Понятие квадратного уравнения 8 класс презентация макарычев

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Материал содержит презентацию к уроку, конспект и раздаточный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Выполнила : учитель математики и информатики МОУ СОШ №27

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

Тема урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

— познакомиться с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение;

— научиться решать неполные квадратные уравнения.

— развитие мышления, анализа, синтеза, выделение общего.

— становление трудовых качеств, развитие интереса к предмету.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: проектор, экран, программное обеспечение, наглядный материал (презентация), раздаточный материал (карточки, таблица с методами решения неполных квадратных уравнений).

1. Организационный момент.

Ребята! Квадратное уравнение – это фундамент, на котором построено огромное здание алгебры. Квадратные уравнения применяются начиная с 8-го класса и до окончания вуза. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

2. Изучение нового материала.

1. Историческая справка.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Именно в XVI – XVII вв. происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.

2. Задача, приводящая к квадратному уравнению.

Прежде, чем приступить к теме урока, я хочу предложить вам одну задачу. Эта задача пришла к нам из Древней Индии XII века и носит название задача Бхаскары.

На две партии разбившись,

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

С криком радостным часть восьмая

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько ты скажи мне,

Обезьян там в роще было?

Пусть х – количество обезьян в роще.

Составим и решим уравнение:

1/64х² + 1/8х – х = 0,

3. Определение квадратного уравнения.

Получили уравнение, которое нам ещё не знакомо и узнать пока сколько же было обезьян не сможем. Но к концу урока, вы сами мне уже сможете ответить на вопрос задачи. Так что же уравнение мы получили?

Такое уравнение называется квадратным.

Т. е. уравнение вида:

ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0),

где х – переменная,

a – первый коэффициент,

b – второй коэффициент,

c – свободный член.

Как вы думаете, почему уравнение такого вида называются квадратными?

Индивидуальная работа по карточкам №1.

№1. Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях:

4. Определение неполного квадратного уравнения.

Давайте попробуем определить коэффициенты в задаче Бхаскары.

х² — 56х = 0, a = 1, b = -56, c = 0.

Скажите, пожалуйста, чего не хватает в данном уравнении?

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0), хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов:

(в каждом из примеров обсуждать вопрос о количестве корней).

5х² — 125 = 0, 4х² + 64 = 0,

5х² = 125, 4х² = — 64,

х = ±5. корней нет.

Ответ: ±5. Ответ: корней нет.

2) тип ax² + bx = 0 (b ≠ 0)

Х = 0 или 4х + 9 = 0,

А теперь решение неполных квадратных уравнений сведём в таблицу, которую я каждому из вас раздам.

x = 0 или ax + b = 0

x = 0 или x = — b/a

Посмотрите на таблицу и ответьте на вопрос:

Какое количество корней может иметь квадратное уравнение?

Групповая работа по карточкам №2.

Делимся на две команды, каждой команде даётся по карточке с заданиями и координатная полуплоскость. Одна из двух координат дана, необходимо решить квадратное уравнение и записать второй координатой корень уравнения.

№2. Отметить в координатных полуплоскостях точки, которые являются решениями неполных квадратных уравнений.

В результате у вас должна получиться звезда.

Парная работа по карточкам № 3.

Ребята, предлагаю вам следующую игру. Каждому ряду я раздам задания. Первая парта в паре решает первое задание, передаёт карточку второй парте, вторая парта 2 – ое задание решает и передаёт 3 — ей и т. д. Какой ряд быстрее и правильнее решит, тот выиграл.

№3. «Цепочка». Решите уравнения.

1 ряд. 2 ряд. 3 ряд.

1. 9x² — 1 = 0 1. 16х² — 9 = 0 1. 25х² — 4 = 0
2. 1 + 4y² = 0 2. 5у² +2 = 0 2. 3у² + 1 = 0
3. 4x² — 3x = 0 3. – 2х² + 5х = 0 3. 6х² — 4х = 0
4. -5x² + 7x = 0 4. 4х² — 9х = 0 4. -3х² + 9х = 0
5. – 8x² = 0 5. 10х² = 0 5. 23х² = 0

Сверяют свои ответы с ответами, которые выданы на экране.

