Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами
Пусть задано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты $a$, $b$ и $c$ — в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта
В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.
Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_<1>=1-i$ и $z_<2>=4-5i$. Решить его.
Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ — корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:
Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:
$z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ — искомое квадратное уравнение.
Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
$$D=(-5+6 i)^<2>-4 \cdot 1 \cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$
Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $\sqrt
$$\sqrt<-7-24 i>=a+b i \Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^ <2>\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-7-24 i=a^<2>+2 a b i-b^<2>$$
Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:
решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $\sqrt
Ответ. $z^<2>+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Вы будете перенаправлены на Автор24
Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида $x^
Рассмотрим три случая:
Решить уравнение: $x^ <3>=8$.
Так как $A>0$, то $x_
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[<3>] <8>=2$.
При $k=1$ получаем
\[x_ <1>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>+\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1+\sqrt <3>\cdot i.\]
При $k=2$ получаем
\[x_ <2>=\sqrt[<3>] <8>\cdot \left(\cos \frac<4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <8>\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=2\cdot (-\frac<1> <2>-\frac <\sqrt<3>> <2>\cdot i)=-1-\sqrt <3>\cdot i.\]
Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.
Готовые работы на аналогичную тему
Так как $A$ — комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.
По условию $a=1,b=1$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
\[\varphi =\arg z=arctg\frac<1> <1>=arctg1=\frac<\pi > <4>\]
Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При $k=0$ получаем $x_ <0>=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi /4> <3>+i\cdot \sin \frac<\pi /4> <3>\right)=\sqrt[<3>] <\sqrt<2>> \cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)=\sqrt[<6>] <2>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <12>+i\cdot \sin \frac<\pi > <12>\right)$.
При $k=1$ получаем
При $k=2$ получаем
Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.
\[D=2^ <2>-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида $\overline
Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1\pm 2i$, записать исходное уравнение.
Запишем уравнение следующим образом:
\[x^ <2>-(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\] \[x^ <2>-x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^ <2>=0\] \[x^ <2>-2x+1+4=0\] \[x^ <2>-2x+5=0\]
Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021
Сергей Евгеньевич Грамотинский
Эксперт по предмету «Математика»
Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск
. и многие другие.
Успешной учебы! Будем рады вам помочь!
Конспект урока по математике на тему «Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел» 1 курс профессия «Мастер по лесному хозяйству»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Урок на тему: «Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел».
Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить учащихся с историей развития комплексных чисел, воспитывать
Развивающие : развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность при работе в группах.
Используемые технологии и методы: 1) проблемный диалог; 2) информационно- коммуникационные технологии.
Тип занятия: комбинированный.
Повторение материала предыдущего занятия.
Изучение нового материала.
Закрепление нового материала.
1.Организационный момент (2 мин).
2. Повторение материала предыдущего занятия (10 мин).
Множество действительных чисел;
Множество комплексных чисел;
Определение и форма записи комплексного числа;
Изображение комплексного числа на комплексной оси;
Степени мнимой единицы;
3. Изучение нового материала.
-Как называется картинка, которую вы видите на экране? (Мем).
-Что мы знаем об извлечении корня из отрицательных чисел? (что корень из отрицательных чисел не извлекается).
-А что, если я докажу вам сегодня на уроке, что не так уж этот корень и нереален? А помогут мне в этом числа, с которыми мы познакомились на предыдущем занятии — комплексные числа!
Верно, что во множестве действительных чисел корней из отрицательных чисел быть не может. Об этом нам всем говорили в школе. НО, введение понятия «комплексное число» продвинуло вперед современную математику, а с ней и другие естественные науки.
Так вот, в множестве комплексных чисел корень из -1 извлекается и очень хорошо! Вспомним знакомую нам формулу . Корень из -1= i,
Исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
.
Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
.
Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению
, или
,
.
Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями .
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, ,
,
,
Решим квадратное уравнение .
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Найти корни квадратного уравнения
Решение : на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ) , однако, в этом нет особой надобности.
Для удобства выпишем коэффициенты:
Не теряем «минус» у свободного члена. Уравнение в стандартном виде :
Вычислим дискриминант:
А вот и главное препятствие:
Применение общей формулы извлечения корня осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами) . Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:
Возведём обе части в квадрат:
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:
Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение) . Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:
Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:
Не помешает промежуточная проверка:
что и требовалось проверить.
В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:
Находим корни, не забывая, кстати, что :
Ответ :
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :
1) Подставим :
верное равенство.
:
верное равенство.
Таким образом, решение найдено правильно.
4. Закрепление нового материала
3.
Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
6. Домашнее задание
Составить конспект на тему «Тригонометрическая форма записи комплексного числа»;
http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/
http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-matematike-na-temu-reshenie-kvadratnih-uravneniy-s-pomoschyu-kompleksnih-chisel-kurs-professiya-master-po-lesn-3181119.html