Полярные координаты уравнение линии в полярных координатах

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :
Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы у функции рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .

Например, . Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу , проведём замену:

Возведём обе части в квадрат:
– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Задача 116

Построить линию

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:

– Посмотрим на график функции (см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство ? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс , а именно, его часть на отрезке . И, соответственно, интервал не подходит. Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:

В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме.

Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»: и используем более компактные формулы перехода:

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:

– уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ?

Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке .

Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 117

Построить линию и найти её уравнение в декартовой системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце книги.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом , и полупрямой , называемой полярной осью . Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием ( полярным радиусом ) от точки до полюса (т.е. ) и углом ( полярным углом ) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

— в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

— в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла . В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат <связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки , отличной от точки , и ее полярные координаты . По рис.2.28,б получаем

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис.2.29):

Пример 2.9. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии ;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии и — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки и (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт «б», найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если \varphi_2″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

Пример 2.11. На координатной плоскости отмечена точка . Найти:

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора на угол вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

так как точка лежит в четверти.

При повороте радиус-вектора вокруг полюса на угол полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : , , причем — главное значение полярного угла .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты образа выражаются через полярные координаты прообраза следующими формулами:

Поэтому, учитывая пункт «а», находим (для ):

Как построить линию в полярной системе координат?

На предыдущем уроке мы познакомились с полярными координатами, а также научились строить отдельно взятые точки и распространённые кривые в данной системе координат. Давайте подведём краткие промежуточные итоги и ответим на важный вопрос:
как построить линию в полярной системе координат?

– Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.

– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.

– На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил в начале статьи о полярных координатах.

– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).

Отработаем алгоритм построения на более основательных типовых задачах:

Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.

Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:

Очевидно, что условие выполнено для любого значения «фи», но, тем не менее, расскажу об удобном графическом способе решения тригонометрического неравенства: изобразите на черновике (или представьте мысленно) график функции левой части неравеснтва и прямую правой части неравенства. Непосредственно по чертежу видно, что синусоида расположена не ниже прямой , а значит, неравенство выполнено для любого значения «икс».

Итак, на угол не наложено никаких ограничений, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:

и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи».

На практике обычно не расписывают подробные вычисления, а сразу заносят результаты в таблицу:

Рекомендую использовать мой расчётный макет, созданный в MS Excel, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения «эр», сэкономив целый вагон времени. Программу можно закачать на странице Математические формулы и таблицы. Особо нетерпеливым читателям предлагаю также воспользоваться handmade-продуктом и быстро начертить заготовку, ориентируясь по клеточкам:

Углы проставлены для удобства и на чистовике, понятно, их записывать не надо.

…поймал себя на мысли, что уже добрые пару лет не выполнял чертежи от руки. Сейчас аккуратно извлеку тетрадь из сканера и спрячу её в укромном месте – лет через 20-30-ть продам на антикварном аукционе за 100500 золотых червонцев =) Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись затолкать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). Сейчас на дворе февраль 2014 года, а ведь с той поры не прошло и пары десятилетий. Боюсь, что шутливое сравнение чертёжных инструментов с каменным топором довольно скоро перестанет быть шуткой =)

После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:

Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем, а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».

Найдём уравнение линии в декартовой системе координат. Для этого используем тоже уже знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»:

И по формулам перехода к прямоугольным координатам получим:

Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:

Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.

Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-его, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и грибники без труда могут отыскать море информации по данной теме. Ну а я, как обычно, предлагаю вкусную и здоровую пищу на каждый день:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная с и заканчивая ;

2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;

3) определить вид кривой.

Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения, а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту и предыдущую статью о полярных координатах! Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Рассмотрим ещё ряд важных особенностей решения:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: найдём область определения:

Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, поэтому неравенство становится строгим. Перенесём косинус направо и развернём избушку к лесу задом:

Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Изобразим на черновике или представим мысленно графики функций , при этом нас будет интересовать только один период – от до . Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОДпрямой :

То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением макушки, расположенной на симметричном отрезке .

Таким образом, . Арккосинус составляет примерно 37 градусов, поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:

Чайники могут, в принципе, вообще не загружаться областью определения и ставить тире по факту: получилось отрицательное значение «эр» – поставили.

Выполним чертёж:

На него не вместились точки, соответствующие значениям , но не уменьшать же из-за этого масштаб. Сойдёт и так.

2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. По всем признаком должна получиться гипербола.

Избавляемся от дроби:

Используем формулы перехода :

Дальнейшие действия хорошо знакомы из практикума Задачи с линиями 2-го порядка:

– искомое уравнение.

3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . Впрочем, формально по условию можно было и не упоминать о деталях.

Вы спросите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно!
И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и чертовски удобно – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.

Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётомпараллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.

Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:

Эксцентриситет:

Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид.

3) Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.

Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз налетал – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решенияприведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено академическим способом.

На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в навигации (не зря упоминались лётчики и самолёты) и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что распиаренная прямоугольная система координат как-то здесь совсем не в тему. Ну а мне пора плотно прикрыть дверь аналитической геометрии и вернуться к матанализу, где полярные координаты тоже эксплуатируются на полную катушку.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 7: Решение: 1) Найдём область определения функции:
– любое.
Заполним таблицу требуемыми значениями угла и соответствующими значениями полярного радиуса:

Выполним чертёж:

2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Используем формулы :

– уравнение линии в прямоугольной системе координат.
3) Данная кривая представляет собой эллипс с центром симметрии в точке , большой полуосью и малой полуосью .

Пример 9: Решение: 1) Найдём область определения функции:

Заполним расчётную таблицу:

Выполним чертёж:

2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Используем формулы :

– искомое уравнение. Это парабола.

3) Приведём уравнение линии к каноническому виду с помощью перехода к новой системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на рад. вокруг точки и её параллельным переносом центром в точку (координаты – в старой системе координат).
В результате получено каноническое уравнение параболы , фокальный параметр которой равен . Выполним чертёж:

Найдём фокус: .
Эксцентриситет любой параболы равен единице.

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах, кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости. Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения: плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве. Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.