Полярное уравнение прямой на плоскости

Полярное уравнение и параметры прямой

Прямая AB (рисунок ниже)

не проходящая через полюс, представляется в полярных координатах уравнением

p = OK и α = ∠XOK — полярные параметры прямой AB.

Полярным расстоянием прямой AB называется длина p перпендикуляра OK , проведённого к прямой из начала О . Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярным углом прямой AB называется угол α=∠XOK между лучами OX и OK (взятым в данном порядке).
Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой.

Если прямая представлена уравнением Ax+By+C=0 , то её полярное расстояние определяется по формуле

а полярный угол

где верхние знаки берутся, когда C>0 , а нижние – когда C ; если же С=0 , то произвольно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

Пример 1
Найти полярные параметры прямой 4x-3y+5=0

Затем нужно взять верхние знаки, так как С=+1 , следовательно

Пример 2
Найти полярные параметры прямой 2x-y+9=0

Решение
p=0
Можно взять только верхние знаки, либо только нижние. В первом случае

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Уравнение прямой

Прямая — ГМТ, равноудаленных от двух точек.

(I) Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны 0 одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси oX, при $B=0$ — параллельна оси oY.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Вектор с координатами $(A;B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

Также уравнение можно переписать в виде $$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$$

(II) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением вида $y = kx + b$ можно задать не любую прямую — а именно, нельзя задать прямую, перпендикулярную оси абсцисс.

(III) Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках $$\frac x a + \frac = 1$$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

(IV) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две несовпадающие точки A(x1;y1) и B(x2;y2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1;y1) и B(x2;y2) имеет вид:

(V) Каноническое уравнение прямой

Если известны координаты точки $P(x_0, y_0)$ лежащей на прямой и направляющего вектора $ \vec v = (a; b)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу:

(VI) Параметрическое уравнение прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом $$ x = a t + x_0, y = b t + y_0$$ где $(x_0, y_0)$ — координаты точки лежащей на прямой, $(a, b)$ — координаты направляющего вектора прямой.

(VII) Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой с углом наклона $\alpha$ в полярных координатах $r$ и $\phi$: $$r \cos(\phi-\alpha)=p$$

Калькулятор

Калькулятор для составления уравнения прямой — показывает ход решения

Переход к другой форме записи

От общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом

Выразить переменную y: $Ax + By + C = 0$

$y = -\frac A B x- \frac C B$

От уравнения с угловым коэффициентом к общему уравнению

Перенести все члены в левую часть уравнения

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой $k$ = численно равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Slope — угловой коэффициент — наклон, склон холма, показатель насколько крутой холм или гора.

Чтобы найти наклон между двумя точками на плоскости используется формула:

Иногда горизонтальное изменение называют «пробег», а вертикальное изменение — «подъем» или «снижение, спад».

Наклон биссектрисы первого координатного угла равен 1, так как скорость изменения по оси X и по оси Y одинаковы.

Например, найдем наклон между точками (2, 1) и (-9, 7)

Найдем наклон между точками (-1, -3) и (1, 1)

Чем больше модуль числа, чем круче склон. Положительное число означает, что наклон идет вверх при движении слева направо (прямая возрастает). Отрицательное число означает, что наклон идет вниз при движении слева направо (прямая убывает).

Угол между двумя прямыми

Пусть две неперпендикулярные прямые представляются уравнениями $$y= a_1 x+ b_1 \\ y= a_2 x+ b_2$$ Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле $$tg(θ)=\frac<1+ a_1 \cdot a_2>$$

Условие параллельности двух прямых

Две прямые параллельны (или совпадают), если равны их угловые коэффициенты.

Теорема. Прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$.

Задача

Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых $2x-3y+1=0$ и $4x-6y-5=0$.

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(1;2)$ параллельно прямой $2x-3y+1=0$.

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1: $$k_1 \cdot k_2=-1$$

Задача

При каком значении $k$ уравнение $y=kx+1$ определяет прямую, перпендикулярную к прямой $y=2x-1$?

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(-1;1)$ перпендикулярно к прямой $3x-y+2=0$.

Сводная таблица

Задачи — угловой коэффициент на бумаге в клетку

Определить угловой коэффициент прямой:

Расстояние от точки до прямой

Когда прямая на плоскости задана уравнением $ax + by + c = 0$, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки $(x_0,y_0)$ равно

Точка на прямой, наиболее близкая к $(x_0,y_0)$, имеет координаты

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».