Понятие о численных методах. Математическая модель
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
по курсу «Численные методы решения задач»
для специальности 1-70 02 01 «ПГС»
1. Понятие о численных методах. Математическая модель. 1
2. Погрешности и их оценка. Сходимость численных методов. 1
3. Матрицы, их виды. Детерминант матрицы и его вычисление. 3
4. Системы линейных алгебраических уравнений и их решение в матричной форме. 5
5. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. 15
6. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 17
7. Общая система уравнений равновесия стержневых систем и её применение к расчету статически определимых ферм. 18
8. Общая система уравнений равновесия стержневых систем и её применение к расчету статически определимых балок. 19
9. Общая система уравнений равновесия стержневых систем и её применение к расчету статически определимых рам. 21
10. Матрицы влияния и их использование в расчетах ферм. 24
11. Матрицы влияния и их использование в расчетах балок. 25
12. Нелинейные зависимости. Расчет трехшарнирных арок. 28
13. Понятие об аппроксимации функций. Виды аппроксимации. Интерполирование. Приближение и его оценка. 32
14. Линейная, квадратичная и другие виды интерполяции. 33
15. Метод Ритца для решения задачи устойчивости стержня. 35
16. Численное интегрирование. Основные понятия и виды. 38
17. Численное интегрирование функций одной переменной. 39
18. Численное интегрирование произведения двух линейных функций. 40
19. Формула Симпсона. 41
20. Определение перемещений в арочных системах. 43
21. Матричная форма определения перемещений в рамно-блочных системах. 44
22. Матрицы упругой податливости при определении перемещений в матричной форме. 51
23. Возможные упрощения при использовании матричной формы определения перемещени. 52
24. Нелинейные уравнения и методы их решения. 53
25. . Нелинейные уравнения. Метод деления отрезка пополам. 55
26. Алгоритм решения нелинейных уравнений. 57
27. Нелинейные уравнения. Метод хорд. 58
28. Численное дифференцирование. Виды конечных разностей. Первая и вторая производная в конечных разностях. 59
Численное дифференцирование. Третья и четвертая производная в конечных разностях. 60
29. Метод конечных разностей. 61
30. Граничные условия в конечных разностях. 64
31. Расчет методом конечных разностей двухопорной балки. 66
32. Вариационно-разностный метод в расчетах балок. 67
Понятие о численных методах. Математическая модель.
Численные методы – это методы приближенного решения математических
задач, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа
более простых алгебраических и арифметических действий, выполняемых как вручную, так и с помощью компьютерной техники.
Здесь будем рассматривать применение численных методов к задачам расчета сооружений, которые изучаются в строительной механике. Задачи расчета сооружений (а точнее, расчетных схем сооружений) сводятся к математическим моделям, описывающим выбранный метод расчета этих сооружений.
Математическая модель – это запись основных зависимостей и законов, управляющих сооружением, в форме того или иного вида уравнений.
Численные методы, по другому, – это интерпретация математической
модели работы сооружений, которая доступна для реализации вручную и на компьютере.
Простейшим примером применения численного подхода в решении математической задачи является разложение функции в ряд.
Например, функцию можно вычислить, разложив ее в ряд Тейлора
или .
Естественно мы не можем взять для вычисления бесконечное число слагаемых, а будем брать их конечное число. В связи с этим точно вычислить мы не сможем, и будет иметь место погрешность вычислений. Чем больше слагаемых мы возьмем, тем больше будет точность вычислений и тем меньше будет погрешность расчета. Рассматриваемая погрешность является погрешностью численного метода.
Численные методы решения в алгебре и геометрии
Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, включающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов и т.д.. При решении очень многих практических задач математическая модель выражается уравнением. В школьном курсе математики мы рассматривали линейные, квадратные уравнения, уравнения третьей и четвертой степени, при решении этих уравнений получали целые, дробные и рациональные решения.
При подготовке к итоговой аттестации в одном из сборников мне встретилось уравнение х 3 +2х -7=0, которое я не смогла решить, применяя способы рассматриваемые в школьной программе. Преподователь сказал, что такое уравнение имеет приближенные корни.
А как решить уравнение, если корни его выражаются приближенными числами? На этот вопрос мне удалось найти ответ, только после изучения темы «Производная».
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
исследовательская работа по алгебре и теории чисел | 362 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное образовательное учериждение
Кировская средняя общеобразовательная школа
Исследовательская работа по математике
«Численные методы решения
в алгебре и геометрии.»
Выполнила: ученица 11 класса
МОУ Кировская СОШ
Руководитель: учитель математики
МОУ Кировская СОШ
п. Средний Маныч
I. Историческая справка.
II. Численные методы решения уравнений.
1. Традиционный способ определения корней уравнения.
3. Метод косательной (метод Ньютона).
4. Комбинированный метод хорд и касательных.
5. Метод (метод последовательных приближений).
6. Метод проб (метод половинного деления).
III. Решение задач.
IV. Численные методы в геометрии.
Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, включающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов и т.д.. При решении очень многих практических задач математическая модель выражается уравнением. В школьном курсе математики мы рассматривали линейные, квадратные уравнения, уравнения третьей и четвертой степени, при решении этих уравнений получали целые, дробные и рациональные решения.
При подготовке к итоговой аттестации в одном из сборников мне встретилось уравнение х 3 +2х -7=0, которое я не смогла решить, применяя способы рассматриваемые в школьной программе. Преподователь сказал, что такое уравнение имеет приближенные корни.
А как решить уравнение, если корни его выражаются приближенными числами? На этот вопрос мне удалось найти ответ, только после изучения темы «Производная».
Цель работы: научиться находить приблизительные корни уравнений n-ной степени и трансцендентных уравнений.
При решении уравнений f(x) = 0 вначале графически находим интервал изоляции, в котором находится корень уравнения. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой степенью точности посредством аналитических методов. В работе рассматривается метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), метод итераций(метод последовательных приближений) и метод проб (половиного деления).
С помощью описанных методов можно решать задачи практического содержания в различных отраслях народного хозяйства: бухгалтерии, ветеринарии, медицине, промышленности и т.д. – там, где поставленна любая математическая модель задач, сводящаяся к алгебраическим уравнениям.
I. Историческая справка.
Представьте, что в очень легком – практически невесомом – кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положить кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесить его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется – столько же их и в кошельке.
Испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае: пусть на левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелек с неизвестным числом монет и еще 5 монет рядом с ним, а на правой чаше – 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш – равновесие при этом не нарушится. Следовательно, внутри кошелька 10 монет.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. », – поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущуства. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученные владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого тракта – «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Большой вклад в теорию о решении уравнений внес итальянский ученный Леонардо Пизанский.
Среди современников ему не было равных. И в последующие три столетия нельзя назвать ни одного ученного такого масштаба. Творчество Леонардо Пизанского (1180 – 1240) оказало решающее влияние на развитие алгебры и теории чисел, в частности на исследования таких математиков, как Франсуа Виет и Пьер Ферма.
При дворе Фридриха II устраивались научные диспуты. На одном из них придворный философ магистр Иоганн Палермский предложил Леонардо пизанскому два вопроса, которые в современных обозначениях выглядят так:
1) найти корень уравнения
х 3 + 2х 2 + 10х = 20;
2) найти рациональные решения системы уравнений
х 2 +5= и 2 ,
Леонардо провел тщательные исследования обеих хадач и написал две книги – «Цветок» и «Книга квадратов» (или «Книга о квадратных числах») 1225.), посвященные их решению. Хотя обе работы изданы типографическим способом только в 1862 г., математикам средневековой Европы они были хорошо известны.
