Квадратные уравнения (8 класс)
Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).
В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.
Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.
Виды квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.
Как решать квадратные уравнения
В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .
Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:
Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).
Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).
Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:
Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.
Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:
Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.
Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:
Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.
Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).
Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.
Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).
Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).
8.2.2. Решение полных квадратных уравнений
I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
Дискриминант D=b 2 — 4ac.
Если D>0, то имеем два действительных корня:
Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).
Если D 2 +5x-3=0.
Решение. a=2; b=5; c=-3.
D=b 2 — 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.
Пример 2) 4x 2 +21x+5=0.
Решение. a=4; b=21; c=5.
D=b 2 — 4ac=21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.
II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором
коэффициенте b
Пример 3) 3x 2 -10x+3=0.
Решение. a=3; b=-10 ( четное число ); c=3.
Пример 4) 5x 2 -14x-3=0.
Решение. a=5; b= -14 ( четное число ); c=-3.
Пример 5) 71x 2 +144x+4=0.
Решение. a=71; b=144 ( четное число ); c=4.
Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.
Решение. a=9; b=-30 ( четное число ); c=25.
III. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a-b+c=0.
Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:
Пример 7) 2x 2 +9x+7=0.
Решение. a=2; b=9; c=7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.
Тогда x1=-1, x2=-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.
IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0.
Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:
Пример 8 ) 2x 2 -9x+7=0.
Решение. a=2; b=-9; c=7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.
Тогда x1=1, x2=c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D 0 – решений нет.
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо c = 0, либо b = c = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
http://mathematics-repetition.com/8-2-2-reshenie-polnh-kvadratnh-uravneniy/
http://epmat.ru/kvadratnye-uravnenija/