, 2 x = 1 / 5, x = -log₂ 5. Если a > 0, D = 0, т.е. 25 — 4a = 0, a = 25 / 4, то t = 2 / 5, 2 x = 2 / 5, x = log₂ 2 / 5 — единственное решение. Если a > 0, D x — 2a) = 0 имеет два различных решения.

Используя определение логарифма и свойства степеней, запишем уравнение в виде: 3 2x — 2a = 3 x . Введем новое переменное t = 3 x , тогда уравнение имеет вид t 2 — t — 2a = 0. Его дискриминант D = 1 + 8a. Квадратное уравнение имеет два решения, если оба корня квадратного уравнения положительные и удовлетворяют условию 9 x — 2a > 0, т.е. t 2 — 2a > 0. Из квадратного уравнения t 2 — 2a = t, поэтому условие выполняется при всех положительных t.

По теореме Виета для квадратного уравнения

откуда оба корня положительные при a 0, a ≠ 1, поэтому при a ≤ 0, a = 1 уравнение не определено и, следовательно, не имеет решения. Решим уравнение при a > 0, a ≠ 1. О.Д.З. x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a.

. На основании свойств логарифмов получаем уравнение log_a 2 x = 2 + log_a x. Введем вспомогательную переменную t = log_a x. Квадратное уравнение t 2 — t — 2 = 0 имеет корни t₁ = 2, t₂ = -1. Поэтому log_a x = 2, log_a x = -1, откуда x₁ = a 2 , x₂ = 1 / a. Оба корня принадлежат области допустимых значений при a > 0, a ≠ 1.

Решите следующие примеры самостоятельно.

1. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log₂(4 x — a) = x имеет два различных решения.

2. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log₃(9 x + 9a 3 ) = x имеет два различных решения.

3. Решите уравнение

4. Решите уравнение

7. Решите уравнение lg 2 x — lg x + a = 0.

8. При каких значениях параметра уравнение 144 -∣2x — 1∣ — 2∙12 -∣2x — 1∣ + a = 0 имеет хотя ьы одно решение?

9. Решите уравнение

10. Решите уравнение

4. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) x = 3 / 4.

5. При

, при m = 1 x = 1, при

, при m ∈ [-1; 1] x ∈ ∅.

7. При a ∈ (-∞; 1 / 4]

9. При

3. Показательные и логарифмические неравенства

Решите неравенство

При a ≤ 0 и a = 0 показательная функция не определена, следовательно, неравенство не имеет решения.

Рассмотрим решение неравенства при a > 0, a ≠ 1

Введем вспомогательную переменную a x = z.

Тогда неравенство принимает вид

или

Решив алгебраическое неравенство методом интервалов, получим z ∈ (-∞; 1 / 2) ∪ (1; 2),

или

Монотонность показательной функции зависит от величины основания, следовательно,

при a ∈ (0; 1) совокупность неравенств принимает вид

а при a ∈ (1; +∞)

Ответ: при a ∈ (-∞; 0], a = 1 x ∈ ∅, при a ∈ (0; 1) log_a 2 -log_a 2, при a ∈ (1; +∞) 0 2 + 3 > 0 при всех x,

то

может быть только при

Поэтому исходное неравенство эквивалентно системе:

или

Чтобы последнее неравенство из системы выполнялось при всех значениях x, необходимо условие отрицательности его правой части,

поэтому

или

, следовательно a 3log_x a.

2. При каких значениях параметра неравенство

верно при любом действительном значении x?

3. Решите неравенство a 4 ∙4 x — 33a∙2 x + 8 > 0.

4. Решите неравенство a 2 ∙4 2x + 1 — 65a∙4 x — 1 + 1 > 0.

5. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство a∙9 x + 4(a — 1)∙3 x + a > 1 выполняется при всех x.

6. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 + log₂(2x 2 + 2x + 7 / 2) ≥ log₇(cx 2 + c) имеет хотя бы одно решение.

7. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 — log_{1 / 7}(x 2 + 1) ≥ log₇(ax 2 + 4x + a) справедливо при всех x.

8. Решите неравенство a 2 — 2∙4 x + 1 — a∙2 x + 1 > 0.

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) $3\cdot 4^+27=a+a\cdot 4^$
$3\cdot 4^-a\cdot 4^=a-27$
$4^(3-a)=a-27$
$4^=\frac<3-a>$
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
$\frac<3-a>\gt 0\Rightarrow\frac\lt 0$

$3\lt a\lt 27$
$x-2=log_4\frac<3-a>$
$x=2+log_4\frac<3-a>$
Ответ:
При $a\leq 3\cup a\geq 27$ решений нет, $x\in\varnothing$
При $3\lt a\lt 27,\ x=2+log_4\frac<3-a>$

2) $D=0$ при $a=1,\ t=\frac22=1$
$11^<|x|>=1=11^0\Rightarrow |x|=0\Rightarrow x=0$ — один корень