Вернёмся к задаче, рассмотренной в начале урока, и попробуем ответить на поставленный вопрос.

х = 0 или х – 56 = 0,

Ответ 56 обезьян.

1. С какими новыми уравнениями мы познакомились?

2. Какой вид имеют квадратные уравнения?

3. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

Домашнее задание : придумать к каждому виду неполного квадратного уравнения примеры, а на следующем уроке мы их с вами будем решать.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема урока: «Определение квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения.»

Цели урока: 1. Познакомиться с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение. 2. Научиться решать неполные квадратные уравнения. 3. Продолжать развивать интерес к математике.

Из истории возникновения квадратных уравнений . Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV — XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, который признавал только положительные корни. Итальянские математики Тартал ь я, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Именно в XVI – XVII вв. происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.

З адача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. С криком радостным часть восьмая Воздух свежий оглашали. В месте сколько ты скажи мне, Обезьян там в роще было? Решение задачи. Пусть х – количество обезьян в роще. 1 партия ( х) ² 2 партия х 1 8 1 8 Составим и решим уравнение: ( х) ² + х = х, х ² + х – х = 0, | * 64 х ² + 8х – 64х = 0, х ² — 56х = 0. 1 8 1 8 1 64 1 8

Квадратным уравнение называется уравнение вида: ax² + bx + c = 0 (а ≠ 0), где х – переменная, a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член. Как вы думаете , почему уравнение такого вида называется квадратным?

Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях: Например: 3х² + 2х + 7 = 0 , а = 3, b=2 c = 7. 5х² + х – 2 = 0 a = 5, b = 1, c = -2 х² + 2х + 3 = 0 a = 1, b = 2, c = 3 х² + 1 – 3х = 0 a = -1, b = -3, c = 1 -7х +2х² + 2 = 0 a = 2, b = -7, c = 2 -6х — 2х² — 5 = 0 a = -2, b = -6, c = -5 МОЛОДЦЫ!

Определение неполного квадратного уравнения Вернёмся к задаче Бхаскары. Определим коэффициенты в уравнении: х² — 56х = 0 a = 1, b = -56, c = 0 Если в квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0 (а ≠ 0), хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов: ax² + c = 0 (c ≠ 0) Рассмотрим пример: 5х ² — 125 = 0, 4х ² + 64 = 0, 5х ² = 125, 4х ² = — 64, х ² = 25, х ² = — 64, х = ± 5. корней нет. Ответ: ± 5. Ответ: корней нет. ax² + bx = 0 (b ≠ 0) Рассмотрим пример: 4х ² + 9х = 0, х(4х + 9) = 0, Х = 0 или 4х + 9 = 0, 4х = -9, х = -2, 2 5, Ответ: -2, 2 5; 0. 3. ax² = 0 Рассмотрим пример: 5х ² = 0, х = 0. Ответ: 0.

Таблица решения неполных квадратных уравнений. Уравнение Решение Корень ax² + c = 0, (c ≠ 0) x² = — c/а если — c/а > 0, то x = ±√-c/a если — c/а Карточка №1. Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях:

Тема урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель урока: организация деятельности учащихся по изучению и закреплению понятий квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения и овладение умениями записывать квадратное уравнение в общем виде, определять его коэффициенты.

— сформировать понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения;

— отработать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, приводить уравнения к квадратному, определять его коэффициенты;

— ориентироваться в разнообразие способов решения неполных квадратных уравнений.

— развивать интерес к предмету через знакомство с историей квадратных уравнений;

— развивать умение концентрироваться, память, внимание, логическое мышление, воображение, умение сопоставлять, делать выводы, умение переносить знания в новые ситуации;

— развивать умение слушать, работать, самостоятельность, развивать математическую речь.

