Порядок формулы и уравнение при вычислении координат

Система координат в математике с примерами решения и образцами выполнения

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

Координаты на прямой

Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление — положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).

Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О.

Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.

Определение:

Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.

Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором—букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.

Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным; если же его направление противоположно направлению оси, то — отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:

Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу:

Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.

Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:

Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.

Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать

(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или

Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, поскольку его начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)

поэтому можно написать

Получен следующий результат:

Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.

Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси.

Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.

Точку А, имеющую координатной число х, будем обозначать А (х).

Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты:

Будем также писать

Если даны точки А(х1) и В(х2), то на основании формул (3) и (4) получим

т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала.

Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.

Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:

Пример:

Если даны точки А (+4), В (+8), то отрезок АВ = (+8) — (+4), а его длина |АВ|= |+ 4 | = 4.

Если даны точки М (+5) и Р (+3), то отрезок МР = (+3)—(+5) = —2, а его длина |МР| = | —2| = 2. Даны две точки: Q (+ 3) и S (—4). Длина отрезка

Даны две точки R (— 6) и Т (—2); отрезок RТ = ( — 2) — (—6) = +4, а его длина | RТ | = 4.

Пример:

Начало отрезка АВ находится в точке А (—950), а конец—в точке В ( —1200); найти его направление и длину.

Отрезок АВ = ( — 1200)—( — 950) = —250. Так как он

получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна | АВ | = | —250 | = 250.

Задача:

На координатной оси даны две точки: A (x1) и В (x2) Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении т : п.

Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть

Обозначая координату искомой точки С через х и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что АС = х—х1, СВ = х2 — х. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь

Решая последнее уравнение относительно х, найдем:

Это и есть координата искомой точки.

Пример:

Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка А (+ 3) и конец В ( + 5) (рис. 5).

Здесь т = 1, п = 2, х1=-3, х2 = 5. Применяя формулу (7), получим

Пример:

Найти точку М, делящую расстояние между точками Р ( — 2) и Q (—9) в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь т = 3, п = 4, х1 = —2, х2 = —9. По формуле (7) находим

Если т = n т. е. точка С делит отрезок АВ пополам, тогда формула (7) перепишется так:

Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.

Пример:

Найдем середину отрезка, заключенного между точками А (—6) и B (4) (рис. 6).

Применяя формулу (8), получим, что

Координаты на плоскости

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О. На каждой из этих прямых зададим направление, указав его стрелкой (рис. 7).

Установим масштаб, общий для обеих прямых, а за начало отсчета выберем точку О.

Определение:

Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) на-правления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.

Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.

Возьмем произвольную точку M, лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось Ох через А, а проекцию на ось Оу через В. Обозначим координату точки А (по оси Ох) через х, а координату точки В (по оси Оу) через у. Введем определение:

Определение:

Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось Ох. Ординатой точки называется координата ее проекции на ось Оу.

Абсциссу точки обычно обозначают буквой х, ординату— буквой у. Точку М, имеющую абсциссу х и ординату у, обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: М(х, у).

Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.

Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.

Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

Третьей четвертью — та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой, — та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7), На рис. 8 указаны точки M1 (5, 2), М2 ( — 1, 1), М3 (-1, -3), М4 (2, -3). Заметим, что абсцисса х = ОА по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как ОА = ВМ (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки М от оси абсцисс, так как ОВ = АМ.

Пример:

Найти точку Р( — 4, 2) (рис. 9), Возьмем на оси Ох точку А с координатой —4, ее координатный отрезок ОА = —4. На оси Оу возьмем точку В с координатным отрезком ОВ= 2. Восставим перпендикуляры к осям из точек А и В, точка их пересечения и даст искомую точку Р.

Задача:

Найти расстояние между точками Р (х1, у1) и Q( х1, у1 ). Иначе говоря, нужно найти длину отрезка РQ(рис. 10).

Обозначим проекцию точки Р на ось Ох через А1, а ее проекцию на ось Оу — через В1. Проекцию точки Q на ось Ох обозначим через А2 и через В2— ее проекцию на ось Oy. Тогда ОА1 = х1, ОВ1 = y1, ОА2 = х2, ОВ2 = у2. Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, до пересечения с прямой A2Q в точке К. Рассмотрим треугольник PKQ. По теореме Пифагора имеем

Но РК = А1А2, KQ = B1B2, как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки А1А2 и В1В2 будут равны

Подставляя полученные выражения в (*), получим

т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей координат.

