Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию
Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы «Уравнения — следствия» по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин
Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»
- Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
- Что называют переходом к уравнению-следствию
- Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?
Заменить уравнение равносильным
Преобразования, приводящие к уравнению-следствию
Влияние на корни уравнения
Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень
f(x)=g(x) ( f(x) ) n =(g(x)) n
Может привести к появлению посторонних корней
Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:
log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)
Может привести к появлению посторонних корней
Освобождение уравнения от знаменателей:
Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или
Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов
Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.
Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.
Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.
- Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
- № 8.25(б,г)
- 8.28 (б,г)
- 8.29 (б,г)
Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень. 11-й класс
Разделы: Математика
Класс: 11
Продолжительность: 2 урока.
Цель урока:
- (для учителя) формирование у учащихся целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.
- (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2). Подготовка к ЕГЭ.
План первого урока (слайд 3)
- Актуализация знаний
- Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
- Практикум по решению уравнений
План второго урока
- Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»
- Итог уроков
- Домашнее задание
Ход уроков
I. Актуализация знаний
Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.
– Какие два уравнения называются равносильными?
– Какие преобразования уравнения называют равносильными?
– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)
а) х+ 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.
– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?
– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?
– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?
– Что называется арифметическим квадратным корнем?
Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».
II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
Объяснение учителя при активном участии учащихся:
Пусть 2m (mN) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)).
Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.
При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)
Переход к равносильной системе:
а) = или
Из двух систем решают ту, которая проще.
б) = а, аR
если а ≥ 0, то = а f(x) = а;
если а 19.06.2011
Конспект урока на тему «Уравнения-следствия»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
«БЕЛОГОРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА
Профессия 35.01.13 Тракторист-машинист сельскохозяйственного производства
Разработчик: Игнатьева Наталья Львовна, преподаватель
г. Белогорск – 2018 г.
Тема урока: « Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень »
Тип урока : Урок изучения нового материала.
Вид урока: комбинированный
формирование у студентов целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.
р азвитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2).
ввести понятие равносильности уравнений, рассмотреть теоремы равносильности, примеры равносильных переходов при решении уравнений;
закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении уравнений;
способствовать расширению знаний по изучаемой теме;
развитие логического мышления, познавательного интереса;
формирование математической речи, умения анализировать и сравнивать, делать выводы;
развитие приемов умственной деятельности, умения искать рациональный способ решения поставленной задачи;
повышение информационной культуры студентов, интереса к предмету;
развитие потребности к самообразованию, умение вырабатывать собственную позицию (обосновывать свой решения, свой результат);
обучение эстетическому оформлению записи в тетради и на доске,
воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе;
обучение умению выступать перед аудиторией и выслушивать других;
повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;
воспитание уважения друг к другу, коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу.
— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; выстраивать аргументацию, приводить примеры и контр-примеры;
— креативность мышления, активность при решении математических задач;
— умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;
— формирование первоначальных представлений об идеях и о методах математики;
— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;
-умение понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
— умение видеть различные стратегии решения задач;
— умение определить значение идеи, методов и результатов алгебры для построения модели реальных процессов и ситуаций;
-усвоение учащимися решение неравенств с одной переменной, применяя теоремы о равносильности и используя решения ключевых задач.
План первого урока (слайд 3)
Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень.
Практикум по решению уравнений.
План второго урока
Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения».
Оборудование: учебники; тетради для работ; проектор и экран .
I. Актуализация знаний
Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.
– Какие два уравнения называются равносильными?
– Какие преобразования уравнения называют равносильными?
– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)
а) х + 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.
– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?
– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?
– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?
– Что называется арифметическим квадратным корнем?
Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».
II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
Объяснение преподавателя при активном участии студентов:
Пусть 2m (m N) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)) .
Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.
При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)
Переход к равносильной системе:
а) = или
Из двух систем решают ту, которая проще.
б) = а, а R
если а ≥ 0, то = а f(x) = а ;
если а = g(x)
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Метод введения новых переменных.
Методы 2 и 3 требуют обязательной проверки.
ОДЗ не всегда помогает устранить посторонние корни.
Вывод: при решении иррациональных уравнений важно пройти три этапа: технический, анализ решения, проверка ( слайд 6).
III. Практикум по решению уравнений
а) х + 1 =
После обсуждения способа решения уравнения возведением в квадрат, решить переходом к равносильной системе.
Вывод : решение простейших уравнений с целыми корнями можно провести любым знакомым методом.
б) = х – 2
Решая методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, учащиеся получают корни х = 0, х = 3 — , х = 3 + , проверить которые подстановкой сложно и трудоёмко. (Слайд 7). Переход к равносильной системе
позволяет быстро избавиться от посторонних корней. Условию х ≥ 2 удовлетворяет только х .
