Понятие потока жидкости и уравнение непрерывности

Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывности.

Как обычно, перед тем как изучать какое-то явление в деталях, вводится язык, на котором описывается это явление. Вот как раз сейчас будем этим заниматься. Давайте вспомним как изучали поступательное движение твердого тела. Мы заменили тело материальной точкой и рассматривали движение этой точки. В более сложной ситуации когда размерами тела уже нельзя пренебречь, мы рассматривали движение тела как совокупность двух одновременно происходящих движений — поступательное движение центра масс и вращение вокруг центра масс. Такой способ нам подходил потому что мы имели дело с твердым телом и любое движение точки тела мы могли рассчитать относительно его центра массы.

Сейчас мы имеем дело с совершенно другим объектом. Жидкость или газом это не твердое тело, поэтому такой подход здесь не работает. И приходится вырабатывать совершенно новые подходы. Жидкость и газ практически одно и тоже, но есть только одно существенное различие — газ можно сжать, жидкость считается несжимаемой. Значит разность между гидродинамикой и аэродинамикой состоит в том что плотность жидкости всегда одна и тоже, а плотность газа зависит от давления. Это одна наука, но аэродинамика более усложненная. Поэтому когда мы говорим слово жидкость можно с таким же успехом говорить слово газ.

Два способа описания движения жидкости или газа

Первый подход к описанию движения

Берут какую-то частицу жидкости или газа, точнее очень малый объем, настолько не большой, что его размерами можно пренебречь относительно той области в которой он движется. И рассматривают силы, действующие на эту частицу. Что это за силы? Это сила тяжести и сила давления. Зная силы действующие на частицу, с помощью 2-го закона Ньютона мы можем найти ускорение этой частицы. Зная ускорение, пользуясь аппаратом кинематики чисто математическим путем мы можем вычислить как меняется её скорость и направление. Зная как меняется скорость мы можем найти перемещение частицы в любой момент времени, т.е. мы можем знать траекторию движения частицы. Это невообразимо сложная задача, потому что таких частиц очень много, они движутся одновременно. Поэтому такой подход используется с помощью компьютерного моделирования. Именно такую задачу для огромного количества частиц решают суперкомпьютеры.

Второй подход к описанию движения

Этот подход более уместен, когда мы анализируем на теоретическом уровне движение жидкостей. Идея состоит в следующем. При первом подходе мы рассматриваем каждую частицу отдельно. При втором подходе мы рассматриваем жидкость как совокупность частиц. И в один момент времени смотрим как движутся частицы во всех точках жидкости сразу и рассматриваем систему как векторное поле скоростей.

Виды течения жидкостей и газов

Ламинарное течение — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).

Турбулентное течение — течение жидкости или газа, характеризующееся беспорядочным, нерегулярным перемещением его объёмов и их интенсивным перемешиванием, но в целом имеющее плавный, регулярный характер.

Стационарное течение — течение, в каждой точке которого, скорость жидкости не меняется во времени. Ламинарное течение может быть стационарным, турбулентное — не может.

Существует жидкое трение. При движении тела в жидкости или газе возникают силы сопротивления в виде силы жидкого трения.

Идеальная жидкость

Идеальная жидкость — жидкость в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Теперь сузим задачу. Из всех видов течения мы сосредоточимся на таком виде течения — стационарное, ламинарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Вот о чем мы будем в дальнейшем говорить. Понятно, что часть эффектов мы выбрасываем, например, то что жидкость несжимаема, то в ней не возможно существование волн, звук не может распространяться в несжимаемой жидкости, потому что звук — это волна сжатия. Но существует много явлений, которые стоит изучить в таком упрощенном варианте. Мы должны формировать язык на котором мы будем описывать поведение и свойства жидкостей и газов. Дадим некоторые определения.

Поток жидкости. Объемный расход.

Линия тока — траектория по которой движется данная частица жидкости. Скорость движения тока по отношению к траектории направлена по касательной. Линии тока не могут пересекаться, потому что в данной точке пространства скорость направлена только в одном направлении.

Трубка тока — пучок линий тока ограниченный замкнутым контуром. За пределы трубки тока жидкость вытечь не может. Например — водопроводная труба или Гольфстрим.

Поток жидкости через данное сечение (объемный расход) (Q) — физическая величина, равная отношению объема жидкости (V) протекающей через это сечение за некоторый промежуток времени (t) к длительности этого промежутка (Q = V/t).

Давайте выясним от чего зависит поток. Рассмотрим простую ситуацию. У нас есть труба с сечением площадью S. В ней движется поток со скоростью v. За время t жидкость проходит по трубе расстояние l или v*t. Объем расхода будет равный v*t*S. Подставляя значение в формулу получим Q = S*v.

Объемный расход трубы

S — площадь сечения трубы;
v — скорость потока;
R — радиус трубы;

Жидкость в трубе переменного сечения

Что можно сказать об объемах жидкости прошедших через одно и тоже время через сечение S₁ и через сечение S₂? Они одинаковы, потому что жидкость несжимаема. Значит от сюда следует, что Q₁ = Q₂. От сюда следует S₁*v₁=S₂*v₂. Или для любого сечения с перпендикулярной скоростью потока S*v=const.

Уравнение непрерывности жидкости

S — площадь сечения потока;
v — скорость потока.

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Гидродинамика. В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

,

где — плотность жидкости (или газа), — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид

,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли [1] (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли [2] [3] или интегралом Бернулли [4] [5] .

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления» [6] ).

Соотношение, близкое [7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 10 ; Нарушение авторских прав