Поперечная волна распространяется вдоль оси х уравнение

Гармоническое колебательное движение и волны

Уравнение незатухающих колебаний имеет вид . Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний с = 300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.

Лекция №9. Механические волны

6.1. Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.

Упругая волна называется поперечной , если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.

На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны также равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания частицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S будет зависеть только от координаты х и времени t

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x/υ . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

где А − амплитуда волны; ϕ₀ − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t-x/υ)+ϕ₀=const. Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, и называется фазовой скоростью .

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Придадим уравнению плоской волны симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину $$k = <2π \over λ>$$ , которая называется волновым числом , которое можно представить в виде

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону A=A₀e −βx . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

6.3. Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид

где r − радиус-вектор, точки волны; r =k× n − волновой вектор ; n − единичный вектор нормали к волновой поверхности

Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности называется.

Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z Тогда уравнение (6.3.2) примет вид

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

Сложив производные по координатам, и с учетом производной по времени, получим

6.4. Скорость распространения волн в различных средах

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси 0х . Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S₀ и высотой d_x . Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение S , то смещение основания с координатой x+dx будет S+dS . Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформацию ε=∂S/∂x (деформации растяжения). Наличие деформации свидетельствует о существовании нормального напряжения σ , которое при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия

где Е − модуль Юнга среды.

Из зависимости смещения от координаты x видно, что относительная деформация ∂S/∂x , а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движения. Масса этого объема

где ρ − плотность недеформированной среды.

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилиндра одинаковым и равным

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F₁ и F₂ , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент времени. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

После разложения силы F₂ в ряд, получим

и результирующая F₁ , F₂ сил, действующая на элемент объема равна

Используя основное уравнение динамики поступательного движения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для плоской волны (6.3.6) $$<∂^2S \over ∂x^2>=<1 \over v^2><∂^2S \over ∂t^2>$$ , получим

где Е − модуль Юнга.

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продольных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид

Поперечная волна распространяется вдоль оси х уравнение

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .

Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной . Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной . Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2.6.1.

Рисунок 2.6.2.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами . В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Рисунок 2.6.3.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики обладают массой , а пружинки – жесткостью . С помощью такой простой модели можно описать распространение продольных и поперечных волн в твердом теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Такая деформация называется деформацией растяжения или сжатия (см. §1.12). В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением .

Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.

Если в одномерной модели твердого тела один или несколько шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига . Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться возвратить смещенные частицы в положение равновесия. При этом на ближайшие несмещенные частицы будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна.

В жидкостях и газах упругая деформация сдвига не возникает. Если один слой жидкости или газа сместить на некоторое расстояние относительно соседнего слоя, то никаких касательных сил на границе между слоями не появится. Силы, действующие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. То же относится к газообразной среде. Следовательно, поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах .

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны . Они характеризуются амплитудой колебания частиц, частотой и длиной волны . Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью .

Смещение частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты на оси , вдоль которой распространяется волна, и от времени по закону:

где – так называемое волновое число , – круговая частота.

На рис. 2.6.4 изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: и . За время волна переместилась вдоль оси на расстояние . Такие волны принято называть бегущими (в отличие от стоячих волн, см. далее).

Рисунок 2.6.4.

Длиной волны называют расстояние между двумя соседними точками на оси , колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны , волна пробегает за период , следовательно, , где – скорость распространения волны.

Для любой выбранной точки на графике волнового процесса (например, для точки на рис. 2.6.4) с течением времени изменяется координата этой точки, а значение выражения не изменяется. Через промежуток времени точка переместится по оси на некоторое расстояние . Следовательно:

Отсюда следует:

Таким образом, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью – во времени и пространстве. Временной период равен периоду колебаний частиц среды, пространственный период равен длине волны . Волновое число является пространственным аналогом круговой частоты

Обратим внимание на то, что уравнение
описывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси , со скоростью

В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой . Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Отсюда следует, что при распространении бегущей волны возникает поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.

Скорость поперечных волн в натянутой струне или резиновом жгуте зависит от погонной массы (т. е. массы единицы длины) и силы натяжения :

Скорость распространения продольных волн в безграничной среде определяется плотностью среды (т. е. массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия , который равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления и относительным изменением объема , взятому с обратным знаком:

Выражение для скорости распространения продольных волн в безграничных средах имеет вид

Например, при температуре скорость распространения продольных волн в воде , в различных сортах стали .

При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия входит модуль Юнга (см. §1.12):

Для стали отличие от невелико, для других материалов оно может составлять и даже больше.

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения ( суперпозиции ) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну .

Пусть струна длины закреплена так, что один из ее концов находится в точке , а другой – в точке (рис. 2.6.5). В струне создано натяжение .

Рисунок 2.6.5.

По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

– волна, бегущая справа налево;

– волна, бегущая слева направо.

В точке (один из закрепленных концов струны) падающая волна в результате отражения порождает волну . При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции , который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами ₁ и ₂ в отдельности. Следовательно,

Это и есть стоячая волна . В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами . Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями .

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (). Для выполнения этого условия и на правом конце (), необходимо чтобы , где – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина струны равняется целому числу длин полуволн:

Набору значений длин волн соответствует набор возможных частот :

где – скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой . Наименьшая частота называется основной частотой , все остальные () называются гармониками . На рис. 2.6.5 изображена нормальная мода для .

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период ) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота струна обладает бесконечным числом собственных (резонансных) частот . На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рисунок 2.6.6.

В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями ) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

источники:

http://physics.belstu.by/mechanics_lk/mechanics_lk9.html

http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph6/theory.html