Показательные уравнения сводящиеся к квадратным
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Методическая разработка теоретического занятия по теме « Показательные уравнения » рекомендуется к использованию преподавателям математики и студентам 1 года обучения.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
pokazatelnye_uravneniya_metodom_zameny.docx | 52.64 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема: Показательные уравнения сводящиеся к квадратным
Цели: научить решать показательные уравнения сводящиеся к квадратным
Обучающие: повторить основные свойства показательной функции; рассмотреть типы показательных уравнений и познакомиться с методами их решения; закрепить полученные знания в ходе решения уравнений.
Развивающие: развитие познавательного интереса; развитие математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного материала; развитие логического мышления и внимания; формирование потребности в приобретении новых знаний.
Воспитательные: воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения; воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры речи.
- Орг. момент
- Актуализация знаний
- Изучения нового материала
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным
Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.
Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах
Уравнение 1
Решить уравнение:
1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.
(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
вводим новую переменную: пусть 2 x =y;
y 2 + 2 y -3 =0.
Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Возвращаемся к переменной х:
1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).
2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
2 x = 2 0 ;
Уравнение 2
2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.
(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;
(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.
0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
y 2 — 5 y+ 4 =0;
Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
y1+y2= 5 , y1+y2= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:
1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
0,5 2x = 0,5 0 ;
2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х
2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:
Уравнение 3
Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .
Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.
Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.
Показательные неравенства
О чем эта статья:
10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательных неравенств
Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .
Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.
Для изучения этой темы стоит повторить:
И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.
Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.
При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.
Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.
Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:
- a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
- a f(x) > a g(x) f(x)
Как решать показательные неравенства
Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.
Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:
Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:
Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:
Проверим, верно ли в таком случае х > 2.
0,5 3 = 0, 125 и т. д.
Как видите, на самом деле в этом случае х