Ответ: 3 +
Вывод : иррациональные корни проверять лучше переходом к равносильной системе.
в) = х – 3
В процессе решения этого уравнения получаем два корня: 1 и 4. Оба корня удовлетворяют левой части уравнения, но при х = 1 нарушается определение арифметического квадратного корня. ОДЗ уравнения не помогает устранить посторонние корни. Переход к равносильной системе даёт правильный ответ.
Вывод: хорошее знание и понимание всех условий определения арифметического квадратного корня помогает перейти к выполнению равносильных преобразований.
г) — 4 =
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
х + 13 — 8 + 16 = 3 + 2х — х , уединив радикал в правую часть, получаем
26 – х + х = 8 . Применение дальнейших действий по возведению в квадрат обеих частей уравнения, приведёт к уравнению 4-й степени. Переход к ОДЗ уравнения даёт хороший результат:
найдём ОДЗ уравнения:
х = 3.
Проверка: — 4 = , 0 = 0 верно.
Вывод: иногда возможно провести решение с помощью определения ОДЗ уравнения , но обязательно сделать проверку.
д) =
Решение: ОДЗ уравнения: -2 – х ≥ 0 х ≤ -2.
При х ≤ -2, ≥ 0.
Следовательно, левая часть уравнения отрицательна, а правая – неотрицательна; поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Вывод: сделав правильные рассуждения по ограничению в условии уравнения, можно без труда найти корни уравнения, или установить, что их нет.
е) + = 7
На примере решения этого уравнения показать двукратное возведение уравнения в квадрат, объяснить смысл фразы «уединение радикалов» и необходимость проверки найденных корней.
ж) 4 — 5 = 8;
з) + = 1.
Решение этих уравнения провести методом замены переменной до момента возвращения к исходной переменной. Закончить решение предложить тем, кто раньше справится с заданиями следующего этапа.
Как решать простейшие иррациональные уравнения?
Что необходимо помнить при возведении уравнения в чётную степень? ( могут появиться посторонние корни)
Как лучше проверять иррациональные корни? ( с помощью ОДЗ и условий совпадения знаков обеих частей уравнения)
Для чего необходимо уметь анализировать математические ситуации при решении иррациональных уравнений? ( Для правильного и быстрого выбора способа решения уравнения).
IV. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения»
Группа разбивается на подгруппы (по 2-3 человека) по уровням подготовленности, каждая подгруппа выбирает себе вариант с заданием, обсуждает и решает выбранные задания. По мере необходимости обращается к преподавателю за консультацией. После выполнения всех заданий своего варианта и проверки ответов преподавателем, участники группы индивидуально заканчивают решение уравнений ж) и з) предыдущего этапа урока. Для 4 и 5 вариантов (после проверки ответов и решения преподавателем) на доске записаны дополнительные задания, которые выполняются индивидуально.
Все индивидуальные решения в конце уроков сдаются преподавателю на проверку.
а) = 6;
б) = 2 ;
в) = 2 – х;
г) (х + 1) (5 – х) ( + 2) = 4.
а) = 4;
б) = 2 ;
в) = 1 – х;
г) (х + 1) (5 – х) ( + 2) = 4.
а) = 3;
б) = 4х;
в) — = 1;
г) + = + 3.
1. Решите уравнение:
а) = 4;
б) = 3 – 2х;
2. Решить систему уравнений:
1. Решите уравнение:
а) = ;
б) = 3 – 2х;
2. Решить систему уравнений:
Решить относительно х уравнение: · = а;
Решить уравнение: + = 4 – х.
Какие трудности испытывали при выполнении заданий? Что необходимо для устранения этих трудностей?
VI. Домашнее задание
Повторить теорию решения иррациональных уравнений, прочитать пункт 8.2 в учебнике (обратить внимание на пример 3).
Решить № 8.8 (а, в), № 8.9 (а, в), № 8.10 (а).
Никольский С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа , учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений, М.: Просвещение, 2014.
Краткое описание документа:
Данная методическая разработка содержит материалы по теории и практике решения иррациональных уравнений. Она может быть использована на уроках алгебры в школах для учеников 11 класса и студентов 2 курса СПО. В качестве проверки знаний в конце урока предлагается дифференцированная самостоятельная работа по группам, использующая карточки с разноуровненными заданиями.
http://urok.1sept.ru/articles/593149
http://infourok.ru/konspekt-uroka-na-temu-uravneniyasledstviya-3535144.html