Поперечность электромагнитных волн волновые уравнения

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Свойства электромагнитных волн

Система уравнений Максвелла

Приведем законы, которым подчиняется поведение электрического и магнитного полей, лежащие в основе теории электромагнетизма. Эти законы, являющиеся обобщением опыта, формулируются ниже в интегральной форме, так как именно в таком виде обычно выражаются данные эксперимента. Используя основные положения векторного анализа, можно записать эти законы электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Если исследуют электромагнитное поле в каком-либо веществе, изотропно заполняющем пространство, то значение векторов Е и В получаются при усреднении микроскопических величин =Е и =В. Такая запись позволяет оперировать с мгновенными напряженностями электрического и магнитного полей в любой точке пространства.

Усреднение микроскопических величин законно в том случае, линейные размеры области, где и можно считать неизменными ,значительно превышают размеры атомов (молеукл). Длина волны является тем отрезком , на котором напряженность поля сильно изменяется. Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда значительно больше атомных размеров .Такое равенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где см, т.е. того же порядка что размеры атомов.

При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа:

Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный: . (2.3.1)

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность, охватываемую исследуемой кривой):

Итак , вспомним законы электрического и магнитного полей. Первый из них — основной закон электростатики — закон Кулона. Как следствие этого закона формулируется теорема Гаусса о потоке, которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде

Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона

где D — вектор электрического смещения, — объемная плотность зарядов.

Существенно, что выражения (2.3.3) и (2.3.3а), полученные из уравнений электростатики, обобщаются Максвеллом для переменных полей, где D и зависят от времени .

Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению

которое преобразуется к виду

Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлением о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих случаях, наглядность модельных представлений помогает пониманию явления.

Переходя к описанию свойств электрического тока. сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаплпса. Запишем его в виде, который называют теоремой о циркуляции вектора Н:

Рис. 2.3.5. Теорема о циркуляции вектора Н

Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (2.3.5) и описывает плотности тока j с напряженностью магнитного поля в данной точке:

Рис. 2.3.6. Теорема Стокса

Как известно, Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению

Ток проводимости и ток смещения дополняют друг друга, образуя полный ток плотностью

плотность полного тока

которая, согласно Максвеллу, и фигурирует в уравнении (2.3.6) последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея — закона электромагнитной индукции.

Рис. 2.3.7. Закон электромагнитной индукции

в котором электродвижущая сила , возникающая в замкнутом контуре, связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции Ф, пронизывающего этот контур.

При соблюдении некоторых условий эксперимента ( в частности , если контур с током неподвижен и не деформируется за время изменений ) справедлива следующая интегральная форма записи закона индукции:

Рис. 2.3.8. Интегральная форма записи закона индукции

откуда легко получается дифференциальная форма закона

Рис. 2.3.9. Дифференциальная форма записи закона индукции

Здесь уместно сделать следующее значения:

1. Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля , создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого rotE = 0. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле . Но , как было показано Максвеллом , наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле , характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами Е и В.

2. Введение Максвеллом понятий тока смещения в начале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (2.3.6) и уравнения непрерывности

Рис. 2.3.10. Уравнение непрерывности

выражающего одно из самых общих свойств материи — закон сохранения электрического заряда, — с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (2.3.6) должно иметь вид

Уравнение теоремы Стокса

Именно это изменяющееся во времени электрическое поле , столь неудачно названо «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем изложении.

Итак, имеем уравнение электромагнитного поля в следующем виде:

Их нужно дополнить «материальными» уравнениями, учитывающими соотношения между векторами Е,D,В,Н и j. При отсутствии ферромагнитных сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант: (электропроводность), (диэлектрическая проницаемость) и (магнитная проницаемость), постулируя линейную связь между D и Е, В и Н, j и E, т.е.

D =E , В = Н, j = E. (2.3.12)

Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих Е и Н на границе раздела двух сред, т.е.

если предположить, что граничащие среды разделены слоем, в котором константы , и изменяются непрерывно, а j и конечны, то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (2.3.9) и (2.3.6) сведутся к равенствам (2.3.14). Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значение искомых функций на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (2.3.11). В частности, при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности, руководствуясь физическими условиями решаемой задачи.

Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля, «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играет в электродинамике ту же роль. что и аксиоматика уравнений Ньютона в классической механике.

