Понятие уравнения и неравенства с одной переменной

Уравнения и неравенства c одной переменной в начальном курсе математики
статья по математике на тему

Статья по теме : «Уравнения и неравенства с одной переменной в начальном курсе математики».

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний. Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика — это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому что математика к нему не сводится.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнения и неравенства

с одной переменной

в начальном курсе математики.

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний. Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика — это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: «Математика не просто один из языков. Математика — это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика — орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому » ([12], с. 44).

Линия уравнений и неравенств является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. Изучение уравнений и неравенств в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. Тема «Неравенства» занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Анализ литературы, посвященной методике изучения темы «Неравенства» в начальной и основной школе, показал, что в настоящий момент имеется ряд исследований, раскрывающих ее различные аспекты. Исследования: М.В. Паюл, И.М. Степуро посвящены вопросам взаимосвязи понятий неравенства, уравнения и функции; М.П. Комова, Г.Н. Солтан — доказательствам и решению неравенств на геометрическом материале; Е.Ф. Недошивкина — внутрипредметным связям при изучении уравнений и неравенств в курсе математики 4-8-х классов; Н.Б. Мельниковой, Д.Д. Рыбдаловой — прикладным аспектам изучения неравенств в средней школе.

Итак, можно констатировать тот факт, что отдельные вопросы методики обучения понятию неравенства и уравнений и их решению в школьном курсе математики освещены достаточно полно.

Изучение простейших уравнений и способов их решений прочно вошло в систему начальной математической подготовки.

Актуальность темы нашей работы состоит в том, что изучение младшими школьниками уравнений в начальной школе подготавливает их к более успешному изучению алгебраического материала в основной школе. Уравнения являются одним из средств моделирования изучаемых фрагментов реальности, и знакомство с ними является существенной частью математического образования.

Исходя из этого цель нашей работы изучить процесс формирования понятия уравнения на начальном этапе обучения математике.

Представьте, что в очень лёгком — практиче ски невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве сов и уравновесим его монетками на другой чаше (рис. 1). Сколько монет для этого потре буется — столько же их и в кошельке.

Испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит помощь и в чуть более сложном случае: когда на левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, возьмем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится Следовательно внутри кошелька 10 монет.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, ещё не было ни монет, ни кошельков. Но зато были горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями её, половиной и одной седьмой составляет 37. », — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то об щими приёмами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приёмов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!». «Ты правильно нашёл». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Атександрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского учёного IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата — «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Книга о восстановле нии и противопоставлении») — со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми по служило отправной точкой в становлении на уки о решении уравнений.

Аль-Хорезми одним из первых стал обра щаться с уравнениями так, как торговец обра щается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х — 16 = 20 — 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х — 16 = 20 — 4х

добавил + 16 + 16,

стало 5х = З6 – 4 х

После этой законной операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со зна ком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х.

было 5х = 36 — 4х ,

добавил + 4х + 4х,

Опять из правой части равенства выражение 4 х пропало, а в левой части оно восстанови лось со знаком плюс. Из полученного просто го равенства

9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Восстановлением («аль-джебр») аль-Хорез ми называл операцию исключения из обеих частей уравнения вычитаемых членов путём добавления противоположных по знаку. Про тивопоставление («аль-мукабала») — это сокра щение в частях уравнения одинаковых членов.

Изучение алгебраического материала начинается с подготовительного класса и проходит в тесной связи с изучением арифметического и геометрического материала.

Учащиеся начальных классов знакомятся с такими важнейшими понятиями как равенство, неравенство, уравнение.

Что же такое равенство, неравенство, уравнение?

Пусть а и в — числовые выражения. Числовые выражения или числа, между которыми стоит знак равенства, называются числовыми равенствами.

Неравенство — отношение, связывающее два числовые выражения или два числа посредством одного из знаков ”>” (больше), ”  ” (больше или равно), ”  ” (меньше или равно), ”  ” (не равно).

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной.

Переходим к краткому обзору методики ознакомления с числовыми равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе.

Понятия о равенствах, неравенствах, уравнениях раскрываются во взаимосвязи.

Числовые равенства и неравенства изучаются параллельно. Упражнения с равенствами и неравенствами используются для раскрытия и применения арифметических знаний, а также для выработки вычислительных навыков.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в традиционной школе непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий и происходит в несколько этапов.

