Понижение степени в тригонометрических уравнениях

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `\alpha`, а также для угла `\frac \alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

Для 4-й степени

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

Для произведения синус на косинус

`sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha=\frac<1-cos \ 4\alpha>8`
`sin^3 \alpha \cdot cos^3 \alpha=\frac<3sin \ 2\alpha-sin \ 6\alpha>32`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac<1-cos \ 2\alpha>2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac<1+cos \ 2\alpha>2`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 \alpha=\frac<3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha>4` и `cos^3 \alpha=\frac<3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha>4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n \alpha=\frac1<2^> \cdot \sum_^<\frac 2> (-1)^ <\frac 2 -k> \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1<2^> \cdot \sum_^<\frac 2> C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4\alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 \alpha=\frac<1+cos \ 2\alpha>2`, получим `cos^2 4\alpha=\frac<1+cos 2\cdot\ 4\alpha>2=\frac<1+cos 8\alpha>2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 \frac \pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 \alpha=\frac<1-cos \ 2\alpha>2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 \frac \pi 8=\frac<1-cos \ 2\frac \pi 8>2=\frac<1-cos \frac \pi 4>2`. Поскольку `cos \frac \pi 4=\frac <\sqrt 2>2`, то `sin^2 \frac \pi 8=\frac<1-cos \frac \pi 4>2=\frac<1-\frac <\sqrt 2>2>2=\frac<\frac <2-\sqrt 2>2>2=\frac <2-\sqrt 2>4`.

Ответ. `sin^2 \frac \pi 8=\frac <2-\sqrt 2>4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Тригонометрические формулы понижения степени

Формулы понижения степени – это тригонометрические формулы позволяющие перейти от степеней тригонометрических функций к функциям в первой степени, но от кратного аргумента.

Формулы понижения степени для квадрата

Чаще всего на практике используются формулы понижения степени для квадрата: \(\ \sin ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1-\cos 2 \alpha) \); \(\ \cos ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1+\cos 2 \alpha) \)

Формулы (1) напрямую следуют из формул косинуса двойного угла: \(\ \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^ <2>\alpha \quad \Rightarrow \quad 2 \sin ^ <2>\alpha=1-\cos 2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \sin ^ <2>\alpha=\frac<1-\cos 2 \alpha> <2>\)

\(\ \cos 2 \alpha=2 \cos ^ <2>\alpha-1 \Rightarrow 2 \cos ^ <2>\alpha=1+\cos 2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos ^ <2>\alpha=\frac<1+\cos 2 \alpha> <2>\)

Формулы понижения степени для куба косинуса или синуса \(\ \sin ^ <3>\alpha=\frac<1> <4>\cdot(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha) \cos ^ <3>\alpha=\frac<1> <4>\cdot(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha) \)

Вывести эти формулы можно двумя способами.

Первый способ. Формулы (2) напрямую следуют из тригонометрических функций тройного угла:

\(\ \sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^ <3>\alpha \Rightarrow 4 \sin ^ <3>\alpha=3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha \Rightarrow \sin ^ <3>\alpha=\frac<(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha)> <4>\)

\(\ \cos 3 \alpha=4 \cos ^ <3>\alpha-3 \cos \alpha \Rightarrow 4 \cos ^ <3>\alpha=3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha \Rightarrow \sin ^ <3>\alpha=\frac<(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha)> <4>\)

Второй способ. Формулы понижения степени (2) можно вывести, используя формулы (1) и формулы произведения тригонометрических функций. Рассмотрим третью степень синуса

\(\ \sin ^ <3>\alpha=\sin \alpha \cdot \sin ^ <2>\alpha \)

Применим одну из формул (1) \(\ \sin ^ <3>\alpha=\sin \alpha \cdot \sin ^ <2>\alpha=\sin \alpha \cdot \frac<(1-\cos 2 \alpha)><2>=\frac<1> <2>\cdot(\sin \alpha-\sin \alpha \cos 2 \alpha) \) далее применим формулу произведения синусов:\(\ \sin \alpha \cos \beta=\frac<\sin (\alpha-\beta)+\sin (\alpha+\beta)> <2>\sin ^ <3>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(\sin \alpha-\sin \alpha \cos 2 \alpha)=\frac<1> <2>\cdot\left(\sin \alpha-\frac<\sin (-\alpha)><2>-\frac<\sin 3 \alpha><2>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(\sin \alpha+\frac<\sin \alpha><2>-\frac<\sin 3 \alpha><2>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(\frac<3 \sin \alpha><2>-\frac<\sin 3 \alpha><2>\right)=\frac<1><4>(3 \sin \alpha-\sin 3 \alpha) \)