Поперечность электромагнитных волн

Допустим, что волны распространяются в однородном незаряженном диэлектрике. Применим к ним фундаментальные уравнения Максвелла

И материальные уравнения D =E , В = Н.

Пусть волна — плоская и монохроматическая. Запишем ее в комплексном виде

где — круговая частота, k- волновой вектор, а амплитуды постоянны. Дифференцируя по времени, получаем , т.е. операция дифференцирования в этом случае сводится к умножению на . Аналогично, дифференцирование по координатам x, y, z сводится к умножению на . Заметив это и обозначая координатные орты через получаем

и аналогично для rot E. В результате уравнения Максвелла перейдут в

Рис. 2.3.16. Уравнение Максвелла

Введем единичный вектор N нормали к фронту волны и скорость распространения последнего в направлении этой нормали — так называемую нормальную скорость v.

Тогда (2.3.17)

И предыдущие соотношения перейдут в

отсюда видно, что векторы E, H, v в плоской электромагнитной волне взаимно перпендикулярны . Перпендикулярность векторов Е и Н к вектору v, или, что то же, к направлению распространения волны, означает, что электромагнитные волны поперечны. Т.е. проблема поперечности световых волн, с которой не могли справиться теории механического эфира, совсем не возникает в электромагнитной теории света.

Скорость электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла можно определить и скорость электромагнитной волны v. С этой целью запишем эти уравнения в скалярной форме:

Отсюда после почленного перемножения и сокращения на ЕН получаем для v и показателя преломления следующие выражения:

Последнее соотношение называется законом Максвелла. Для немагнитных сред () оно переходит в .

В вакууме v=c, т.е. v совпадает с электродинамической постоянной с. Тем самым раскрывается глубокий смысл открытия В.Вебера и Кольрауша, впервые измеривших эту постоянную в 1856г.

Энергия переносимая электромагнитной волной

Электромагнитная волна представляет собой электромагнитное возмущение распространяющееся, как уже говорилось, в вакууме со скорость c, а в среде — со скоростью . С этим электромагнитным возмущением связанна энергия, плотность которой (т.е. энергия, заключенная в единице объема) выражается для электрического поля через , а для магнитного поля через . В случае монохроматической волны и , так что энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Это соотношение между энергией и амплитудой сохраняет свое значение и для любой другой волны.

При распространении электромагнитной волны происходит перенос энергии, подобно тому как это имеет место при распространении упругой волны. Вопрос о течении энергии в упругой волне был впервые (1874г.) рассмотрен Н. А. Умовым который доказал общую теорему о потоке энергии в любой среде. Поток энергии в упругой волне может быть вычислен через величины, характеризующие потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию движения частиц упругой среды. Плотность потока энергии выражается с помощью специального вектора (вектор Умова). Аналогичное рассмотрение плодотворно и для электромагнитных. До известной степени можно уподобить энергию электрического поля потенциальной энергии упругой деформации, а энергию магнитного поля — кинетической энергии движения частей деформированного тела. Так же как и в случае упругой деформации, передача энергии от точки к точке в электромагнитной волне связанна с тем обстоятельством, что волны электрической магнитной напряженности находятся в одной фазе. Такая волна называется бегущей. Движение энергии в бегущей упругой волне удобно изображается с помощью вектора S, который можно назвать вектором энергии и который показывает, какое количество энергии протекает в волне за 1с. через 1 метр в квадрате. Для электромагнитных волн вектор этот был введен Пойтингом (1884г.) Его уместно называть вектором Умова-Пойтинга.

Нетрудно найти выражение этого вектора для простого случая, рассмотренного нами в пункте 2.2 и выражающего распространение полоской электромагнитной волны вдоль оси x.

Умножив на Н и на Е и сложив,

получим

где есть плотность энергии. Рассматривая поток энергии S, входящий и выходящий из элементарного объема, найдем выражение для изменения плотности энергии по времени

Отсюда

Рис. 2.3.19. Численное выражение вектора Умова – Пойтинга для электромагнитной волны

что представляет собой численное выражение вектора Умова — Пойтинга для электромагнитной волны. Что касается направления вектора Умова — Пойтинга, то он перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы электрической м магнитной напряженности, т.е. в векторной форме запишется в общем виде

Своим направление вектор Умова — Пойтинаг определяет направление переноса энергии волны и может бать во многих случаях принят за направление светового луча. Не следует, однако, забывать, что понятие луча есть понятие геометрической оптики и не имеет вполне соответствующего образа в области волновых представлений, для которых введен вектор Умова — -Пойтинга.

Поперечность электромагнитных волн

Вы будете перенаправлены на Автор24

Векторы напряженности электрического ($\overrightarrow$) и магнитного ($\overrightarrow$) полей в электромагнитной волне всегда взаимно перпендикулярны, они находятся в плоскости перпендикулярной вектору скорости волны ($\overrightarrow$). Из вышесказанного следует, что электромагнитные волны являются поперечными. Ориентация векторов (взаимная) $\overrightarrow$, $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ подчиняется правилу: Если смотреть из конца вектора скорости, то вращение от вектора напряжённости электрического поля по кратчайшему направлению к вектору напряженности магнитного поля идет против часовой стрелки (рис.1). Или, вектор $\overrightarrow$ имеет направление, как и векторное произведение $\overrightarrow$ на $\overrightarrow$:

Электромагнитное поле в однородной, изотропной, непроводящей среде, не имеющей сегнетоэлектрических и ферромагнитных веществ, можно описать с помощью векторных уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

Или в скалярном виде:

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, покажем, что она является поперечной, и $\overrightarrow\bot \ \overrightarrow$. Допустим, что волна распространяется вдоль положительного направления $оси X$. В таком случае имеем:

Из первых уравнений систем (6) и (7) и уравнений (8) и (9) следует, что:

Из системы уравнений (12) можно сделать вывод о том, что $E_x\ и\ H_x$ не зависят ни от координат, ни от времени. Подобное стационарное и однородное поле не имеет отношения к электромагнитным волнам, поле которых нестационарное и неоднородное. Так, для поля плоской волны, которая распространяется вдоль $оси X$, имеем:

Колебания векторов $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ в точках плоскости $x=const$ отстают по времени от колебаний этих же векторов в точках плоскости $x=0$ на величину, равную $\frac$, где $v$ — скорость волны. Значит, $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ зависят от комбинации времени $(t)$ и отношения $\frac$ вида ($t-\frac$):

Готовые работы на аналогичную тему

Введем обозначение вида: $\xi =t-\frac,$ тогда получим выражения:

Подставим производные из (16) и (17) во второе и третье равнения систем выражений (6) и (7), получим:

Если учесть, что:

то уравнения (18) можно переписать в виде:

Интегрируя выражения (20) по $\xi $, положив постоянные интегрирования равными нулю, так как векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ и их проекции на оси координат для переменного поля плоской волны не могут иметь постоянных составляющих, которые не зависят от $\xi =t-\frac$, в результате имеем:

Если скалярное произведение векторов будет равно нулю, при этом ни один из этих векторов не равен нулю, значит, эти векторы перпендикулярны. Найдем $\overrightarrow\cdot \overrightarrow$, используя выражение (21):

Из (22) очевидно, что $\overrightarrow\bot \overrightarrow$.

Взаимно перпендикулярные векторы $\overrightarrowи\overrightarrow$ колеблются в одной фазе, они одновременно становятся равными нулю и достигают максимума. Для любой бегущей волны, имеющей любую форму волновой поверхности, выполняется равенство:

Задание: Покажите, что векторы $\overrightarrow,\ \overrightarrow\overrightarrow$ образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов.

Решение:

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну. Для нее если $\overrightarrow=E_y\overrightarrow$, то $\overrightarrow=H_z\overrightarrow$, причем если $E_y>0$, то и

Это доказывает, что $\overrightarrow,\ \overrightarrow\overrightarrow$ — правая тройка взаимно перпендикулярных векторов.

Задание: Покажите на примере плоской электромагнитной волны, что векторы $\overrightarrow\overrightarrow\ $совершают колебания в одной фазе.

Решение:

Из дифференциальных уравнений Максвелла следует, что для плоской электромагнитной волны, которая распространяется вдоль положительного направления $оси X$, выполняются равенства:

следовательно, можно записать, что:

Что означает, что векторы напряженности электрического и магнитного полей совершают колебания в одной фазе.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 02 03 2021