Примечание:

Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.

Пример:

Найти расстояние между точками Р (— 2, — 1) и Q (2, 2). Применяя формулу (1), получим

Пример:

Найти длину отрезка MN, если даны М (8, 2) и N(2, 10). Применяя формулу (1), получим

Задача:

Найти точку С, делящую отрезок PQ в отношении т : п, если известны координаты точек Р (х1, у1) и Q (х2, у2). По условию задачи надо найти такую точку С, чтобы было выполнено равенство

Решение:

Обозначим, как и выше, проекции точки Р на оси через А1 и В1, а проекции точки Q—через А2 и В2; тогда ОА1 = х1 , OB1 = y1, ОА2 =х2, ОВ2=у2 (рис. 11). Кроме того, обозначим координаты искомой точки С через х и у, а ее проекции на оси — через А и В, т. е. ОА = х, ОВ = у.

Так как прямые А1Р, АС и А2Q параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что

Но А1А = ОА — ОА1 = х—х1, АА2 = ОА2 — ОА = х2—х; поэтому, подставляя в равенство (*), будем иметь уравнение

решая которое найдем абсциссу точки С:

Рассуждая аналогично о проекциях на ось Оу, т. е. о точках В1, В и В2, получим ординату точки С, делящей отрезок в отношении т : п,

Итак, искомая точка С имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).

Пример:

Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок PQ, где Р (4, —3) и Q (8, 0). Здесь х1 = 4, у1 = — 3, х2 = 8, у2 = 0, т = 1, п = 2. Применяя формулы (2) и (3), получим:

Пример:

Найти точку, делящую расстояние между точками А (4, 2) и B (8, 10) в отношении 3 : 1. Здесь х1=-4, у1 = 2, х2 = 8, у2= 10, т = 3, п = 1. По формулам (2) и (3) находим:

Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка С делит отрезок РQ пополам, то т = n, поэтому

т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.

Задача:

Даны три вершины треугольника: А (7, 0), В (4, 4) и С (7, 10). Найти длину биссектрисы угла A (рис. 12).

Найдем длины сторон АВ и АС. Для этого применим формулу (1):

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с противоположной стороной ВС через М, а ее координаты—через х и у. Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка М делит отрезок ВС в отношении 5 : 10 = ; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:

Теперь вычисляем длину биссектрисы между точками А(7, 0) и М(5, 6):

Задача:

Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(4, 6), В(—8, 10), С( —2, —6) (рис. 13).

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через М середину стороны АС; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:

т. е. М(19 0). Точка Р пересечения медиан делит отрезок ВМ в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2)

Итак, искомая точка

Задача:

Записать условие того, что точка М (х, у) находится на расстоянии По формуле (1) имеем

или, возводя обе части равенства в квадрат, получим

Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными х и у. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки С. Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки С равно 5. Это геометрическое место есть окружность.

Следовательно, можно сказать, что уравнение (*) есть уравнение окружности с центром в точке С и радиуса 5.

В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными х и у и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.

Числовая ось

Числовой осью называют направленную прямую, на которой указывается начальная точка О и задается некоторый «эталон» длины Е. Каждой точке этой прямой отвечает вещественное число, равное длине отрезка если расположено правее точки О, и равное этой

длине со знаком минус — в противном случае (см. рис. 1 а). Числовую ось будем обозначать (смысл этого обозначения прояснится ниже).

Указанное соответствие между точками числовой оси и множеством вещественных чисел является взаимно однозначным, т. е. каждой точке соответствует единственное число , обратно, каждому числу соответствует единственная точка Таким образом, множество . вещественных чисел можно отождествлять с числовой осью , чем мы будем впредь постоянно пользоваться.

Декартова система координат

Декартовой (прямоугольной) системой координат на плоскости называют две взаимно перпендикулярные числовые оси и , имеющие общее начало О и одинаковые единицы масштаба (см. рис. 1 б). Ось называют осью абсцисс, а ось — осью ординат. Плоскость называют координатной плоскостью и обозначают

Пусть М — произвольная точка координатной плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси и соответственно. Декартовыми координатами точки М называют числа, которым соответствуют точки А к В. Например, точка имеет декартовы координаты что записывается в виде Точка О имеет координаты (0,0).

