Понятие систем m линейных уравнений с n неизвестными

Каждое уравнение системы можно записать в более компактной форме

,

где — знак суммирования, — коэффициент в — ом уравнении при неизвестной , — свободный член — ого уравнения; при этом изменяется от 1 до , а — от 1 до .

Упорядоченная совокупность чисел , которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое из уравнений системы (1) в верное числовое равенство, называется решением системы (1).

Другими словами: решением системы (1) является некоторый вектор .

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными, или эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Элементарными преобразованиями системы (1) будем называть преобразования вида:

1. Перестановка любых двух уравнений;

2. Умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля;

4. Отбрасывание уравнения, все коэффициенты которого и свободный член равны нулю.

Справедливо следующее утверждение.

Ø При элементарных преобразованиях система (1) переходит в равносильную ей систему.

Приведем пример решения системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований.

Пример 1 . Решите с помощью элементарных преобразований следующую систему линейных уравнений

.

Будем использовать для обозначения эквивалентности систем уравнений знак Û .

(первое уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму)

(третье уравнение умножим на (-1) и прибавим к первому)

(второе уравнение умножим на (-1) и прибавим к третьему)

(первое уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму, а затем умножим его же на (-2) и прибавим к третьему)

(третье уравнение умножим на (-1) и прибавим ко второму)

(второе уравнение умножим на (-1) и после этого переставим с третьим)

.

Мы привели исходную систему к виду, разрешенному относительно неизвестных, откуда .

,

.

Получили три верные числовые равенства.

Итак, искомое решение , то есть исходная система оказалась совместной и определенной.

Анализируя процесс решения системы, сделаем несколько наблюдений.

1. В каждом уравнении преобразованной системы содержится ровно одна неизвестная (а остальные исключены), но четкого плана ее получения не видно.

2. Преобразованная система содержит 3 уравнения – столько же, сколько и исходная. Технически это понятно, так как использовались только три первые из элементарных преобразований, а четвертое применять не потребовалось.

3. В процессе преобразований уравнений системы фактически изменялись только ее коэффициенты и свободные члены.

Метод последовательного исключения неизвестных принадлежит великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) и, естественно, носит его имя.

Этот метод был усовершенствован известным французским математиком Камилем Мари Эдмоном Жорданом (1838-1922) и в новом виде стал называться методом Жордана-Гаусса .

Мы рассмотрим последовательно оба метода: метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса .

В плане использования третьего наблюдения введем понятие матрицы.

Матрицей размера будем называть прямоугольную таблицу, состоящую из чисел и имеющую строк и столбцов.

Числа, входящие в матрицу, принято называть ее элементами и обозначать , где индекс означает номер строки, а индекс — номер столбца матрицы, на пересечении которых стоит данный элемент .

Сама матрица сокращенно обозначается символом или просто заглавной буквой:

.

При этом — ая строка состоит из элементов , а — ый столбец – из элементов . При матрицу будет называть квадратной порядка . Для квадратной матрицы вводится понятие главной диагонали, состоящей из элементов .

Матрица , у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной, а в случае — скалярной матрицей.

Скалярная матрица при называется единичной и обозначается или просто (когда порядок матрицы фиксирован).

Треугольной будем называть квадратную матрицу, все элементы которой ниже (или выше) главной диагонали равны нулю.

Ступенчатой матрицей назовем матрицу, в которой каждая строка, кроме первой, начинается с нулей, причем их число возрастает с ростом номера строки, но последняя строка содержит по крайней мере один ненулевой элемент.

Примерами ступенчатой матрицы могут служить матрицы

, ,

, .

Заметим, что треугольная матрица является частным случаем ступенчатой. Примером треугольной матрицы служит матрица .

Теперь мы можем установить соответствие между системами линейных уравнений и матрицами.

Для каждой системы (1) линейных уравнений с неизвестными можно составить матрицу из коэффициентов этой системы

и матрицу из коэффициентов системы и ее свободных членов :

.

Таким образом, матрица отличается от матрицы наличием еще одного ( — ого) столбца – столбца свободных членов.