— формировать культуру общения и коммуникативных умений учащихся при работе учащихся самостоятельно, в паре, в группе;

— воспитывать познавательный интерес к предмету;

— продолжить повышать активность и самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор и экран или интерактивная доска; презентация к уроку; учебник алгебры 8 класса (авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.); раздаточный материал с заданиями для работы в классе и для работы дома.

Тип урока: урок изучения нового материала.

— элементы исследовательской деятельности;

— элементы обучения в сотрудничестве (командная, групповая работа, работа в парах),

— работа в группах (в ходе открытия новых знаний);

— фронтальная работа (в ходе устной работы);

— индивидуальная работа (в ходе закрепления изученного материала и самооценки);

— работа в парах (при проведении мини-исследования).

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Актуализация знаний учащихся.

4. Сообщение темы урока. Целеполагание.

5. Изучение нового материала.

6. Первичное закрепление изученного материала.

8. Выполнение самостоятельной работы. Математический диктант.

10. Историческая справка.

11. Домашнее задание.

12. Подведение итогов урока. Рефлексия.

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Учебник для 8 класса “Алгебра” под ред. Теляковского С.А.

2. Г.И.Глейзер «История математики в школе» (для учащихся 7-8 классов). Пособие для учителей. — М. Просвещение, 1982.

Конспект + презентация к уроку алгебры на тему «Квадратные уравнения»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Квадратные уравнения.docx

Конспект урока по алгебре для 8 класса (учебник Ю.Н.Макарычев) по теме «Квадратные уравнения».

Тема : «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; сформулировать определение квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.

Актуализация знаний учащихся.

Изучение нового материала: I . Уравнения.

II . Квадратные уравнения.

III . Неполные квадратные уравнения.

IV . Способы решения неполных квадратных уравнений.

Закрепление изученного: решение неполных квадратных уравнений (на понимание).

Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание № 515(а;в;д);517 — 518 (а;в;д).

Пофрагментное распределение содержания учебного текста

Виды уравнений (линейные и нелинейные)

Определение квадратного уравнения.

Коэффициент квадратного уравнения.

Виды квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений.

УРАВНЕНИЕ – равенство, содержащее неизвестные величины.
ЛИНЕЙНЫМ уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=в, где х – переменная, а и в – числа.
КВАДРАТНОЕ уравнение – уравнение вида ах 2 + вх +с = 0, где а, в, с – заданные числа, причем а=0, х–переменная.
КОЭФФИЦИЕНТЫ квадратного уравнения:
а – первый (старший коэффициент)
в – второй коэффициент
с – свободный член.
НЕПОЛНОЕ квадратное уравнение – квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.
ПОЛНОЕквадратное уравнение – квадратное уравнение, у которого все три коэффициента отличны от нуля.

ОРГ. МОМЕНТ. Сегодня на уроке мы будем работать с текстом, который лежит у вас на столах. Словарь терминов вы подготовили дома, можете его использовать.

Актуализация знаний учащихся:
I .Учитель: решение многих задач в математике сводится к решению уравнений. С уравнениями вы знакомы еще с начальной школы. Чтобы вспомнить об уравнениях и их видах я предлагаю прочитать текст I ., который лежит у вас на партах. И устно ответить на вопросы 1.1.

1. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

2. Виды уравнений: линейные и нелинейные(заполнение таблице на доске).

4. Степень линейного уравнения – первая.

3. Изучение нового:

II . Учитель: Нелинейные равнения в зависимости от степени уравнения бывают квадратные и неквадратные (заполнение таблицы). Тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения». Откройте свои тетради, запишите число, тему урока и перечертите таблицу в тетрадь.

Учитель: А теперь читаем текст под римской цифрой II и отвечаем на вопросы II . 1-5. Ответы на вопросы вы можете обсудить в парах; задания 2,3,5 выполняем по вариантам в тетрадях.

Определение квадратного уравнения.