В первой книге Леонардо установил, что корень уравнения (1) не является ни целым числом, ни дробью. Он также не может иметь вид n, n + m или n – m. Наконец, Леонардо вычислил его с точностью до шестого шестидесятеричного знака:
х = 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40
(здесь точка с запятой отделяют целую часть от дробной, а запятые – шестидесятиричные разряды). Каким способом было полученно это значение, до сих пор остается неизвестным.
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то решение урувненийпри n > 3 появились немного в конце XV века. А вот применение численных методов при нахождении корней уравнений впервые встречаются в работах Исаака Ньютона.
II. Численные методы решения алгебраических уравнений
Пусть требуется решить алгебраическое уравнение
Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения (1.1).
Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение, т.е. f ‘(х) есть многочлен, первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнения выше четвертой таких формул, вообще говоря, нет.
Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять приближенный метод решения уравнения.
i. 1 .Графический метод, отделение корней
Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения (1.1) предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.
Будем предполагать, что функция f(х) в промежутке [а; b ] непрерывна со своими производными f'(х) и f «(х), значения f (а) и f (b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. f(а) •f(b) /»(х) сохраняют знак во всем промежутке [а’,b].
Действительные корни уравнения (1.1) являются абсциссами точек пересечения кривой у =f(х) с осью Ох, а если это уравнение преобразуется к виду f 1 (х) = f 2 (х), то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых у f,(х) и у = f г (х) (см. рис.).
Реферат: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Название: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 07:31:10 24 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 3515 Комментариев: 13 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k | х1(k) | х2(k) | х3(k) |
0 | 1.0 | 2.0 | 2.0 |
1 | 1.75 | 3.375 | 3.0 |
2 | 1.84375 | 3.875 | 3.025 |
3 | 1.9625 | 3.925 | 2.9625 |
4 | 1.990625 | 3.9765625 | 3.0 |
5 | 1.99414063 | 3.9953125 | 3.0009375 |
… | … | … | … |
15 | 1.99999993 | 3.99999985 | 3.0009375 |
… | … | … | … |
19 | 2.0 | 4.0 | 3.0 |
Этот процесс называется итерацией Якоби и может использоваться для решения определенных типов линейных систем [19].
1.5 Итерация Гаусса-Зейделя
Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости.
Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности – <х1 (k) >, <х2 (k) >, <х3 (k) >, <х4 (k) >. Кажется разумным, что х1 (k+1) может быть использовано вместо х2 (k ). Аналогично х1 (k+1) и х2 (k+1) можно использовать в вычислении х3 (k+1) . Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*):
Такой итерационный процесс даст результаты:
k | х1 (k) | х2 (k) | х3 (k) |
0 | 1.0 | 2.0 | 2.0 |
1 | 1.75 | 3.75 | 2.95 |
2 | 1.95 | 3.96875 | 2.98625 |
3 | 1.995625 | 3.99609375 | 2.99903125 |
… | … | … | … |
8 | 1.99999983 | 3.99999988 | 2.99999996 |
9 | 1.99999998 | 3.99999999 | 3.0 |
10 | 2.0 | 4.0 | 3.0 |
Т. е. к точному решению мы пришли уже на 10-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби [19].
1. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Для этого система приводится к виду (для случая системы из четырех уравнений):
Эти формулы как раз и задают собственно итерационный процесс.
2. При этом чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.
Это условие можно сформулировать и более точно:
Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:
3. Следует так же сказать, что итерационный процесс может проводиться как в виде итерации Якоби, так и в виде итерации Гаусса-Зейделя. В последнем случае сходимость итерационного процесса может существенно улучшиться.
Глава 2. Применение численных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений в теории и на практике
§1 ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Существуют два типа методов — прямые и итерационные. Мы рассматриваем прежде всего метод исключения Гаусса для систем общего вида и варианты — метод прогонки и методы матричной прогонки для систем специального вида (с трех-диагональной или блочно-трех диагональной матрицами). Это — прямые методы. Их эффективность зависит от порядка системы n структуры матрицы.
