Полиномиальное уравнение до 10 степени

Полиномиальные уравнения (с решенными упражнениями)

полиномиальные уравнения являются утверждением, которое поднимает равенство двух выражений или членов, где хотя бы один из членов, составляющих каждую сторону равенства, является полиномом P (x). Эти уравнения названы в соответствии со степенью их переменных.

В общем, уравнение — это утверждение, которое устанавливает равенство двух выражений, где хотя бы в одном из них есть неизвестные величины, которые называются переменными или неизвестными. Хотя существует много типов уравнений, они обычно подразделяются на два типа: алгебраические и трансцендентные..

Полиномиальные уравнения содержат только алгебраические выражения, в которых может быть одно или несколько неизвестных, участвующих в уравнении. В соответствии с показателем степени (степени) они могут быть классифицированы на: первую степень (линейную), вторую степень (квадратичную), третью степень (кубическую), четвертую степень (квартальную), большую или равную пяти и иррациональную.

• 1 Характеристики
• 2 типа
  • 2.1 Первый класс
  • 2.2 Вторая степень
  • 2.3 Резолвер
  • 2.4 Высшая оценка
• 3 упражнения выполнены
  • 3.1 Первое упражнение
  • 3.2 Второе упражнение
• 4 Ссылки

черты

Полиномиальные уравнения — это выражения, которые образованы равенством двух полиномов; то есть с помощью конечных сумм умножений между неизвестными значениями (переменными) и фиксированными числами (коэффициентами), где переменные могут иметь показатели степени, а их значение может быть положительным целым числом, включая ноль.

Показатели степени определяют степень или тип уравнения. Тот член выражения, который имеет наивысший показатель степени, будет представлять абсолютную степень многочлена.

Полиномиальные уравнения также известны как алгебраические уравнения, их коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами, а переменные представляют собой неизвестные числа, представленные буквой, например: «x».

Если подставить значение для переменной «x» в P (x), результат будет равен нулю (0), то говорят, что это значение удовлетворяет уравнению (это решение) и обычно называется корнем многочлена..

Когда разработано полиномиальное уравнение, вы хотите найти все корни или решения.

тип

Существует несколько типов полиномиальных уравнений, которые дифференцируются по количеству переменных, а также по степени их степени..

Таким образом, полиномиальные уравнения, где первый член является полиномом с единственным неизвестным, учитывая, что его степень может быть любым натуральным числом (n), а второй член равен нулю, можно выразить следующим образом:

— в_N, в_н-1 и₀, они действительные коэффициенты (числа).

— в_N это отличается от нуля.

— Показатель n представляет собой положительное целое число, которое представляет степень уравнения.

— х — это переменная или неизвестная, которую нужно искать.

Абсолютная или большая степень полиномиального уравнения — это показатель большей ценности среди всех тех, которые образуют полином; таким образом, уравнения классифицируются как:

Первый класс

Уравнения полиномов первой степени, также известные как линейные уравнения, — это уравнения, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 1, а полином имеет форму P (x) = 0; и он состоит из линейного члена и независимого члена. Это написано следующим образом:

— a и b — действительные числа и a ≠ 0.

— ax — линейный член.

— б независимый термин.

Например, уравнение 13x — 18 = 4x.

Чтобы решить линейные уравнения, все члены, содержащие неизвестный x, должны быть переданы в одну сторону равенства, а те, которые не имеют, перемещены в другую сторону, чтобы очистить его и получить решение:

Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение или корень, который равен x = 2.

Второй класс

Полиномиальные уравнения второй степени, также известные как квадратные уравнения, — это те, в которых степень (наибольший показатель степени) равна 2, полином имеет форму P (x) = 0 и состоит из квадратичного члена один линейный и один независимый. Это выражается следующим образом:

топор 2 + bx + c = 0.

— a, b и c — действительные числа и a ≠ 0.

— топор 2 является квадратичным членом, а «a» является коэффициентом квадратичного члена.

— bx — линейный член, а «b» — коэффициент линейного члена..

— с является независимым термином.

resolvente

Как правило, решение этого типа уравнений дается путем очистки х из уравнения, и оно оставляется следующим образом, который называется резольвер:

Там, (б 2 — 4ac) называется дискриминантом уравнения, и это выражение определяет количество решений, которые может иметь уравнение:

— Да (б 2 — 4ac) = 0, уравнение будет иметь одно решение, которое является двойным; то есть у вас будет два равных решения.

— Да (б 2 — 4ac)> 0, уравнение будет иметь два разных реальных решения.

— Да (б 2 — 4ac) 2 + 10x — 6 = 0, чтобы разрешить его, сначала определите термины a, b и c, а затем замените его в формуле:

Существуют случаи, когда полиномиальные уравнения второй степени не имеют трех членов, и поэтому они решаются по-разному:

— В случае, если квадратные уравнения не имеют линейного члена (то есть b = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + с = 0. Чтобы решить это, очищается х 2 и квадратные корни применяются в каждом члене, помня, что рассматриваются два возможных признака, которые может иметь неизвестное:

Например, 5 х 2 — 20 = 0.