1 Вариант 3,7х 2 -5х + 1 = 0; 2 Вариант 5х 2 — 14х + 17 = 0;

7х 2 – 13 = 0; -7х 2 – 13х + 8 = 0;

5х 2 – 9х + 4 = 0; х 2 – х = 0;

-х 2 — 8х +1 = 0. Х 2 +25х = 0

3. Назовите коэффициенты квадратных уравнений.

1 Вариант х 2 – 4х – 9 = 0 2 Вариант х 2 – 3х – 4 = 0
4. Обоснуйте ответ.

5. Вторая, т.к. левая часть есть многочлен второй степени.
6. 1 Вариант 2х 2 +3х +4 = 0 2 Вариант 3х 2 – 4х + 6 = 0

— х 2 – 5х = 0 -х 2 + 9 = 0

Назовите недостающие коэффициенты во 2) и 3) примерах.
III . Учитель:
Читаем III часть текста и отвечаем на вопросы III / 1-4 /

ОПРОС:Ученик.
1. В зависимости от полноты квадратные уравнения бывают полные и неполные (заполнение таблицы).
2. Определение неполных квадратных уравнений.
3. Виды неполных квадратных уравнений.
4. Примеры.

IV . Учитель:
А теперь рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов; читаем IV часть текста и отвечаем на вопросы IV . 1-2. Работа в парах.
Запись в тетрадях:
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ах 2 + с =0 ах 2 + вх = 0 ах 2 = 0
Ах 2 = -с х(ах + в) = 0 х 2 = 0
Х 2 = -с : а, -с : а≥0 х = 0 или ах + в = 0 х = 0
Х = √ -с/а ах = -в
Х = -√ -с/а х = -в : а
Ответ: √ -с/а; -√ -с/а Ответ: 0; -в : а Ответ: 0

Назовите количество корней.
Запись на доске (проверка!)

4. Учитель:
А теперь работа по вариантам IV . 3.
Проверить у тех, кто решил быстрее, остальные сверяют решение, которое уже записано на доске. Итоги самостоятельной работы.

1 вариант 2 вариант
1) х = +- 1.5 1) х = +- 7/5
2) х = 0; х = 4/3 2) 0; 0,6
3) а = 0 3) 0

Выставление оценок. Домашнее задание № 515(а; в; д); 517 — 518 (а; в; д).

I . УРАВНЕНИЕ.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначающее буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение ах = в , где а и в – заданные числа, х — неизвестное. Это уравнение называют линейным.

II . КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению уравнений вида 2х 2 + х – 1 = 0, 8х 2 – 7х = 0, х 2 – 25 = 0, 2х 2 = 0. Каждое из этих уравнений имеет вид ах 2 + вх + с = 0, где х- переменная, а,в,с – числа. В первом уравнении а=2, в=1, с=-1, во втором а=8, в=-7, с=0, в третьем а=1, в=0, с=25, в четвертом уравнении а=2, в=0, с=0. Такие уравнения называют квадратными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а,в, с – некоторые числа, причем а=0.
Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, в- вторым коэффициентом и с- свободным членом.
При решении многих задач получается уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х 2 + 3х = х 2 + 2х + 2 после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х 2 + х – 2 = 0.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

III. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х 2 + 7 = 0, 3х 2 – 10х = 0 и -4х 2 = 0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них в = 0, во втором с = 0, в третьем в=0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
ах 2 + с = 0, где в = 0
ах 2 + вх = 0, где с = 0
ах 2 =0, где в и с = 0.

IV . РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
ПРИМЕР1. Решим уравнение -2х 2 + 15 = 0,
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:
-3х 2 = -15
х 2 =5
х = 5 или х = -5
Ответ: 5, -5.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение 4х 2 + 16 = 0
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:
4х 2 = -16
х 2 = -4
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х 2 + 16 = 0
Ответ: корней нет.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х 2 + 9х = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители: х( 4х + 9 ) = 0.
Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.
решим уравнение 4х + 9 = 0
4х = -9
х = -2
Ответ: 0, -2

ПРИМЕР 4. Решим уравнение 2х 2 = 0
х 2 = 0
х = 0
Ответ: 0.