При изучении итерационных методов мы трактуем систему уравнений как операторное уравнение первого рода Au = f и излагаем общую теорию итерационных методов для операторных уравнений при минимальных предположениях относительно оператора А. Общая теория позволяет доказать сходимость итераций для метода Зейделя и метода верхней релаксации при минимальных ограничениях на оператор А. Рассмотрены два класса методов: 1) для случая, когда известны границы γi > О и γ2 >= γ1 спектра оператора А в некотором энергетическом пространстве HD ; 2) для случая, когда границы γ1 и γ2 неизвестны. Весьма эффективным является попеременно-треугольный метод.
Основная задача линейной алгебры — решение системы уравнений
Будем предполагать, что матрица А невырождена, так что уравнение Аи = 0 имеет только тривиальное решение, и система (1) имеет единственноерешение
В курсе линейной алгебры решение системы (1) обычно выражают по формулам Крамера в виде отношений определителей. Для численного решения системы (1) эти формулы непригодны, так как они требуют вычисления N +1 определителей, что требует большого числа действий (порядка N! арифметических операций). Даже при выборе наилучшего метода вычисление одного определителя требует примерно такого же времени, что и решение системы линейных уравнений современными численными методами. Кроме того, следует иметь в виду, что вычисления по формулам Крамера часто ведут к большим ошибкам округлений.
Особенность большинства численных методов для (1) состоит в отказе от нахождения обратной матрицы. Основное требование к методу решения — минимум числа арифметических действий, достаточных для отыскания приближенного решения с заданной точностью е>0 (экономичность численного метода).
Выбор того или иного численного метода зависит от многих обстоятельств — от имеющихся программ, от вида матрицы А, от типа расчета и др. Поясним слова «тип расчета». Возможны разные постановки задачи:
1) найти решение одной конкретной задачи (1);
2) найти решение нескольких вариантов задачи (1) с одной и той же матрицей А и разными правыми частями. Может оказаться, что неоптимальный для одной задачи метод является весьма эффективным для многовариантного расчета.
При многовариантном расчете можно уменьшить среднее число операций для одного варианта, если хранить некоторые величины, а не вычислять их заново для каждого варианта. Это, конечно, зависит от машины, от объема ее оперативной памяти.
При теоретических оценках качества алгоритмов их сравнение проводится по числу q ( e ) арифметических действий, достаточных для нахождения решения задачи с заданной точностью е > 0 [15].
Метод Гаусса. Имеется несколько вычислительных вариантов метода Гаусса, основанного на идее последовательного исключения. Процесс решения системы линейных алгебраических уравнений Ax = f (1) по методу Гаусса состоит из двух этапов.
Первый этап (прямой ход). Система (1) приводится к треугольному виду
Метод квадратного корня. Этот метод пригоден для систем
с эрмитовой (в действительном случае — симметричной) матрицей А. Матрица А разлагается в произведение
где S — верхняя треугольная, D — диагональная матрица. Решение уравнения Аu=fсводится к последовательному решению двух систем
Метод квадратного корня требует порядка N 2 /3 арифметических действий, т. е. при больших N он вдвое быстрее метода Гаусса и занимает вдвое меньше ячеек памяти. Это обстоятельство объясняется тем, что метод использует информацию о симметрии матрицы.
1. Метод итераций для решения системы линейных алгебраических уравнений .
Перейдем к общему описанию метода итераций для системы линейных алгебраических уравнений
Для ее решения выбирается некоторое начальное приближение у0 H и последовательно находятся приближенные решения (итерации) уравнения (1). Значение итерации yh +1 выражается через известные предыдущие итерации yk , yk -1 ,… Если при вычислении yh +1 используется только одна предыдущая итерация yh , то итерационный метод называют одношаговым (или двухслойным) методом; если же yk +1 выражается через две итерации yk и yk -1 , то метод называется двухшаговым (или трехслойным). Мы будем рассматривать в основном одношаговые методы. Будем считать, что А: H -> H — линейный оператор в конечномерном пространстве H со скалярным произведением (•, •).