На подготовительном этапе в дочисловой период, нужно в процессе практических упражнений с использованием пар понятий научить детей

сравнивать предметы и устанавливать отношение “больше”, “меньше”, “одинаково”. Приведем примеры наиболее распространенных пар понятий: больше-меньше, выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе, тяжелее-легче, толще-тоньше, дальше-ближе, быстрее-медленнее.

С первых же уроков отрабатывается умение сравнивать численности множеств. При этом начинать нужно с упражнений на установление между множествами взаимно однозначного соответствия.

Основой таких упражнений могут служить различные ситуации из обыденной жизни: каждому ученику в классе взаимно однозначно соответствует его ранец; каждой чашке в чайном приборе однозначно отвечает блюдце, на которое ставят чашку.

Предлагая учащимся упражнения на сравнение численности множеств, целесообразно начинать с множеств, каждое из которых составлено из однородных предметов, например, одно множество состоит из треугольников, другое — из квадратов. Через некоторое время переходят к сравнению множеств разнородных предметов.

Полезно ознакомить учащихся с различными приемами попарного соотнесения предметов двух множеств. Первым приемом будет являться наложение предметов на наборном полотне друг на друга. Второй прием — изымание по одному предмету из каждого множества и откладывание полученных пар. Третий прием — сравнение двух множеств, элементы которых нельзя изымать, например, множеств предметов, изображенных на рисунке. Четвертый прием целесообразно применять для сравнения двух множеств, нарисованных предметов, если эти предметы не расположены линейно. Такое сравнение предметов “один к одному” дает возможность устанавливать не только, где больше, а где меньше, но и на сколько больше, на сколько меньше. Уже в подготовительный период включают упражнения на преобразование неравночисленных множеств в равночисленные и обратно.

Таким образом происходит непосредственный способ сравнения предметов в традиционной школе.

В традиционной школе преобладает знаковое моделирование — вводятся знаки отношений “>”, “

Первые числовые равенства, с которыми знакомятся дети, образованы при ознакомлении с действиями сложения, вычитания в концентре “Десяток”.

Введение знака “ 1.

Чтобы учащиеся не путали знаки “ ”, полезно воспользоваться мнемоническим приемом: где палочки расходятся, записывают большее число, а где сходятся — меньшее число.

Работа над неравенствами ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала. Программа по математике для I-III классов ставит задачу выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно»; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков и читать полученные неравенства.

Числовые неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных неравенствах.

Однако в процессе работы над уравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над равенствами, неравенствами, уравнениями.

Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнение осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел (кружков 7, треугольников 5, кружков больше, чем треугольников, 7 больше, чем 5). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10; 5 больше, чем 4, потому что при счете число 5 называют после числа 4.

Установленные отношения записываются с помощью знаков , учащиеся упражняются в чтении и записи неравенств.

Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором).

Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в I-III классах предлагать разнообразные упражнения, например:

Подберите равную величину:

Подберите числовые значения величин так, чтобы запись верной:

3) Вставьте наименование у величин так, чтобы запись была верной:

Подобные упражнения помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц измерения.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения).

Первые неравенства вида 3+1>3, 3-1

(3+1 — запись под треугольниками). Число кружков не уменьшилось (3). Учащиеся сравнивают число треугольников и кружков и убеждаются, что треугольников больше, чем кружков (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3-1

В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а>b, то b

Дети видят, что если кружков и треугольников поровну (рис.1), то можно сказать, что Кружков столько, сколько треугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кружков (5=3+2). Если же Предметов не поровну (рис.2), то одних — больше (3 + 1>3), а других меньше (3

В дальнейшем при изучении действий в пределах 100, 1000 и 1000000, упражнения на сравнение выражения и числа даются на новом числовом материале и увеличивается количество чисел и знаков действий в выражениях.

Сравнивая неоднократно специально подобранные выражения и числа, например:

17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и 7, 0: 5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т.п., учащиеся накапливают наблюдения об особых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения и способствуют выработке вычислительных навыков.

Сравнить два выражения, значит, сравнить их значения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются учащимся. Например, надо сравнить Суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая-9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях:

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменив знак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства. Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60+40 больше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз, подмечая эту зависимость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах я неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерация и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

Неравенства с переменной вида:

вводятся во II классе. Заранее ведется соответствующая подготовительная работа: включаются упражнения, в которых переменная обозначается не буквой, а «окошечком» (квадратом), например: □ >0, 6+4> □, 7+ □

Учащимся предлагается подобрать такое число, чтобы получить верную запись. При выполнении таких упражнений учитель должен побуждать детей к подстановке различных чисел; например, в неравенстве □ >0 можно подставить число 1 (1>□), можно 2 (2>□), можно З (3>□) и т.д. После того как названо несколько чисел, полезно обобщить наблюдения (например, во втором неравенстве можно подставить любое число, которое меньше 10-от 0 до 9).