— Если квадратное уравнение не имеет независимого члена (т. Е. С = 0), уравнение будет выражено как ось 2 + bx = 0. Чтобы решить его, мы должны извлечь общий множитель неизвестного x в первом члене; поскольку уравнение равно нулю, верно, что хотя бы один из факторов будет равен 0:

Таким образом, вы должны:

Например: у вас есть уравнение 5x 2 + 30x = 0. Первый фактор:

Генерируются два фактора: х и (5х + 30). Считается, что одно из них будет равно нулю, а другое решение будет дано:

Степень магистра

Полиномиальные уравнения большей степени — это те, которые идут от третьей степени и далее, которые могут быть выражены или разрешены с помощью общего полиномиального уравнения для любой степени:

Это используется потому, что уравнение со степенью больше двух является результатом факторизации полинома; то есть оно выражается как умножение многочленов степени один или больше, но без реальных корней.

Решение этого типа уравнений является прямым, потому что умножение двух факторов будет равно нулю, если любой из факторов равен нулю (0); следовательно, каждое из найденных полиномиальных уравнений должно быть разрешено, сопоставляя каждый из его факторов с нулем.

Например, у вас есть уравнение третьей степени (куб) х 3 + х 2 +4x + 4 = 0. Чтобы решить эту проблему, необходимо выполнить следующие шаги:

х 3 + х 2 +4x + 4 = 0

(х 3 + х 2 ) + (4x + 4) = 0.

— Конечности разбиты, чтобы получить общий фактор неизвестного:

х 2 (х + 1) + 4 (х + 1) = 0

— Таким образом, получаются два фактора, которые должны быть равны нулю:

— Видно, что коэффициент (х 2 + 4) = 0 не будет иметь реального решения, а коэффициент (x + 1) = 0 да. Таким образом, решение является:

Решенные упражнения

Решите следующие уравнения:

Первое упражнение

решение

В этом случае уравнение выражается в виде умножения полиномов; то есть это факторизовано. Для ее решения каждый фактор должен быть равен нулю:

— 2x 2 + 5 = 0, не имеет решения.

Таким образом, данное уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.

Второе упражнение

решение

Ему был дан полином, который можно переписать как разность квадратов, чтобы прийти к более быстрому решению. Таким образом, уравнение остается:

Чтобы найти решение уравнений, оба фактора равны нулю:

(х 2 + 6) = 0, не имеет решения.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:

Полиномиальное уравнение до 10 степени

Уравнение вида: a•x n + b•x n-1 + c•x 2 + d•x + e = 0 называется полиномиальным уравнением n-й степени.

Квадратное уравнение вида ах 2 + bx + c = 0 представляет собой простейшее полиномиальное уравнение 2-й степени.

Чтобы решить это уравнение, необходимо вычислить его корни по формуле: x = (- b ± v (b 2 — 4 * a * c)) / 2 * a, где а, b — коэффициенты при х, с — константа.

Если для уравнений 2-й, 3-й, 4-й степени существуют формулы, которые позволяют определять корни уравнения по коэффициентам, то уравнение степени выше 4-й в радикалах решить нельзя. Правда, иногда многочлен уравнения высшей степени можно разложить на множители и представить его как произведение многочленов степени не выше 4-й. Преобразованное уравнение решить будет просто.

Часто приходится решать уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Пусть дано уравнение вида а_nх n + а_n-1х n-1 + . +а₁х +а₀ = 0.

Если обе части уравнения умножить на (а_n) n-1 и произвести замену у = а_nх, то получим приведенное уравнение той же (n-ой) степени, которое и следует решать: х n + а_n-1х n-1 + . +а₁х +а₀ = 0.

Корни уравнения n-й степени с заданной точностью вычисляют путем использования численных методов. При решении уравнений нужно указать требуемую точность определения корней и число предполагаемых итераций.

Решить полиномиальное уравнение до 10 степени можно с помощью онлайн калькулятора, который быстро и правильно вычислит все корни на заданном промежутке. Для этого вам нужно ввести исходные данные в полиноминальное уравнение и задать промежуток.

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — МАТЕМАТИКА — 2022

Полиномиальные функции определяются полиномиальными выражениями. Они представлены выражением:

f (x) = a _n . х п + _{н — 1} . х п — 1 + . + а ₂ . х 2 + а ₁ . х + а ₀

n: положительное или нулевое целое число
x: переменная
от ₀ , до ₁ , . до _{n — 1} , до _n : коэффициенты
к _n . x _n , к _{n — 1} . x _{n — 1} , . до ₁ . x, до ₀ : условия

Каждая полиномиальная функция связана с одним полиномом, поэтому мы называем полиномиальные функции также полиномами.

