Понятие и виды интегральных уравнений

Виды интегральных уравнений

Рассмотрим некоторые частные случаи одномерных уравнений, которые, с одной стороны, важны в практических приложениях и, с другой стороны, наиболее изучены.

Уравнения, в которые искомая функция входит линейно, называются линейными интегральными уравнениями. Одним из них является уравнение Фредгольма первого рода

Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

В уравнениях Фредгольма ядро определено и ограничено на квадрате . Если K(x,s) = 0 при s>х, т. е. ядро отлично от нуля только на треугольнике , то уравнения и переходят в уравнения Вольтерра соответственно первого и второго рода:

Мы будем рассматривать задачи для уравнений второго рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными. Их рассмотрение выходит за рамки данного краткого курса. Заметим лишь, что для решения некорректных задач, т. е. уравнений или, могут быть использованы методы регуляризации.

Если правая часть уравнения равна нулю, то получается однородное уравнение Фредгольма второго рода, которое можно записать в виде

Это уравнение допускает нулевое (тривиальное) решение у(х) = 0. Для него может быть поставлена задача на собственные значения. Параметры х_i, при которых уравнение имеет отличные от нуля решения , называются собственными значениями ядра K(x,s) или уравнения, а отвечающие им решения — собственными функциями.

Теорема Фредгольма. Если не является собственным значением ядра К(х,s), то неоднородное уравнение имеет единственное непрерывное решение у(х) при , в противном случае данное неоднородное уравнение или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество.

В практических приложениях важную роль играют уравнения Фредгольма второго рода с вещественным симметричным ядром K(x,s), т. е. когда

Симметричное ядро обладает следующими свойствами:

1) симметричное ядро имеет хотя бы одно собственное значение;

2) все собственные значения симметричного ядра действительны;

3) собственные функции симметричного ядра ортогональны, т.е.

Уравнение Вольтерра не имеет собственных значений. Соответствующее однородное уравнение, т. е. при f(x) = 0, имеет только тривиальное решение у(х) = 0. Следовательно, неоднородное уравнение всегда при любом значении имеет решение, и при том единственное.

Итак, основными задачами для рассматриваемых интегральных уравнений являются:

1) нахождение решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра ;

2) вычисление собственных значений и отыскание соответствующих им собственных функций однородного интегрального уравнения.

Методы решения.

Численные методы. Эти методы называют также квадратурными. Они основаны на использовании формул численного интегрирования для вычисления определенных интегралов, входящих в интегральные уравнения. Численные методы получили особенно широкое распространение в связи с внедрением компьютеров, хотя эти методы можно использовать и в ручном счете при небольшом числе узлов. Численные методы могут применяться для решения как линейных, так и нелинейных интегральных уравнений.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение вида

Разобьем отрезок [а,b] на части точками x_i = а + ih (i = 0,1. ,n).

Заменим интеграл в уравнении некоторой квадратурной формулой

с помощью значений сеточной функции u_i в узлах:

j=1, 2, …, n.

где c_i — коэффициенты квадратурной формулы численного интегрирования.

Мы получили систему нелинейных алгебраических уравнений. Решая систему, получаем значения сеточной функции в выбранных узлах отрезка [а,b]. Для практического решения этой системы можно использовать рассмотренные ранее методы, например метод Ньютона Вопрос о сходимости сеточного решения u_i к значениям искомой функции y(x_i) при может быть рассмотрен лишь для конкретного вида интегрального уравнения. В общем случае сходимость численного метода исследовать трудно.

Рассмотрим линейные интегральные уравнения. Запишем сеточное выражение для однородного уравнения Фредгольма:

j=1, 2, …,n

Система линейных уравнений в таком виде описывает задачу на собственные значения матрицы А, элементами которой являются числа а_j,i=c_iK(x_j,x_i). Матрица А имеет n собственных значений (с учетом кратности), которые являются приближениями к собственным значениям однородного уравнения Фредгольма.

В случае неоднородного уравнения Фредгольма вместо однородной системы получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

j=1, 2, …,n

Эта система уравнений может быть решена одним из рассмотренных ранее методов, например методом Гаусса. В соответствии с теоремой Фредгольма параметр λ не должен быть равен ни одному из собственных значений. Если он попадает в окрестность некоторого собственного значения, то система становится плохо обусловленной, и сеточное решение u_i может сильно отличаться от искомых значений y(x_i).

На практике обычно собственные значения интегрального уравнения неизвестны, поэтому ограничиваются исследованием практической сходимости. Оно состоит в проведении серии расчетов со сгущающейся сеткой. Если при этом наблюдается сходимость сеточных значений, то в качестве искомого решения принимаются результаты последнего расчета на густой сетке. При решении уравнения Вольтерра система линейных алгебраических уравнений имеет треугольный вид, и она легко решается последовательным нахождением значений u_i (по аналогии с обратным ходом метода Гаусса).

Рассмотренный подход можно использовать и для решения многомерных интегральных уравнений. При этом в многомерной расчетной области значительно возрастает число узлов. Для решения таких задач требуется большой объем памяти компьютера; системы уравнений в этих случаях более целесообразно решать итерационными методами.

Примеры задач.

Пример 1.1 (реализация в пакете MATLAB).

Найти в пакете MATLAB решение интегрального уравнения Фредгольма:

% задание временной сетки

%задание коэффициентов квадратурной формулы методом трапеций

%вычисление значений функции Q(t,s) в узлах сетки

%вычисление значений функции f(t)в узлах временной сетки

%нахождение решения интегрального уравнения

>> [X,Y]= Solve_Fredholm (a1,b1,N,Lambda);

Получим следующий график:

Найти в пакете MATLAB решение интегрального уравнения Вольтерра:

% задание временной сетки

%задание коэффициентов квадратурной формулы методом трапеций

%вычисление значений функции Q(t,s) в узлах сетки

%вычисление значений функции f(t)в узлах временной сетки

%вычисление решения интегрального уравнения

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.