Полная система уравнений максвелла для магнитного поля

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

Магнитных монополей не существует.
Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Полная система уравнений максвелла для магнитного поля

Единая теория электрических и магнитных явлений. Система уравнений Максвелла

Итак, переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Взаимно порождаясь, они могут существовать независимо от источников заряда или токов, которые первоначально создали одно из них. В сумме это есть электромагнитное поле (ЭМП). Превращение одного поля в другое и распространение в пространстве есть способ существования ЭМП. Конкретные проявления ЭМП – радиоволны, свет, гамма-лучи и т.д.

В 1860 г. знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений, в которой он использовал понятие ток смещения, дал определение ЭМП и предсказал существование в свободном пространстве электромагнитного излучения, которое распространяется со скоростью света.

Теорию ЭМП Максвелл сформулировал в виде системы нескольких уравнений. В учении об электромагнетизме эти уравнения Максвелла играют такую же роль, как уравнения (или законы) Ньютона в механике.

1) Мы знаем теорему о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:

но: ; т.е. , тогда

(7.3.1)

Это уравнение является обобщением закона Био–Савара–Лапласа и показывает, что циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна сумме токов проводимости и токов смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Или другими словами, показывает связь между полным током и порождаемым им магнитным полем.

В дифференциальной форме это уравнение Максвелла выглядит так:

2) Рассматривая явление электромагнитной индукции, мы сделали вывод, что ЭДС индукции . Перейдем от вихревого электрического поля к магнитному:

(7.3.2)

Это уравнение описывает явление электромагнитной индукции (закон Фарадея) и устанавливает количественную связь между электрическими и магнитными полями: переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. В этом физический смысл уравнения.

В дифференциальной форме это уравнение выглядит так:

3) Ещё два уравнения выражают теорему Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей (статических полей)

(7.3.3)

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме зарядов внутри этой поверхности. Это уравнение показывает также, что силовые линии вектора и начинаются и заканчиваются на зарядах.

(7.3.4)

Это уравнение выражает то свойство магнитного поля, что линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты и что магнитных зарядов нет.

(7.3.5)

5, 6, 7) Наконец надо помнить, что величины, входящие в эти четыре уравнения не независимы, и между ними существует связь:

(7.3.6)

(7.3.7)

(7.3.8)

здесь σ – удельная проводимость, – плотность сторонних токов.

Эти уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями. Вид этих уравнений определяется электрическими и магнитными свойствами среды. В общем случае уравнения состояния очень сложны и нелинейны.

Уравнения (7.3.1 – 7.3.8) составляют полную систему уравнений Максвелла. Они являются наиболее общими для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Уравнения Максвелла – инвариантны относительно преобразований Лоренца. Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах полностью эквивалентен.

Таким образом, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах имеет вид:

;

– обобщенный закон Био–Савара–Лапласа;

; – закон Фарадея;

; – теорема Гаусса; – отсутствие магнитных зарядов;

, ,

Аудио-видео демонстрации по теме или смежным темам: 1. Солнечная корона. 2. Солнечная плазма.

Полная система уравнений Максвелла

Полная система уравнений Максвелла представляет собой систему дифференциальных или интегральных уравнений, решение которых позволяет определить характеристики электрического и магнитного поля в любой точке пространства в любой момент времени. Эти уравнения удовлетворяют динамическому принципу причинности или лапласовскому детерминизму.

Согласно этим уравнениям, если известно распределение зарядов в пространстве и заданы характеристики электрического и магнитного поля в начальный момент времени, а также заданы характеристики среды, то можно найти характеристики электрического и магнитного поля в любой момент времени в любой точке пространства.

Полная система уравнений Максвелла имеет вид, представленный в таблице:

Номер уравнения	Закон	Уравнение Максвелла в дифференциальной форме	Уравнение Максвелла в интегральной форме
Закон Био – Савара — Лапласа
Закон Фарадея для электромагнитной индукции
Вихревой характер магнитного поля
Теорема Остроградского — Гаусса
Определение вектора электрической индукции		—
Определение вектора индукции магнитного поля		—
Закон сохранения электрического заряда
Закон Ома для полной цепи