Понятие и определение уравнения второго порядка

10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0‘ касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 -го, 2 -го и 5 -го порядков:

1 ) y ‘ + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R

Уравнения в частных производных 2 -го порядка:

1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 — ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ‘ = x .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ‘ = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ‘ = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y ‘ = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y ‘ = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ‘ = x 3 3 + 2 3 ‘ = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f ( x 0 ) = f 0 ; f ‘ ( x 0 ) = f 1 ; f ‘ ‘ ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n — 1 ) ( x 0 ) = f n — 1

где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n — 1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:

f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.