Рассматривая во II классе, например, неравенство х+3

Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при которых получается верное неравенство.

Позднее в упражнениях с неравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такие упражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.

Можно ознакомить детей с таким приемом подбора значений переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство 7·k

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, дети накапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого и т.п.). Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида:

учащиеся закрепляют знания особых случаев вычислений. Работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенства в IV классе.

Что такое уравнение?

Описание методики работы над построением и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.

В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение – значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет”. Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”.

Понятно, что под аналитической записью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

Введение записи задачи (о нахождении неизвестной величины) с помощью уравнения начинается с конкретной задачи. Способы составления и решения уравнений опираются на отношение целого и его частей, а не на 6 правил нахождения неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении.

Для того, чтобы найти способ решения уравнения, достаточно определить сначала по схеме, а позже и сразу по формуле, чем является неизвестная величина: частью или целым. Если известная величина является целым, то для ее нахождения нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.

Успешность ребенка, его навык при решении уравнений будут зависеть от того, может ли ребенок переходить от описания отношения между величинами с помощью схемы к описанию с помощью формулы и наоборот. Именно этот переход от уравнения как одного из вида формул к схеме и определения с помощью схемы характера (часть или целое) неизвестной величины являются теми основными умениями, которые дают возможность решать любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания.

Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит, и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решение задачи.

В начальной школе в процессе работы над уравнениями закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируются умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 – м классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи» (см.

Л. Г. Петерсон «Математика 1», ч. 1, урок 15);

Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в окошке ( см. «Математика 1», ч. 1, урок 20), например:

Дети находят числа либо подбором, либо на основе знаний состава числа. На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

— Сколько надо вычесть их 3, чтобы получилось 2?

— Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения» (термин «корень» вводится в речевую практику, но внимание на нем не акцентируется) (см. «Математика 1», ч. 3, урок 11)

В течении восьми уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений, пока правило нахождения неизвестного компонента в уравнениях не заучиваются. Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому( сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, вычитаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:

— Целое равно сумме частей.

— Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Изучение уравнений в начальных классах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программой традиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+  =5, 4–  =2,  –7=3, и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так:  , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.

На первом этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.

На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф. Приведу примеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения, включаются более сложные уравнения видов: 48 – х = 16 + 9, а – (60 – 14) = 27, 51 – (х + 15) = 20, решение которых выполняется также на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, ведется подготовка к решению задач способом составления уравнений. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением. Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например: 60 – (х + 7) = 25, (12 – х) + 10 = 18.

При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим.

Обучение решению таких уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений. Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

Особое внимание следует уделять проверке решения уравнения. Учащиеся должны четко знать, усвоить последовательность и смысл действий, выполняемых при проверке: найденное число подставляют вместо буквы в выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.

Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

В соответствии с программой в I-IV классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида:

Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями.

Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон, где, например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства детей.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры – работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использование букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с буквами. Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон. На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: k + 4 = 7; Р – 3 = 8; Z : 6 = 7 и т. п.

Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1 – го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

Алгоритм: начало →находим последнее действие → определяем неизвестный компонент → находим неизвестный компонент по правилам→ упрощаем уравнение→ нашли корень уравнения? → конец.

При решении уравнений учитель должен уделять особое внимание проверке. Так как в старших классах бывает трудно сделать проверку к некоторым уравнениям, следует уже в начальной школе сформировать у детей умение выполнять ее – сначала письменно, а затем уже устно. Ведь приучать детей к самоконтролю необходимо с первого класса. Порой учитель может видеть, как дети бездумно подставляют вместо неизвестного числа его значение и только переписывают ответ ( не выполняя саму проверку). Чтобы проверка выполнялась детьми при самостоятельной работе, необходимо «заставить» каждого ребенка сделать ее( т. е. поработать над ней).

Уравнения используются для решения задач. Существует правило составления уравнения:

1. Выясняется, что известно, что неизвестно.

2. Обозначение неизвестного за х.

3. Составление уравнения.

4. Решение уравнения.

5. Полученное число истолковывается в соответствии с требованием задачи.