Матрицу принято называть матрицей системы (1), а матрицу — расширенной матрицей системы.

С другой стороны, имея матрицу , всегда можно записать соответствующую систему линейных уравнений (1).

В полной аналогии с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений введем элементарные преобразования строк матрицы:

1. Перестановка любых двух строк;

2. Умножение любой строки на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, отличное от нуля;

4. Выбрасывание нулевой строки.

Если матрица получена из матрицы с помощью одного или нескольких (цепочки) элементарных преобразований, то такие матрицы принято называть эквивалентными и обозначать этот факт .

С помощью элементарных преобразований строк любую (ненулевую) матрицу можно привести к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Покажем это на примере.

Пример 2 . Приведите к ступенчатому виду матрицу

Матрица является целочисленной, т.е. все ее элементы целые числа. В первом столбце нет элементов ± 1 (а именно такие элементы очень удобны для элементарных преобразований, что будет видно из дальнейшего).

Можно было бы первую строку умножить на , создавая на месте элемента , но это приведет к потере целочисленности матрицы и поэтому к относительно неудобным последующим вычислениям.

Поступим иначе: умножим третью строку на и прибавим к первой, тогда

Теперь (для создания нулей в первом столбце) умножим первую строку новой матрицы на и прибавим ко второй, а после умножения ее же на прибавим к третьей строке.

Умножим третью строку полученной матрицы на и прибавим ко второй:

Умножим вторую строку на и прибавим к третьей:

Матрица — ступенчатая.

Цепочку преобразований матрицы к ступенчатой матрице можно записать следующим образом:

.

Замечание. Можно ввести понятие элементарных преобразований и для столбцов матрицы.

Понятие систем m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А -1 .

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .

Следовательно,

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .

1. При
2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Глава 7. Системы линейных уравнений

ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или кратко линейная система) имеет следующий вид:

(7.1)

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n. При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (7.1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (7.1) называется неоднородной.

Система (7.1) называется квадратной, если число m составляющих её уравнений равно числу неизвестных n. В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

(7.2)

О п р е д е л е н и е 1. Совокупность n чисел называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, очевидным образом не может удовлетворять второму.

Легко видеть, что эта система имеет единственное решение: x = 2, y = – 1.

Пара чисел x = 1, y = 0 есть решение этой системы трёх уравнений с двумя неизвестными, а пара x = – 1, y = 2 – другое решение. Эта система имеет бесконечно много других решений, так как значения x= , при любом удовлетворяют системе.

Приведенные примеры систем показывают, что, вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (как видно будет в дальнейшем, в последнем случае система всегда имеет бесконечно много решений).

О п р е д е л е н и е 2. Система (7.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не имеет ни одного решения.

Следовательно, система примера 1 несовместна, а системы примеров 2 и 3 совместны.

О п р е д е л е н и е 3. Совместная система вида (7.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных решения.

Два решения совместной системы вида и называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств .

В частности, система примера 2 является определенной, а система примера 3 – неопределенной.

Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть поставлены следующие вопросы.

1) Совместна ли заданная система или нет?

2) В случае, если система совместна, как определить, сколько решений она имеет – одно или несколько?

3) Как найти все решения системы?

Ответы на все эти вопросы и должна дать теория систем линейных уравнений.

Весьма удобно записывать линейную систему (7.1) в матричной форме. Введём следующие обозначения:

, , , (7.3)

где – матрица, составленная из коэффициентов системы, в дальнейшем будет называться матрицей системы; X – матрица-столбец неизвестных; B – матрица-столбец свободных членов.

Согласно правилу умножения двух матриц произведение AX представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т. е. один столбец следующего вида:

. (7.4)

Элементами полученной матрицы являются левые части системы (7.1), а элементами матрицы B являются правые части той же системы. На основании определения равенства двух матриц систему (7.1) можно заменить теперь одним эквивалентным ей матричным уравнением

Решение матричного уравнения (7.5) заключается в отыскании такой матрицы X, которая при заданных матрицах A и B обращает уравнение (7.5) в тождество.

Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(7.6)

Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6). Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим, чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём: умножали первое уравнение на число , второе уравнение на число , а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение (его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений) является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.

Составим определитель n-го порядка

элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).

Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от нуля.

Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при этом определитель системы равен нулю.

Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением

, (7.7)

где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов.

Так как определитель отличен от нуля, то существует обратная матрица .

Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу , будем иметь

В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и определения единичной матрицы имеем

поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец

(7.8)

Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:

Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид

или после умножения матриц

Отсюда следует, что для любого j ( j = 1, 2, …, n)

(7.9)

где – определитель матрицы, полученной из матрицы заменой её j-го столбца столбцом свободных членов:

Формулы (7.9) получили название формул Крамера.

Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением (7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).

Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При n > 3 квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.

П р и м е р. Решить систему уравнений

а) матричным способом; б) по формулам Крамера.

Р е ш е н и е. а) Обозначим

Так как определитель системы , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру п. 6.4)

По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:

Используя определение равенства двух матриц, получаем

б) Найдем определитель системы . Так как , то решение системы по формулам Крамера имеет вид

Вычисляем определители получаемые из определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Следовательно,

Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.

7.3. Элементарные преобразования матриц и систем
линейных уравнений

Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.

Пусть дана матрица

(7.10)

Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А может быть квадратной.

О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка местами двух строк;

4) аналогичные операции над столбцами.

Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование, мы получаем новую матрицу А’. Для этих двух матриц справедливо следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица получается из при помощи какого-либо элементарного преобразования, то и матрица может быть получена из также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица получается из умножением i-й строки на число . Умножая i-ю строку матрицы на число (т. е. применяя к элементарное преобразование), мы получим исходную матрицу .

Пусть получается из прибавлением к i-й строке элементов j-й строки, умноженных на число . Прибавляя к элементам i-й строки матрицы элементы её j-й строки, умноженные на , мы возвращаемся к матрице .

Наконец, если получается из перестановкой i-й и j-й строк, то, переставляя в те же i-ю и j-ю строки, мы снова получим исходную матрицу .

Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.

Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица

(7.11)

получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.

О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:

1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3) перестановка местами двух уравнений в системе.

Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.

О п р е д е л е н и е 3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом различным.

Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой. Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.

Заметим, что уравнение вида

удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.

Напротив, если в системе встретилось уравнение вида

то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет решений.

Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.

Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1) переходит в равносильную систему.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2, тогда она примет вид:

(7.12)

При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система будет иметь вид

(7.13)

Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа являются решением системы (7.12), то уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).

Значит, числа будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и обратное: всякое решение системы (7.13) является решением и системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют решения, то эти решения для обеих систем одинаковы. Ясно также, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносильны, а это и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в равносильную систему.

При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощённую систему, мы найдем тем самым и решение исходной системы. При этом упрощений можно достигать, конечно, разными способами.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том, что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Пусть задана произвольная система линейных уравнений (7.1). Будем считать, что (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное из всех уравнений системы (7.1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент ; тогда получим новую систему, равносильную данной:

(7.14)

Умножим теперь первое уравнение системы (7.14) на и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение системы (7.14) на и сложим его с третьим уравнением и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

(7.15)

Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных по формулам

Допустим, что в системе (7.15) (в противном случае всегда можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (7.15) на коэффициент ; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на и сложим поочередно с каждым соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда получим систему, равносильную системам (7.1), (7.14), (7.15):

(7.16)

Далее действия над уравнениями системы (7.16) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (7.16) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.

В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.

1. При некотором преобразовании получаем противоречивое уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая отлична от нуля; это свидетельствует о несовместности исходной системы (7.1).

2. Система (7.1) сводится к треугольному виду:

(7.17)

Покажем, что система уравнений (7.17) определена. Из последнего уравнения имеем Подставляя это значение во все уравнения системы, начиная снизу, найдем последовательно значения неизвестных . Система (7.1) равносильна системе (7.17), поэтому полученное решение также будет единственным решением системы (7.1), т. е. она является совместной и определённой.

3. Система (7.1) преобразуется в трапециевидную:

(7.18)