Понятие о графике уравнения 7 класс

Понятие о графике уравнения — ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ФУНКЦИИ

Цель: рассмотреть графики уравнений.

Планируемые результаты: научиться строить графики простейших уравнений.

Тип урока: урок-исследование.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

До сих пор мы рассматривали только функциональные зависимости (функции). В таких зависимостях каждому значению переменной х соответствовало только одно значение переменной у. В математике встречаются и такие зависимости между переменными х и у, при которых одному значению х может соответствовать не одно, а множество значений у. Множество точек (х; у), связанных такой зависимостью, можно изобразить на координатной плоскости. В этом случае говорят о графике уравнения.

На координатной плоскости изобразите множество таких точек (х; у), которые удовлетворяют уравнению х = 3.

Видно, что в уравнение х = 3 переменная у не входит. Поэтому любое значение у будет удовлетворять данному уравнению. Возьмем, например, точки А (3; -1) и В (3; 2). Координаты этих точек удовлетворяют уравнению, поэтому такие точки принадлежат искомому графику. Через точки А и В проведем прямую линию. Эта прямая параллельна оси ординат и является графиком уравнения х = 3.

Заметим, что раньше мы строили графики функций у = а (где а — некоторое число) и получали прямые, параллельные оси абсцисс. Поэтому построенный график аналогичен рассмотренным раньше.

Отметим, что этот график является именно графиком уравнения (а не функции), так как одному значению переменной х соответствует бесконечно много значений переменной у.

На координатной плоскости изобразите множество таких точек (х; у), которые удовлетворяют уравнению (у — 1)(у — х) = 0.

Сначала из данного уравнения найдем величину у. Если произведение двух множителей равно нулю, то либо первый множитель равен нулю, либо второй. Поэтому рассмотрим два случая:

1) у — 1 =0, отсюда у = 1. Построим эту прямую, параллельную оси абсцисс;

2) у — х = 0, отсюда у = х. Построим график этой прямой пропорциональной зависимости (биссектриса первого и третьего координатных углов).

Две пересекающиеся прямые у = 1 и у = х и являются графиками данного уравнения. Разумеется, построенный график является именно графиком уравнения, а не графиком функции. Например, как видно на рисунке, одному значению х = -1 соответствуют два различных значения у: у = -1 и у = 1.

Построим график уравнения (2х — 1)(2х + 4) = 0.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из множителей должен равняться нулю. Получаем 2х — 1 = 0 (откуда х = 1/2) и 2х + 4 = 0 (откуда х = -2). Построим две прямые х = 1/2 и х = -2, параллельные оси ординат, и получим график данного уравнения.

Построим график уравнения |у| = х.

Для этого раскроем в уравнении модуль, рассмотрев два случая. Если у ≥ 0, то уравнение имеет вид у = х. Построим прямо пропорциональную зависимость у = х и выберем такие точки на этой прямой, для которых ордината у ≥ 0 (сплошная прямая).

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Урок математики в 7-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.

1. Организационный момент

Анализ выполнения самостоятельной работы «Квадратичная функция и её график».

2. Актуализация знаний и умений учащихся

Основные определения и понятия темы вспомним, разгадывая кроссворд. (Приложение 1, слайд 2)

1. у = кх + в, у = кх, у = х 2 – всё это функции.
2. График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
3. График квадратичной функции – парабола? Как построить?
4. Точка (0,0) – для параболы – вершина.
5. Вторая координата точки – ордината.
6. В записи у = кх + вх – аргумент.
7. х + 5 = 0, х = – 5, что такое – 5? Корень.
8. Первая координата точки – абсцисса.
9. Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.

Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.

Но разве мы сейчас учимся решать уравнение? Нет, изучаем функции. Наша задача связать два математических понятия – функции и уравнения. Тема сегодняшнего урока – «Графическое решение уравнений».

3. Подготовка к восприятию нового способа действия (Приложение 1, слайд 3)

а) 9 + 13х = 35 + 26х –13х = 26 х = – 2

б) 3х – 2 = 1 3х = 3 х = 1

в) 9х 2 + 0,27х = 0 9х(х + 0,03) = 0 9х = 0 х + 0,03 = 0 х = 0 х = –0,03

г) х 2 – 25 = 0 (х – 5)(х + 5) = 0 х = 5 х = – 5 д) х 2 = х + 2?

Не подходит ни один из известных способов.
А может, попробуем угадать корни?
Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратную и линейную. Но, между ними знак равенства.
y = x 2 и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построить оба графика в одной системе координат. (Приложение 1, слайд 5)

Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х.

Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Назовем все этапы. (Приложение 1, слайд 6)

1. Уравнение разбиваем на две функции.
2. Строим графики в одной системе координат.
3. Находим точки пересечения.
4. Ответ – только х.

x 2 = –3x
y = х 2 и у = – 3х

Пауза – сказка. Инсценировка с участием двух учениц. (Приложение 1, слайд 8)
“Жили-были два графика: Парабола и Прямая. Очень они друг друга недолюбливали. Их мамами были квадратичная и линейная функции (двоюродные сестры). Парабола говорила: “Я такая изящная и гибкая! У меня две ветви! А в тебе, Прямая, нет ничего особенного”. А Прямая твердила в ответ: “Нет, я самая стройная, не то, что эта горбатая парабола!”.
В один из теплых осенних дней гуляли графики в системе координат имени Декарта. Долго они гуляли, каждая сама по себе и рассуждали вслух о том, что она самая красивая и умная. Вдруг встретились они в одной общей точке и стали ругаться. Парабола кричит: “Уходи, это моя точка!”. А Прямая в ответ: “ Ты ошиблась, парабола! Эта точка принадлежит мне”. Долго они спорили. Никто из них и не заметил, как теплый день плавно перешел в прохладный вечер. В конце концов, графики поняли, что у них есть что-то общее – ведь точка принадлежала обеим функциям и являлась их точкой пересечения. С тех пор прямая и парабола стали жить, поживать и добра наживать”.

4. Закрепление материала. Самостоятельное решение

Ответ: Нет корней

х 2 + 2х – 3 = 0. Как поступить? Ваше мнение? (Приложение 1, слайд 11)
х 2 = – 2х + 3
у = х 2
у = – 2х +3

– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)
– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?

Надо же как все просто…
Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного.

Графическое решение уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений – графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .