Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура описывается уравнением

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура описывается уравнением

2018-10-06
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью $v = 10 м/с$. Амплитуда колебаний точек шнура $A = 5 см$, а период колебаний $T = 1 с$. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположений на расстоянии $x_ <1>= 9 м$ от источника колебаний в момент времени $t_ <1>= 2,5 с$.

Уравнение волны
$\xi = A \cos \omega \left ( t — \frac \right ), \omega = \frac<2 \pi>, \lambda = vT = 10 м$,
$\xi = A \cos \frac<2 \pi>\left ( t — \frac \right )$,

Фаза колебаний в момент времени $t_<1>$
$\phi_ <1>= \frac<2 \pi>\left ( t_ <1>— \frac \right ) = 3,2 \pi$,

Смещение
$\xi_ <1>= A \cos \frac<2 \pi>\left ( t_ <1>— \frac > \right ) = -4 см$,

Скорость
$\dot< \xi_<1>> = — A \frac<2 \pi>\sin \frac<2 \pi>\left ( t_ <1>— \frac > \right ) = 18,5 см/с$,

Ускорение
$\ddot < \xi_<1>> = — A \left ( \frac<2 \pi>\right )^ <2>\cos \frac<2 \pi>\left ( t_ <1>— \frac > \right ) = -160 см/с^<2>$.

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда колебаний

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,296
• гуманитарные 33,622
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,211
• разное 16,830

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Примеры решения задач. Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью J=15 м/с

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью J=15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны l; 2) фазу j колебаний, смещение x, скорость , и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х=45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x₁=20 м и x₂=30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

Подставив значения величин J и T, получим

2. Запишем уравнение волны:

где x — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источника волн;

J — скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени tопределяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

где учтено, что w=2p/Т.

Произведя вычисления по последней формуле, получим

j=5,24 рад, или j=300°.

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения амплитуды А и фазы j: x=1 см.

Скорость точки находим, взяв первую производную от смеще­ния по времени:

=dx/dt= -Aw sinw(t — x/J)=

Подставив значения величин p, А, Т и j и произведя вычисле­ния, получим =9 см/с.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

=d /dt= -Aw 2 cos w(t — x/J)=

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

=27,4 см/с 2 .

3. Разность фаз Dj колебаний двух точек волны связана с рас­стояниемDх между этими точками соотношением

Подставив значения величин l, x₁ и x₂ и вычислив, получим

Dj=3,49 рад, или Dj=200°.

Пример 2. На расстоянии l=4 м от источника плоской волны частотой v=440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источ­ника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость J волны считать равной 440 м/с.

Решение. Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l—х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

После очевидных упрощений получим

x₂=Acоs[wt—k (2l—х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав­на нулю:|2Asink(l—x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты x_n которых удовлетворяют условию

Но k=2p/l, или, так как l=J/v,

k=2pv/J. (4) Подставив это выражение k в (3), получим

откуда координаты узлов

Подставив сюда значения l,J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l—х‘)=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х‘_n которых удовлетворяют условию k(l— х‘_n)=(2n+1)(p/2) (п=0, 1, 2, 3, . ). Выразив здесь k по (4), получим

откуда координаты пучностей

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координа­ты первых трех пучностей:

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены коор­динаты х₀,, х₁, х₂ , . узлов и координаты х‘₀, х‘₁, х‘₂ . пуч­ностей стоячей волны.

Пример 3. Источник зву­ка частотой v=18 кГц приб­лижается к неподвижно уста­новленному резонатору, на­строенному на акустическую волну длиной l= 1,7 см. С ка­кой скоростью должен дви­гаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости и_истисточника звука и скорости и_пр прибора. Эта зависимость выража­ется формулой

где J — скорость звука в данной среде; v₀ — частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (u_пр=0), из формулы (1) получим , откуда

В этом выражении неизвестны значения скорости J звука и час­тоты v.

Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле

. (3)

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колеба­ния, частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой v_резрезонатора, т. е.

где v_рез —длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражения J и v из равенства (3) и (4) в формулу (2), получим

, или .

Взяв значения g=1,4, М ==0,029 кг/моль, а также значения R, Т, v_o, l_рез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим

Пример 4. Уровень громкости l_n звука двух тонов с частотами v₁=50 Гц и v₂=400 Гц одинаков и равен 10 дБ. Определить уровень интенсивности L_р и интенсивность I звука этих тонов.

Решение. Искомые в задаче уровни интенсивности, соот­ветствующие частотам v₁=50 Гц и v₂=400 Гц, определим, пользу­ясь графиком на рис. 7.1. Вторая кривая снизу является кривой уровня громкости, равного 10 дБ. Из точек на горизонтальной оси, соответствующих частотам v₁ и v₂, восстанавливаем ординаты до кривой уровня громкости в 10 дБ. Значения этих ординат укажут искомые уровни интенсивности: L_р1=60 дБ для частоты v₁=50 Гц и L_р2=20 дБ для частоты v₂=400 Гц.

Зная уровни интенсивностей L_р1 и L_р2, определим соответствую­щие им интенсивности I₁ и I₂ по формуле

где I — интенсивность данного звука; I₀ — интенсивность, соот­ветствующая нулевому уровню интенсивности (I₀=1 пВт/м 2 ).

Из приведенной формулы получим

Подставив сюда значения L_р и I₀ и учтя, что 1 пВт/м 2 =lO -12 Bт/м 2 , найдем для v₁=50 Гц и v₂=400 Гц соответственно lgI₁=0,l×60+lg10 -12 =6-12= -6; I₁=10 -6 Вт/м 2 и lg I₂=0.1×20+lgl0 -12 =2-12= -10; I₂=10 -10 Вт/м 2 .

Эти значения I₁ и I₂ можно получить и по графику, пользуясь шкалой интенсивности звука (на рис. 7.1 правая шкала).

Сопоставим полученные результаты: интенсивность первого тона в 10 4 раз больше интенсивности второго тона; уровень интенсивно­сти первого тона на 40 дБ больше уровня интенсивности второго тона; уровень громкости обоих тонов одинаков и равен 10 дБ.