Числовое значение полинома

Чтобы найти числовое значение полинома, подставляем числовое значение в переменную x.

пример

Каково числовое значение p (x) = 2x 3 + x 2 — 5x — 4 для x = 3?

Подставляя значение в переменную x, получаем:

2. 3 3 + 3 2 — 5. 3 — 4 = 54 + 9 — 15 — 4 = 44

Степень полиномов

В зависимости от наивысшего показателя степени, который они имеют по отношению к переменной, многочлены классифицируются на:

• Полиномиальная функция степени 1 : f (x) = x + 6
• Полиномиальная функция степени 2 : g (x) = 2x 2 + x — 2
• Полиномиальная функция степени 3 : h (x) = 5x 3 + 10x 2 — 6x + 15
• Полиномиальная функция степени 4 : р (х) = 20x 4 — 15x 3 + 5x 2 + X — 10
• Полиномиальная функция степени 5 : q (x) = 25x 5 + 12x 4 — 9x 3 + 5x 2 + x — 1

Примечание : нулевой многочлен — это тот, у которого все коэффициенты равны нулю. Когда это происходит, степень полинома не определена.

Графики полиномиальных функций

Мы можем связать график с полиномиальной функцией, присвоив значения ax в выражении p (x).

Таким образом, мы найдем упорядоченные пары (x, y), которые будут точками, принадлежащими графу.

Соединив эти точки, мы получим контур графика полиномиальной функции.

Вот несколько примеров графиков:

Полиномиальная функция степени 1

Полиномиальная функция степени 2

Полиномиальная функция степени 3

Полиномиальное равенство

Два полинома равны, если все коэффициенты членов одной степени равны.

пример

Определите значение a, b, c и d так, чтобы многочлены p (x) = ax 4 + 7x 3 + (b + 10) x 2 — ceh (x) = (d + 4) x 3 + 3bx 2 + 8.

Чтобы полиномы были равны, соответствующие коэффициенты должны быть равны.

a = 0 (многочлен h (x) не имеет члена x 4 , поэтому его значение равно нулю)
b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
— c = 8 → c = — 8
d + 4 = 7 → d = 7-4 → d = 3

Полиномиальные операции

Ниже приведены примеры операций между многочленами:

Дополнение

(- 7x 3 + 5x 2 — x + 4) + (- 2x 2 + 8x -7)
— 7x 3 + 5x 2 — 2x 2 — x + 8x + 4-7
— 7x 3 + 3x 2 + 7x -3

Вычитание

(4x 2 — 5x + 6) — (3x — 8)
4x 2 — 5x + 6 — 3x + 8
4x 2 — 8x + 14

Умножение

(3х 2 — 5х + 8). (- 2x + 1)
— 6x 3 + 3x 2 + 10x 2 — 5x — 16x + 8
— 6x 3 + 13x 2 — 21x + 8

Деление

Примечание : при делении многочленов мы используем ключевой метод . Сначала мы делим числовые коэффициенты, а затем делим степени одного основания. Для этого оставьте основание и вычтите экспоненты.

Разделение состоит из дивидендов, делителей, частных и остатков.

разделитель. частное + остаток = дивиденд

Теорема покоя

Теорема об остатке представляет собой остаток от деления многочленов и имеет следующее утверждение:

Остаток от деления многочлена f (x) на x — a равен f (a).

Вестибулярные упражнения с обратной связью

1. (FEI — SP) Остаток от деления многочлена p (x) = x 5 + x 4 — x 3 + x + 2 на многочлен q (x) = x — 1 равен:

2. (Vunesp-SP) Если a, b, c — действительные числа такие, что x 2 + b (x + 1) 2 + c (x + 2) 2 = (x + 3) 2 для всех действительных x, то значение a — b + c составляет:

Альтернатива e: 7

3. (UF-GO) Рассмотрим многочлен:
p (x) = (x — 1) (x — 3) 2 (x — 5) 3 (x — 7) 4 (x — 9) 5 (x — 11) 6 .
Степень p (x) равна:

а) 6
б) 21
в) 36
г) 720
д) 1080

Альтернатива b: 21

4. (Cefet-MG) Многочлен P (x) делится на x — 3. Деление P (x) на x — 1 дает частное Q (x) и остаток 10. При этих условиях остаток деление Q (x) на x — 3 дает:

5. (УФ-ПБ) При открытии площади было проведено несколько развлекательных и культурных мероприятий. Среди них в амфитеатре учитель математики прочитал лекцию нескольким старшеклассникам и предложил следующую задачу: найти значения для a и b, так что многочлен p (x) = ax 3 + x 2 + bx + 4 делится на
q (x) = x 2 — x — 2. Некоторые студенты правильно решили эту задачу и, кроме того, обнаружили, что a и b удовлетворяют соотношению:

a) a 2 + b 2 = 73
b) a 2 — b 2 = 33
c) a + b = 6
d) a 2 + b = 15
e) a — b = 12