Важную роль играет запись итерационных методов в единой (канонической) форме. Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей канонической форме:
(7), где А: Н -> Н — оператор исходного уравнения (1), В: Н -> Н — линейный оператор, имеющий обратный В -1 , k — номер итерации, τ1 τ2 , . τk +1 , . — итерационные параметры, τk +1 > 0. Оператор В может, вообще говоря, зависеть от номера k — для Для простоты изложения мы предполагаем всюду, что В не зависит от k .
Если В = Е — единичный оператор, то метод(8) называют явным: yh +1 находится по явной формуле
В общем случае, при В≠ Е, метод (7) называют неявным итерационным методом: для определения yh +1 надо решить уравнение:
(9)
Естественно требовать, чтобы объем вычислений для решения .системы Byk +1 = Fk был меньше, чем объем вычислений для прямого решения системы Au=f
Точность итерационного метода (7) характеризуется величиной погрешности zh = ук — и, т. е. разностью между решением уравнения (7) и точным решением и исходной системы линейных алгебраических уравнений. Подстановка yk = zk + u в (2) приводит к однородному уравнению для погрешности:
§2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2.1 Общие сведения
К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы решения СЛАУ разбиваются на две группы. К первой группе принадлежат так называемые точные или прямые методы — алгоритм, позволяющий получить решение системы за конечное число арифметических действий. Вторую группу составляют приближенные методы, в частности итерационные методы решения СЛАУ.
2.2.1 Описание метода
Рассмотрим СЛАУ вида
Ax = B, где А — матрица. (1)
Если эту систему удалось привести к виду x = Cx + D, то можно построить итерационную процедуру
xk → x*, где х* — решение заданной системы.
В конечном варианте система будет имееть вид:
Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.
, или .
Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.
Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:
В результате получим систему:
В ней на главной диагонали матрицы С находятся нулевые элементы, остальные элементы выражаются по формулам:
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1 ( k ), х2 ( k ), х3 ( k ) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1 ( k -1), х2 ( k -1), х3 ( k -1).
2.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций
Решить СЛАУ методом простых итераций с точностью .
Для удобства преобразуем систему к виду:
,
Принимаем приближение на 0-ом шаге:
,
,
На 1-м шаге выполняем следующее:
Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
На 2-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 3-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 4-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 5-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
На 6-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
Необходимая точность достигнута на 6-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [14].
2.3 Метод Зейделя
2.3.1 Описание метода
В этом методе результаты, полученные на k-том шаге, используются на этом же шаге. На (k+1) — й итерации компоненты приближения вычисляются по формулам:
Этот метод применим к система уравнений в виде Ax=B при условии, что диагональный элемент матрицы коэффициентов A по модулю должен быть больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки (столбца).
Если данное условие выполнено, необходимо проследить, чтобы система была приведена к виду, удовлетворяющему решению методом простой итерации и выполнялось необходимое условие сходимости метода итераций:
, либо
2.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя
Решить СЛАУ методом Зейделя с точностью .
Эту систему можно записать в виде:
В этой системе сразу видно, что выполняется условие, где диагональные элементы матрицы коэффициентов по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки.
Для удобства преобразуем систему к виду:
,
Принимаем приближение на 0-ом шаге:
На 1-м шаге выполняем следующее:
Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 2-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
На 3-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
:
На 4-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
:
Необходимая точность достигнута на 4-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [9].
2.4 Сравнительный анализ
Можно заметить, что в методе Зейделя быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда в методе простых итераций она была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/02/09/chislennye-metody-resheniya-v-algebre-i-geometrii
http://www.bestreferat.ru/referat-238943.html