Показательные уравнения решение разложение на множители

Решение показательных уравнений методом разложения на множители

Продолжаем изучать, как проводится решение показательных уравнений. Одним из методов решения показательных уравнений является метод разложения на множители. В этой статье мы поговорим про решение показательных уравнений методом разложения на множители. Сначала кратко напомним теорию. После этого разберем решения нескольких характерных показательных уравнений.

Теория

Метод разложения на множители применяется для решения уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой – нуль. Например, с его помощью могут быть решены показательные уравнения (2 x −8)·(9 x +2·3 x −3)·(3 x +2)=0 , и др.

Решение уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 методом разложения на множители, в том числе и показательных, предполагает переход к совокупности уравнений f₁(x)=0 , f₂(x)=0 , …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного уравнения.

За более детальной информацией обращайтесь к материалу метод разложения на множители при решении уравнений.

Примеры с решениями

Рассмотрим пример решения показательного уравнения методом разложения на множители. Возьмем показательное уравнение, в левой части которого находится произведение трех выражений с переменной в показателе степени, а в правой – нуль. Его решение по методу разложения на множители заменится решением совокупности трех показательных уравнений на ОДЗ для исходного уравнения.

Решите уравнение

Решенное показательное уравнение можно назвать «подготовленным» к решению методом разложения на множители, так как в его левой части находится произведение нескольких выражений, а в правой — нуль. Но часто решаемые уравнения изначально имеют другую структуру, однако они путем проведения некоторых преобразований могут быть приведены к нужному для использования метода разложения на множители виду. Приведем пример.

Решите показательное уравнение

При решении последнего примера нам пришлось преобразовывать показательное уравнение к виду, позволяющему действовать по методу разложения на множители. Да и вообще решение показательных уравнений, как, впрочем, и любых других, редко обходится без преобразований. Так что есть смысл более основательно поговорить о преобразованиях, наиболее часто используемых при решении показательных уравнений. Сделаем это в статье решение показательных уравнений через преобразования.

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.