3) $D\gt 0$ при $a\lt 1,\ t_<1,2>=\frac<2\pm 2\sqrt<1-a>><2>=1\pm \sqrt<1-a>$
Корень $t_2=1+\sqrt<1-a>$ положительный при всех $a\lt 1$
Получаем для $x:\ 11^<|x|>=1+\sqrt<1-a>\Rightarrow |x|=log_<11>(1+\sqrt<1-a>)$
$log_<11>(1+\sqrt<1-a>)\geq 0,$ т.к. $1+\sqrt<1-a>\geq 1$, логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: $x=\pm log_<11>(1+\sqrt<1-a>)$

Для корня $t_1=1-\sqrt<1-a>$ решаем неравенство (учитывая $a\lt 1$):
$ 1-\sqrt<1-a>\gt 0\Rightarrow\sqrt<1-a>\lt 1\Rightarrow \begin 1-a\lt 1\\ a\lt 1 \end \Rightarrow \begin a\gt 0\\ a\lt 1 \end \Rightarrow 0\lt a\lt 1 $
Тогда $|x|=log_<11>(1-\sqrt<1-a>$, но log_11⁡$log_<11>(1-\sqrt<1-a>\lt 0$ и не может быть равен модулю. Значит, для корня $t_1$ решений нет.

Ответ:
При $a\gt 1$ решений нет, $x\in\varnothing$
При $a=1$ один корень $x=0$
При $a\lt 1$ два корня $x=\pm log_<11>⁡(1+\sqrt<(1-a)>$

Пример 2. При каких значениях $a$ неравенство $4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0$ имеет хотя бы одно решение?
Замена: $t=2^x$
Функция $f(t)=t^2-at-a+3$ – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если $D\gt 0$ и будет равна 0 при $D=0$.
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
$D=a^2-4\cdot (-a+3)=a^2+4a-12\geq 0$
$(a+6)(a-2)\geq 0$

$a\leq -6\cup a\leq 2$

Решение квадратного уравнения: $t_<1,2>=\frac><2>$
По свойству показательной функции, $t$ должно быть положительным.
Для первого корня: \begin a-\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\lt a\Rightarrow \begin a\gt 0\\ a^2+4a-12\geq 0\\ a^2+4a-12\lt a^2 \end \Rightarrow \\ \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2\\ a\lt 3 \end \Rightarrow \begin 0\lt a\lt 3\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \Rightarrow 2\leq a\lt 3 \end Для второго корня: \begin a+\sqrt\gt 0\Rightarrow \sqrt\gt -a\Rightarrow \left[ \begin \begin -a\lt 0\\ a^2+4a-12\geq 0 \end \\ \begin -a\geq 0\\ a^2+4a-12\gt (-a)^2 \end \end \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin a\gt 0\\ a\leq -6\cup a\geq 2 \end \\ \begin a\leq 0\\ a\gt 3 \end \end \right. \Rightarrow a\geq 2 \end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при $a\geq 2$
Ответ: $a\in\left.\left[2;+\infty\right.\right)$

Пример 3. При каких значениях $a$ оба корня уравнения $16^x-a\cdot 4^x+2=0$ принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: $t=4^x\gt 0$
$t^2-at+2=0$
$D=a^2-8$
$D\geq 0$ при $|a|\geq 2\sqrt<2>$
Решение уравнения: $t_<1,2>=\frac><2>$
По условию $0\leq x_<1,2>\leq 1,$ что для замены даёт $4^0\leq 4^>\leq 4^1,\ 1\leq t_<1,2>\leq 4$
Условие выполняется, если одновременно $ \begin t_1\geq 1\\ t_2\leq 4 \end $
Решаем систему: \begin \begin \frac><2>\geq 1\\ \frac><2>\leq 4 \end \Rightarrow \begin a-\sqrt\geq 2\\ \sqrt\leq 4-a \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin \begin a-2\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (a-2)^2 \end \\ \begin 4-a\geq 0\\ a^2-8\geq 0\\ a^2-8\leq (4-a)^2 \end \end \Rightarrow \begin a\geq 2\\ a\leq 4\\ a\leq -2\sqrt<2>\cup a\geq 2\sqrt<2>\\ a^2-8\leq a^2-4a+4\\ a^2-8\leq 16-8a+a^2 \end \Rightarrow \begin 2\sqrt<2>\leq a\leq 4\\ a\leq 3\\ a\leq 3 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\sqrt<2>\leq a\leq 3 \end Ответ: $a\in[2\sqrt<2>;3]$

Пример 4. При каких значениях $a$ система $ \begin 2^x-y+1=0\\ |x|+|y|=a \end $ имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
$y=2^x+1$ – это кривая показательной функции $y=2^x$, поднятая на 1 вверх.
$|x|+|y|=a$ — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках $(\pm a;0),(0;\pm a)$.

Одна точка пересечения при $a=2$. Решение – точка $ \begin x=0\\ y=2 \end $
При $a\lt 2$ решений нет.
При $a\gt 2$ — два решения.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/532272

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva-i-sistemy-s-parametrom/