Необходимым требованием для формирования умения решать задачи с помощью уравнений является умение составлять выражения по их условиям. Поэтому вводится запись решения задач в виде выражения. Учащиеся упражняются в объяснении смысла выражений, составленных по условию задачи; сами составляют выражения по заданному условию задачи, а также составляют задачи по их решению, записанному в виде выражений.

Одним из самых трудных моментов является запись задачи в виде уравнения, поэтому вначале при составлении уравнения широко используются средства наглядности: рисунки, схемы, чертежи.

Для формирования у учащихся умения решать задачи алгебраическим способом необходимо, чтобы они могли решать уравнения, составлять выражения по задаче и осознавать сущность процесса “уравнивания неравенств”, т.е. преобразования неравенства в уравнение. Уже на первых уроках дети, сравнивая два множества, устанавливают, в каком из них содержится больше элементов и что нужно сделать, чтобы в обоих множествах было одинаковое их количество.

Вместе с тем возможности использования алгебраического метода решения текстовых задач в начальных классах традиционной школы ограничены, поэтому арифметический способ остается в традиционной школе основным.

Иногда неравенство с переменной определяют менее формально, но более, может быть, доступно: два выражения, соединенные знаком неравенства ( — знаки неравенства).

Неравенство, содержащее знак > или b, то b а.

К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства а bс.

Содержание линии неравенств развертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитывая важность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования заданий.

В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение – значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет”. Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”.

Понятно, что под аналитической записью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Уч. пос. для уч-ся школ. отд-й пед. уч-щ / Под ред. М.А. Бантовой. -3-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1984 г. — 335 с. — ил.
2. Бантова М.А. Методическое пособие к учебнику математики/М.А. Бантова, Т.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001 – 64 с.
3. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.
4. Давыдов В.В., С.Ф. Горбов и др. Обучение математике. – М.: Мирос, 1994. – 192 с.
5. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия, 2000. – 288 с.
6. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств: Пос. для учит-й. — М.: Просвещение, 1980 г. -68 с.
7. Левитас Г.Г. Современный урок математики. Методика преподавания. ПТУ-М.: Высшая школа, 1989. -88 с. — ил.
8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по спец.2104 «Математика» и 2105 «Физика»/ А. Блох, Е.С. Канин и др. Сост.Е.С. Черкасов, А.А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985. -336 с.
9. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987. -416 с.: ил.
10. Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. – М: Просвещение, 1980. – 368 с.
11. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. — М.: МГУ, 1991 г.
12. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств. М.: Аквариум, 1997 г.

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен ;

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.

Пример 2.

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Квадратные уравнения

где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:

Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.

Пример 1.

Решение:

Здесь . Имеем:

Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Итак, — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда

Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение:

Положив , получим уравнение

откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение:

Положим , тогда

и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решив это уравнение, найдем

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка:

1) При х = 5 имеем

— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим и мы получаем уравнение , откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2.

Решение:

Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

где нужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Из последнего уравнения находим

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение:

Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим

Но ; из уравнения находим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем

Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Пример 2.

(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая , получим уравнение корнями которого являются

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Так как , а -1 0 и мы получаем

если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .

Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то

Пример 3.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Значит, должно выполняться неравенство

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Так как, по условию, , то и

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Лекция 27. Неравенства с одной переменной

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 — 5 — истинное числовое неравенство. А множест­во его решений — это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) — выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1)Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2)Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) — выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х — 5

а) -12 — 7х 4; д) 17-12·8;

2.Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) 3;

б) x x х 3 — (1 — 2х) является любое действительное число.

7.Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 — х) — 2 > 5 — 3х.

8.Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ.Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8.Решите графически неравенство х 2 — 4 > 3х.

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х 2 — 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 — 4 расположен выше графика функции у = 3х при х 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; +оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и (4;+ оо ).

Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х — 3 > 0; б) -Зх 2 — 2х — 6 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х₂ = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х х_г> т.е. при х 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).

б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = — 3х 2 — 2х — 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 — 2х — 6 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х 0; поэтому |х -1| = — (х — I), |2 — х | = 2 — х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 — х > 3 + х, т.е. х 3 + х,

х 2, то х — 1 >0 и 2 – х 2,

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение — множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а — b | означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

— значение числового выражения;

— выражение, не имеющее смысла;

— выражение с переменной (переменными);

— область определения выражения;

— тождественно равные выражения;

— тождественное преобразование выражения;

— уравнение с одной переменной;

— что значит решить уравнение;

— неравенство с одной переменной;

— что значит решить неравенство;

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств — необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.