Полярная система координат

В плоскости зададим луч — полярную ось, выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (см. рис. 2 а). Произвольная точка М плоскости определяется парой чисел называемой ее полярными координатами, где р — длина отрезка ОМ, а — выраженный в радианах угол между ОМ и осью . Угол в считается положительным, если откладывается против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Точка О имеет полярные координаты где — любой угол.

Полярные и декартовы координаты, заданные на одной плоскости (см. рис. 2 6), связаны очевидными равенствами:

Полярные координаты удобны для задания многих кривых. Например, уравнение р=2 описывает окружность, изображенную на рис. За. Уравнение описывает спираль Архимеда (рис . Уравнение описывает окружность с диаметром 1 и с центром в точке (рис. Зв).

Системы координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями , и , называемыми соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис. 4 а). Проcтранство обозначают . Положение точки М в определяется тройкой чисел

Аналогами полярной системы координат в пространстве служат цилиндрическая и сферическая системы координат.

Цилиндрическая система координат (рис. 4 б) представляет собой объединение полярной системы координат в плоскости с аппликатой z:

где

Сферическая система координат (рис. 4 в) связана с декартовой системой равенствами

где

Пространство

Пространство

На плоскости и в пространстве положение точки в декартовых координатах полностью определяется соответственно, парой и тройкой чисел вида [) и (x,y,z). Желая обобщить эти геометрические подходы, в анализе вводят понятие пространства

Упорядоченную систему из вещественных чисел называют -мерной точкой, а множество всех -мерных точек называют —мерным пространством или короче — пространством .

Понятие пространства естественно дополнить понятиями основных операций над его элементами. По определению полагают

Наконец, обобщая известную из аналитической геометрии формулу, определяют расстояние между двумя точками и

Прямую, плоскость и пространство можно рассматривать как пространства , и соответственно. Ниже это будет практиковаться постоянно.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Формулы для вычисления координат точки

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Занимательная геодезия

Всем привет!
Сегодня я расскажу тебе, %USERNAME%, о башмаках и сургуче, капусте, королях координатах, проекциях, геодезических системах и совсем чуть-чуть о веб-картографии. Устраивайся поудобнее.

Как говорил ещё Артур Кларк, любая достаточно развитая технология неотличима от магии. Так и в веб-картографии — я думаю, все давно привыкли пользоваться географическими картами, но далеко не каждый представляет себе, как это всё работает.

Вот, казалось бы, простая вещь — географические координаты. Широта и долгота, что может быть проще. А вот представьте, что вы очутились на необитаемом острове. Смартфон утонул, а других средств связи у вас нет. Остаётся только написать письмо с просьбой о помощи и по старинке выбросить его в море в запечатанной бутылке.

Вот только незадача — вы совершенно не знаете, где находится ваш необитаемый остров, а без указания координат никто вас не найдёт, даже если выловит ваше письмо. Что делать? Как определить координаты без GPS?

Итак, немного теории для начала. Чтобы сопоставить точкам на поверхности сферы координаты, необходимо задать начало отсчета — фундаментальную плоскость для отсчёта широт и нулевой меридиан для отсчёта долгот. Для Земли обычно используются плоскость экватора и гринвичский меридиан соответственно.

Широтой (обычно обозначается φ) называют угол между направлением на точку из центра сферы и фундаментальной плоскостью. Долготой (обычно обозначается θ или λ) называют угол между плоскостью проходящего через точку меридиана и плоскостью нулевого меридиана.

Как же определить свою широту, т.е. угол между плоскостью земного экватора и точкой, в которой ты находишься?

Посмотрим на тот же чертёж под другим углом, спроецировав его на плоскость нашего меридиана. Добавим также к чертежу плоскость горизонта (касательную плоскость к нашей точке):

Видим, что искомый угол между направлением на точку и плоскостью экватора равен углу между плоскостью горизонта и осью вращения Земли.

Итак, как же нам найти этот угол? Вспомним красивые картинки звёздного неба с большой выдержкой:

Вот эта точка в центре всех описываемых звездами окружностей — полюс мира. Измерив её высоту над горизонтом, мы получим широту точки наблюдения.

Остаётся вопрос, как найти полюс мира на звёздном небе. Если вы в Северном полушарии, то всё довольно просто:

— найдите ковш Большой Медведицы;
— проведите мысленно прямую через две крайние звезды ковша — Дубхе и Мерак;
— эта прямая укажет вам на ручку ковша Малой Медведицы. Крайняя звезда этой ручки — Полярная — почти в точности совпадает с Северным Полюсом мира.

