Полный курс по дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения

от 7 до 8 часов в неделю

понадобится для освоения

2 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

В курсе излагаются методы решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Приводятся примеры их приложений при моделировании физических и других процессов. Рассматриваются также элементы теории устойчивости. Курс в основном ориентирован на студентов технических специальностей.

О курсе

Курс посвящён изучению методов решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем линейных дифференциальных уравнений. Цель курса – научить слушателей некоторым способам аналитического нахождения решений и дать представление о том, каким образом дифференциальные уравнения могут применяться на практике.
В состав курса входят видеолекции, а также наборы заданий для самостоятельного решения. В результате прохождения курса обучающийся получит базовые навыки работы с дифференциальными уравнениями, которые он сможет применить в прикладных областях знания.
Дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения окружающего мира. Повсеместное применение дифференциальных уравнений в науке и технике при моделировании различного рода явлений делает их изучение необходимой частью образования будущего инженера.

Формат

В состав курса входят видеолекции, электронный конспект, задачи для самостоятельного решения, электронное тестирование.

Продолжительность курса – 10 недель, средняя нагрузка составляет 7,2 часа в неделю. Общая трудоёмкость – 2 зачётные единицы.

Информационные ресурсы

1. Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения – СПб: Специальная Литература, 1996.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений – М.: КомКнига, 2007. – 240 с.
3. Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — 2000 – 176 с.
4. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко, Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями — М.: Едиториал УРСС, — 2002 – 256 с.
5. Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Рябова А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения — СПб: НИУ ИТМО, 2014. – 104 с. http://books.ifmo.ru/book/1315/obyknovennye_differencialnye_uravneniya.htm
6. Б.П. Демидович, В.П. Моденов Дифференциальные уравнения — СПб: Лань, 2019. — 280 с. https://e.lanbook.com/book/115196

Требования

Для успешного освоения курса необходимо иметь математическую подготовку в объеме программы первого курса технического вуза. В частности, необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением функций одной переменной, а также основными приёмами линейной алгебры.

Дополнительный инструментарий не требуется.

Программа курса

В курсе рассматриваются следующие темы:

1. Введение
2. Уравнения первого порядка. Основные понятия
3. Элементарные методы нахождения решений
4. Линейные уравнения высшего порядка. Общий случай
5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
6. Системы дифференциальных уравнений
7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
8. Теория устойчивости

Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели.

Результаты обучения

• Способность находить общие и частные решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений (РО-1)
• Способность решать системы линейных дифференциальных уравнений (РО-2)

Формируемые компетенции

• Способен применять математические, естественнонаучные и общепрофессиональные знания для понимания окружающего мира и для решения задач профессиональной деятельности (ОПК-1)
• Способен формулировать, строить и применять математические модели для управления достижением планируемых результатов процессов и объектов профессиональной деятельности на базе знаний математики, программирования и унифицированных пакетов программ (ОПК-3)

Направления подготовки

от 7 до 8 часов в неделю

понадобится для освоения

2 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

Бабушкин Максим Владимирович

Должность: ассистент факультета систем управления и робототехники Университета ИТМО

Сертификат

По данному курсу возможно получение сертификата.

Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Департамент образования и науки Приморского края

Краевое государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Региональный технический колледж»

Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА

Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины

Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.

Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.

Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.

Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.

— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2)для любого начального условия у(х ₀ ) = у ₀ такого, что (х ₀ ;у ₀ ) , существует единственное значение С=С ₀ , при котором решение у=(х,С ₀ ) удовлетворяет заданному начальному условию.

О: Всякое решение у=(х,С ₀ ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С ₀ , называется частным решением.

О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х ₀ ;у ₀ ).

2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

О: Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющими переменными.

Если f ₂ ( x ) ≠ 0 и ₁ ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде

В результате почленного интегрирования получаем

Пример 1. Решить уравнение у’ = .

Решение. f ₂ ( x ) = x , ₁ ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С ₁ |, С ₁ 0 или = + С ₁ .

Потенцируя, находим | у| = | С ₁ | |х |, что эквивалентно уравнению у = С ₁ х. Полагая С ₁ = С, окончательно получаем у = Сх.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.

Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,

Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.

Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим

y = — x ydy = — xdx.

Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.

Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С

С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных

= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .

Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим

= — 3х + или у = С ₁ е -3х = С е -3х .

Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем

С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С ₂ , где С ₂ – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С ₂ ) е -3х или у = е 2х + С ₂ е -3х .

Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()

Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .

Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;

u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь

x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .

Решим оставшееся уравнение:

x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.

Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .

Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если у ₁ (х) и у ₂ (х) — два линейно независимых частных решения уравнения ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0, то у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂ есть общее решение этого уравнения (С ₁ и С ₂ — произвольные постоянные ).

Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0

может быть найдено в виде у = е kx .

Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим ₀ k 2 e kx + ₁ k e kx + ₂ e kx = 0 e kx ( ₀ k 2 + ₁ k + ₂ ) = 0.

Поскольку е kx 0, то ₀ k 2 + ₁ k + ₂ = 0.

Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx

будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.

Случай 1. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и различны ( k ₁ k ₂ ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у ₁ = ; у ₂ = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С ₁ + С ₂ .

Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k ₁ = 1; k ₂ = 2 y = C ₁ e x + C ₂ e 2 x .

Случай 2. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k ₁ = k ₂ = k = — ( D = 0).

В этом случае общее решение имеет вид:

у = C ₁ e kx + C ₂ х e kx = ( C ₁ + C ₂ x ) e kx .

Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k ₁ = k ₂ = 1 действительные и равные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения

у ₁ = е х , у ₂ = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид

у = С ₁ е х + С ₂ х е х = е х ( С ₁ + С ₂ х ).

Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k ₁ = 2 + 3 i , k ₂ = 2 – 3 i — комплексные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у ₁ = е 2х cos 3 x , y ₂ = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид

у = е 2х ( С ₁ cos 3 x + C ₂ sin 3 x ).