Половинный аргумент квадратное уравнение дискриминант

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Формулы корней квадратных уравнений, разложение на множители

В разных практических деятельностях человека вроде физики, инженерии, архитектуры и других точных наук, часто встречаются задачи с математическими моделями, какой являются уравнения, имеющие переменную (x) в иной степени. Именно они помогают учёным в изучении внешней среды и её использовании.

Квадратные уравнения

Квадратным называется равенство вида ax² + bc + c = 0, где x является переменой, a (первый коэффициент), b (второй) и c (свободный) — это действительные числа, которые должны приводить в условии задачи. Нужно помнить при решении, что a ≠ 0. Как уже понятно, оно очень отличается от линейного уравнения, его все изучали в младших классах школы.

Чтобы понять, как решать квадратные уравнения, нужно представить футбольное поле, длина которого на 10 метров больше его ширины, а площадь равна 380 квадратных метров. Нужно найти ширину футбольного поля.

Пусть переменная x — это определённая ширина, тогда её длина будет (х +10) метров. Потом x * (x + 10) = 380, ведь дана площадь 380 квадратных метров в условии задачи, то есть x² + 10x 380 равно нулю. Здесь а = 1, b = 10, а c = -375 Это был один из примеров квадратных равенств.

Различают два вида уравнений:

• Приведённые — это случай, когда в квадратном равенстве a = 1.
• Непривёденные если a ≠ 1.

При этом x² — приведённое, а уже при 5x² оно станет непривёденным.

Понятие дискриминант

Существует определенная система решения таких уравнений. Чтобы найти чётный корень такого равенства, достаточно запомнить приведённую ниже формулу квадратного уравнения.

Буква D — это дискриминант. Звучит сложно, но не стоит пугаться, ведь с латинского языка слово переводится, как разность. Он равен: D = b² 4 ac. Следуя этому, можно записать, что (2ax + b)² = D. Есть определенные правила, как надо решать дискриминант:

• Если D меньше нуля, то действительных корней нет.
• В случае когда D равняется нулю, в решении получается только один действительный корень, но есть редкие случаи с двумя, то есть можно писать при решении в формуле либо +, либо -.
• Если D больше нуля, то в уравнении два действительных корня, то есть и плюс, и минус. Но чтобы укоротить решение достаточно записать ±, вместо двух вариантов решения задачи.

Пример первого способа нахождения через формулу дискриминанта квадратного уравнения и правильным разложением чисел:

• 9х²-6х+1=0,
• D = (-6)² 4 × 9 ×1 = 0,
• D эквивалентен нулю,
• x = -6/2×9 = 1/3.

Как пример можно показать уравнивание: -8x² = 0, у которого b и с равны нулю. Или 2x² 3 = 0, b ничему не равно. В уравнении -7x² + 4x² = 0 c эквивалентно нулю.

Разные квадратные уравнения

Помимо обычных дискриминантов, есть и половинные. Их ищут для равенств, у которых второй коэффициент — это чётное число, по формуле: D1 = 4 k² 4 ac = 4 (k² ac). Чтобы делать меньше ошибок, лучше использовать формулу со скобками. Благодаря этому в ответе получается четверть дискриминанта.

Квадратные равенства с комплексными переменными почти ничем не отличаются от плоскости действительных чисел и тем, которые должны проходить в восьмых классах. И чтобы без проблем их решать, нужно использовать формулу.

Если в квадратном равенстве хотя бы один из общих коэффициентов квадратного трехчлена B или C равен нулю, то такое равенство называют неполным.

Следовательно оно бывает только трёх видов:

• Уравнение вида ax² равно нулю. Поскольку а ≠ 0, имеем случай, когда x² = 0, корнем которого есть число ноль. Как уже понятно, имеется единственный корень х равен нулю.
• ax² + c равно нулю, тогда с не будет равняться нулю. Чтобы это лучше понять, приводится уравнение ах² = -c, x² = -c/a. Поскольку c ≠ 0 тогда и -с/а также не равно нулю. Если -с/а больше нуля, то получается два корня: х1 = корень из -с/а и ещё х2 = корень из с/а. Также можно написать вместо минуса и плюса одно уравнение из знаком: ±. Возможен случай, когда ситуация является обратной (-с/а &lt, 0), тогда корней совсем нет. Пример: -2х² + 50 равняется нулю. -2х²= -50, х² = 25, х1,2 = ±5.
• ах² + bx = 0, и при этом b нулю не равно. Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное х * (ах + b) = 0. Ответ: x равен нулю или ax + b = 0, но x = -b/a, поскольку a ≠ 0. В итоге должно выйти два корня: х1 = 0 и х2 = -b/a. Один из примеров: 2х² + 5х эквивалентен нулю, х(2х+ 5) = 0, х= 0 или 2х + 5 = 0. На данный момент очевидно, что x2 = -2,5 и х1 эквивалентен нулю.

Из истории математики

Неполные квадратные равенства и некоторые виды неизвестных корней вавилонские математики умели решить и создать ещё 4000 лет тому назад. Такие произведения в Древней Греции решали тем же способом. Люди, обладающие знаниями точных наук, решали некоторые квадратные уравнения геометрическими приёмами.

Это показал древнегреческий учёный Диофант. Много внимания таким уравнениям также выделял арабский математик Мухаммед Альхорезми. Он нашёл как решать уравнение видов: ах²=bx, ax²=c, ax²+bx=c, ax²+c=bx, bc+c=ax² и получил положительные корни.

Формулы, что связывают между собой корни равенства и его коэффициенты, впервые нашёл французский математик Франсуа Виет в 1591 году. Его заключения в современных обозначениях имеют вид: (а + b)x x² = 0.

После быстрой публикации работы нидерландского математика Жераром, а также француза Декарда и англичанина Ньютона равенство корней квадратного уравнения приобрело современный вид.

Сейчас речь идёт о теореме Виета, на которую нужно обратить внимание. Её так называют из-за известного французского математика Франсуа Виета, которым и было открыто это свойство. Сумма корней сведенного квадратного равенства равно другому коэффициенту, взятому с отрицательным знаком, а произведение корней — свободному члену. Часто его записывают в таком виде: х² + px + q эквивалентно нулю.

Теорему можно сформулировать так.

Если х1 и х2 — корни сведенного квадратного равенства х²+px+q эквивалентны нулю, то х1 + х2 = -p, x1 * x2 = q. Поскольку a ≠ 0, поделим две части уравнения на а и получается современная формула: x² b/a * x + c/a равно нулю.

Об отдельных случаях вычисления дискриминанта

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант, многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения

Тогда корни уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным квадратным уравнением ( и – ненулевые).

I. Используем формулу «разность квадратов» + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий:

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ?