Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Квадратные уравнения. Основные понятияЭтот видеоурок доступен по абонементуУ вас уже есть абонемент? Войти На занятии будет введено понятие квадратного уравнения, рассмотрены его два вида: полное и неполное. Отдельное внимание на уроке будет уделено разновидностям неполных квадратных уравнений, во второй половине занятия будет рассмотрено множество примеров. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. |
Вложение | Размер |
---|---|
konspekt_uroka.doc | 82.5 КБ |
prezentatsiya_k_uroku.ppt | 447.5 КБ |
dopolnitelnyy_material.doc | 51.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».
Выполнила : учитель математики и информатики МОУ СОШ №27
Сухие строки уравнений –
В них сила разума влилась.
В них объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.
Тема урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».
— познакомиться с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение;
— научиться решать неполные квадратные уравнения.
— развитие мышления, анализа, синтеза, выделение общего.
— становление трудовых качеств, развитие интереса к предмету.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: проектор, экран, программное обеспечение, наглядный материал (презентация), раздаточный материал (карточки, таблица с методами решения неполных квадратных уравнений).
1. Организационный момент.
Ребята! Квадратное уравнение – это фундамент, на котором построено огромное здание алгебры. Квадратные уравнения применяются начиная с 8-го класса и до окончания вуза. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.
2. Изучение нового материала.
1. Историческая справка.
Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Именно в XVI – XVII вв. происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.
2. Задача, приводящая к квадратному уравнению.
Прежде, чем приступить к теме урока, я хочу предложить вам одну задачу. Эта задача пришла к нам из Древней Индии XII века и носит название задача Бхаскары.
На две партии разбившись,
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
С криком радостным часть восьмая
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько ты скажи мне,
Обезьян там в роще было?
Пусть х – количество обезьян в роще.
Составим и решим уравнение:
1/64х² + 1/8х – х = 0,
3. Определение квадратного уравнения.
Получили уравнение, которое нам ещё не знакомо и узнать пока сколько же было обезьян не сможем. Но к концу урока, вы сами мне уже сможете ответить на вопрос задачи. Так что же уравнение мы получили?
Такое уравнение называется квадратным.
Т. е. уравнение вида:
ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0),
где х – переменная,
a – первый коэффициент,
b – второй коэффициент,
c – свободный член.
Как вы думаете, почему уравнение такого вида называются квадратными?
Индивидуальная работа по карточкам №1.
№1. Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях:
4. Определение неполного квадратного уравнения.
Давайте попробуем определить коэффициенты в задаче Бхаскары.
х² — 56х = 0, a = 1, b = -56, c = 0.
Скажите, пожалуйста, чего не хватает в данном уравнении?
Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0, (а ≠ 0), хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением .
Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов:
(в каждом из примеров обсуждать вопрос о количестве корней).
5х² — 125 = 0, 4х² + 64 = 0,
5х² = 125, 4х² = — 64,
х = ±5. корней нет.
Ответ: ±5. Ответ: корней нет.
2) тип ax² + bx = 0 (b ≠ 0)
Х = 0 или 4х + 9 = 0,
А теперь решение неполных квадратных уравнений сведём в таблицу, которую я каждому из вас раздам.
x = 0 или ax + b = 0
x = 0 или x = — b/a
Посмотрите на таблицу и ответьте на вопрос:
Какое количество корней может иметь квадратное уравнение?
Групповая работа по карточкам №2.
Делимся на две команды, каждой команде даётся по карточке с заданиями и координатная полуплоскость. Одна из двух координат дана, необходимо решить квадратное уравнение и записать второй координатой корень уравнения.
№2. Отметить в координатных полуплоскостях точки, которые являются решениями неполных квадратных уравнений.
В результате у вас должна получиться звезда.
Парная работа по карточкам № 3.
Ребята, предлагаю вам следующую игру. Каждому ряду я раздам задания. Первая парта в паре решает первое задание, передаёт карточку второй парте, вторая парта 2 – ое задание решает и передаёт 3 — ей и т. д. Какой ряд быстрее и правильнее решит, тот выиграл.
№3. «Цепочка». Решите уравнения.
1 ряд. 2 ряд. 3 ряд.
- 9x² — 1 = 0 1. 16х² — 9 = 0 1. 25х² — 4 = 0
- 1 + 4y² = 0 2. 5у² +2 = 0 2. 3у² + 1 = 0
- 4x² — 3x = 0 3. – 2х² + 5х = 0 3. 6х² — 4х = 0
- -5x² + 7x = 0 4. 4х² — 9х = 0 4. -3х² + 9х = 0
- – 8x² = 0 5. 10х² = 0 5. 23х² = 0
Сверяют свои ответы с ответами, которые выданы на экране.
Вернёмся к задаче, рассмотренной в начале урока, и попробуем ответить на поставленный вопрос.
х = 0 или х – 56 = 0,
Ответ 56 обезьян.
1. С какими новыми уравнениями мы познакомились?
2. Какой вид имеют квадратные уравнения?
3. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?
Домашнее задание : придумать к каждому виду неполного квадратного уравнения примеры, а на следующем уроке мы их с вами будем решать.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Тема урока: «Определение квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения.»
Цели урока: 1. Познакомиться с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение. 2. Научиться решать неполные квадратные уравнения. 3. Продолжать развивать интерес к математике.
Из истории возникновения квадратных уравнений . Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV — XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, который признавал только положительные корни. Итальянские математики Тартал ь я, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Именно в XVI – XVII вв. происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.
З адача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. С криком радостным часть восьмая Воздух свежий оглашали. В месте сколько ты скажи мне, Обезьян там в роще было? Решение задачи. Пусть х – количество обезьян в роще. 1 партия ( х) ² 2 партия х 1 8 1 8 Составим и решим уравнение: ( х) ² + х = х, х ² + х – х = 0, | * 64 х ² + 8х – 64х = 0, х ² — 56х = 0. 1 8 1 8 1 64 1 8
Квадратным уравнение называется уравнение вида: ax² + bx + c = 0 (а ≠ 0), где х – переменная, a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член. Как вы думаете , почему уравнение такого вида называется квадратным?
Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях: Например: 3х² + 2х + 7 = 0 , а = 3, b=2 c = 7. 5х² + х – 2 = 0 a = 5, b = 1, c = -2 х² + 2х + 3 = 0 a = 1, b = 2, c = 3 х² + 1 – 3х = 0 a = -1, b = -3, c = 1 -7х +2х² + 2 = 0 a = 2, b = -7, c = 2 -6х — 2х² — 5 = 0 a = -2, b = -6, c = -5 МОЛОДЦЫ!
Определение неполного квадратного уравнения Вернёмся к задаче Бхаскары. Определим коэффициенты в уравнении: х² — 56х = 0 a = 1, b = -56, c = 0 Если в квадратном уравнении ax ² + bx + c = 0 (а ≠ 0), хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением .
Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов: ax² + c = 0 (c ≠ 0) Рассмотрим пример: 5х ² — 125 = 0, 4х ² + 64 = 0, 5х ² = 125, 4х ² = — 64, х ² = 25, х ² = — 64, х = ± 5. корней нет. Ответ: ± 5. Ответ: корней нет. ax² + bx = 0 (b ≠ 0) Рассмотрим пример: 4х ² + 9х = 0, х(4х + 9) = 0, Х = 0 или 4х + 9 = 0, 4х = -9, х = -2, 2 5, Ответ: -2, 2 5; 0. 3. ax² = 0 Рассмотрим пример: 5х ² = 0, х = 0. Ответ: 0.
Таблица решения неполных квадратных уравнений. Уравнение Решение Корень ax² + c = 0, (c ≠ 0) x² = — c/а если — c/а > 0, то x = ±√-c/a если — c/а Карточка №1. Определите коэффициенты и свободные члены в уравнениях:
http://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/kvadratnye-uravneniya-osnovnye-ponyatiya
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2015/07/02/opredelenie-kvadratnogo-uravneniya-nepolnye-kvadratnye-uravneniya