Аналогично, \(\ \cos ^ <3>\alpha=\cos \alpha \cdot \cos ^ <2>\alpha=\cos \alpha \cdot \frac<(1+\cos 2 \alpha)><2>=\frac<1> <2>\cdot(\cos \alpha+\cos \alpha \cos 2 \alpha) \) далее применим формулу произведения косинусов: \(\ \cos \alpha \cos \beta=\frac<\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)> <2>\cos ^ <3>\alpha=\cos \frac<1> <2>\cdot(\cos \alpha+\cos \alpha \cos 2 \alpha)=\frac<1> <2>\cdot\left(\cos \alpha+\frac<\cos (-\alpha)><2>+\frac<\cos 3 \alpha><2>\right)= =\frac<1> <2>\cdot\left(\cos \alpha+\frac<\cos \alpha><2>+\frac<\cos 3 \alpha><2>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(\frac<3 \cos \alpha><2>+\frac<\cos 3 \alpha><2>\right)=\frac<1><4>(3 \cos \alpha+\cos 3 \alpha) \)

Формулы понижения степени для четвертой степени косинуса или синуса \(\ \sin ^ <4>\alpha=\frac<1> <8>\cdot(\cos 4 \alpha-4 \cos 2 \alpha+3) \cdot \cos ^ <4>\alpha=\frac<1> <8>\cdot(\cos 4 \alpha+4 \cos 2 \alpha+3) \)

Эти формулы доказываются применением к ним дважды формул (1):

Примеры решения задач

Понизить степень следующих выражений 1) \(\ \cos ^ <2>4 x \) 2)\(\ \sin ^ <2>3 x \)

1) Воспользуемся формулой понижения степени для квадрата косинуса \(\ \cos ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1+\cos 2 \alpha) \) , получим: \(\ \cos ^ <2>4 x=\frac<1+\cos 2 \cdot 4 x><2>=\frac<1+\cos 8 x> <2>\)

2) Применим формулы понижения степени для синуса \(\ \sin ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1-\cos 2 \alpha) \sin ^ <2>3 x=\frac<1-\cos 2 \cdot 3 x><2>=\frac<1-\cos 6 x> <2>\)

Вычислить, используя формулы понижения степени

1) \(\ \sin ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1-\cos 2 \alpha) \) Учитывая, что \(\ \cos \frac<\pi><4>=\frac<\sqrt<2>> <2>\) , окончательно имеем: \(\ \sin ^ <2>\frac<\pi><8>=\frac<1> <2>\cdot\left(1-\cos \frac<\pi><4>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(1-\frac<\sqrt<2>><2>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(\frac<2-\sqrt<2>><2>\right)=\frac<2-\sqrt<2>> <4>\)

2) Применим к исходному выражению формулу понижения \(\ \cos ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1+\cos 2 \alpha) \) , получим: \(\ \cos ^ <2>\frac<\pi><12>=\frac<1> <2>\cdot\left(1+\cos 2 \cdot \frac<\pi><12>\right)=\frac<1> <2>\cdot\left(1+\cos \frac<\pi><6>\right) \)

Доказать тождество \(\ 2 \sin ^ <2>\frac<\alpha><2>+\cos \alpha=1 \)

По формуле понижения степени \(\ \sin ^ <2>\alpha=\frac<1> <2>\cdot(1-\cos 2 \alpha) \sin ^ <2>\frac<\alpha><2>=\frac<1><2>\left(1-\cos 2 \cdot \frac<\alpha><2>\right) \Rightarrow \sin ^ <2>\frac<\alpha><2>=\frac<1><2>(1-\cos \alpha) \Rightarrow 2 \sin ^ <2>\frac<\alpha><2>=1-\cos \alpha \)

Подставим полученное выражение в исходное тождество \(\ 1-\cos \alpha+\cos \alpha=1 \quad \Rightarrow \quad 1=1 \)