Понятие об уравнении на плоскости

Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.

Рассмотрим плоскость, на которой геометрическими объектами являются различные линии и требуется изучать их свойства. Для этого введем на плоскости некоторую декартову систему координат и возьмем на некоторой линии L произвольную точку M(xy). Если точку M(xy)перемещать вдоль L, то ее координаты будут меняться, но не произвольно. Между ними существует некоторая связь, которая определяется геометрическими свойствами линии L.

Определение. Cвязь y = f(x) или F(xy) = 0 называется уравнением линии L, если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Таким образом, координаты на плоскости позволяют для каждой линии выписать некоторое уравнение, которое определяется геометрическими свойствами линии, кроме того, оказывается, что каждому уравнению можно поставить в соответствие некоторую линию, и только координаты точек этой линии будут удовлетворять данному уравнению. В связи с этим возникают две задачи.
1. По геометрическим свойствам линии требуется составить ее уравнение.
2. По некоторому уравнению требуется установить геометрические свойства линии, которая этим уравнением определяется.

Эти две задачи и составляют предмет аналитической геометрии на плоскости.

Если взять трехмерное пространство, то к таким геометрическим объектам, как пространственные линии, добавляются новые геометрические объекты — поверхности в трехмерном пространстве.

Поскольку положение точки в пространстве определяется тремя координатами x, y, z, то и условие, которому удовлетворяют все точки, принадлежащие данной поверхности, аналитически выражается уравнением F(x, y, z) = 0.

Определение. Уравнение поверхности есть уравнение F(x, y, z) = 0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности, и притом только этих точек.

Пространственные линии можно рассматривать как линии пересечения некоторых поверхностей. На случай трехмерного пространства легко перефразируются указанные выше две задачи, которые и будут составлять предмет аналитической геометрии в пространстве. В дальнейшем, множество всех точек плоскости будем обозначать как двумерное пространствоR 2 , а трехмерное пространство — как пространство R 3 .

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15).

Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.

Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,
φ — полярным углом.

Прямая Ох называется полярной осью, а точка О — полюсом полярной системы координат.

Заметим, что r (как расстояние) — всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).

Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось — с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак должен быть одинаков со знаком y, а знак — со знаком х.

Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол.

2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 8 ; Нарушение авторских прав

Понятие об уравнении линии на плоскости и в пространстве. Уравнение окружности.

Уравнением линии на плоскости в декартовой системе координат называют уравнение: F(х;у)=0, которому удовлетворяют координаты (х;у) любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, которые не принадлежат ей.

Линия в пространстве задаётся в общем случае как линия пересечения некоторых поверхностей S₁ и S₂ .

называется уравнением линии в пространстве.

Окружностью называется линия, каждая точка М(х;у) на которой находится на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемойцентром окружности. Величина называется радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

,

где (a; b) — координаты её центра, — радиус окружности.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. a=0 , b=0 , то уравнение окружности примет вид:

Уравнение прямой. Различные виды уравнений прямой.

Общее уравнение прямой:

1.

, (2)

где — постоянные коэффициенты, причём и одновременно не обращаются в нуль .

Частные случаи этого уравнения:

— прямая проходит через начало координат;

— прямая параллельна оси ;

— прямая параллельна оси ;

— прямая совпадает с осью ;

— прямая совпадает с осью .

Нахождение углов между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

Уравнение прямой в пространстве: параметрические и канонические.

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такие что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0

где (x₀, y₀, z₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Уравнения плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.