Полярная звезда всегда находится на севере, а её высота над горизонтом равна широте точки наблюдения. Если вас угораздит попасть на Северный полюс, Полярная звезда будет у вас точно над головой.

В Южном полушарии всё не так просто. Рядом с южным полюсом мира нет крупных звёзд, и вам придётся найти созвездие Южный Крест, мысленно продлить вниз его бОльшую перекладину и отсчитать 4.5 её длины — где-то в этой области будет находиться южный полюс мира.

Само созвездие найти легко — вы много раз видели его на флагах разных стран — Австралии, Новой Зеландии и Бразилии, например.

С широтой определились. Перейдём к долготе. Как определить долготу на необитаемом острове?

На самом деле, это очень непростая проблема, потому что, в отличие от широты, точка отсчета долготы (нулевой меридиан) выбирается произвольным образом и ни к каким наблюдаемым ориентирам не привязана. Испанский король Филипп II в 1567 году назначил солидное вознаграждение тому, кто предложит метод определения долготы; в 1598 году при Филиппе III оно доросло до 6 тысяч дукатов единовременно и 2 тысячи дукатов ренты пожизненно — очень приличная сумма по тем временам. Задача определения долготы в течение нескольких десятилетий была идеей фикс математиков, как теорема Ферма в 20-м веке.

В итоге, долготу стали определять с помощью вот этого прибора:

По сути, этот прибор остаётся самым надёжным способом определения долготы (не считая GPS/Глонасс) и в наши дни. Этот прибор… (барабанная дробь)… морской хронометр.

В самом деле, при изменении долготы меняется часовой пояс. По разнице локального времени и гринвичского легко определить собственную долготу, причём очень точно. Каждая минута разницы времён соответствует 15 угловым минутам долготы.

Соответственно, если у вас есть часы, настроенные по гринвичскому времени (на самом деле, неважно по какому — достаточно знать часовой пояс того места, по времени которого идут ваши часы) — не спешите их переводить. Дождитесь местного полдня, и разница времён подскажет вам долготу вашего острова. (Определить момент полдня очень легко — следите за тенями. В первой половине дня тени укорачиваются, во второй — удлиняются. Момент, когда начали удлиняться тени — астрономический полдень в данной местности.)

Оба метода определения координат, кстати, хорошо описаны в романе Жюля Верна «Таинственный остров».

Координаты на геоиде

Итак, мы сумели определить свою широту и долготу с погрешностью в несколько градусов, т.е. пару сотен километров. Для записки в бутылке такой точности, быть может, ещё хватит, а вот для географических карт уже нет.

Частично эта погрешность обусловлена несовершенством используемых инструментов, но есть и другие источники ошибок. Землю можно считать шаром только в первом приближении — вообще же Земля совсем не шар, а геоид — тело, больше всего похожее на сильно неровный эллипсоид вращения. Для того, чтобы точно приписать каждой точке земной поверхности координаты нужны правила — каким образом конкретную точку на геоиде спроецировать на сферу.

Такой набор правил должен быть универсальным для всех географических карт в мире — иначе одни и те же координаты будут в разных системах обозначать разные точки земной поверхности. В настоящий момент практически все географические сервисы используют единую систему присвоения точке координат — WGS 84 (WGS = World Geodetic System, 84 — год принятия стандарта).

WGS 84 определяет т.н. референсный эллипсоид — повехность, к которой приводятся координаты для удобства вычислений. Параметры этого эллипсоида следующие:

— большая полуось (экваториальный радиус): a = 6378137 метров;
— сжатие: f = 1 / 298.257223563.

Из экваториального радиуса и сжатия можно получить полярный радиус, он же малая полуось (b = a * (1 — f) ≈ 6356752 метра).

Любой точке земной поверхности, таким образом, ставится в соответствие три координаты: долгота и широта (на референсном эллипсоиде) и высота над его поверхностью. В 2004 году WGS 84 был дополнен стандартом Earth Gravitational Model (EGM96), который уточняет уровень моря, от которого отсчитываются высоты.

Интересно, что нулевой меридиан в WGS 84 вовсе не гринвичский (проходящий через ось пассажного инструмента Гринвичской обсерватории), а т.н. IERS Reference Meridian, который проходит на 5.31 угловой секунды восточнее гринвичского.

Плоские карты

Допустим, мы научились определять свои координаты. Теперь нужно научиться отображать накопленные географические знания экране монитора. Да вот незадача — сферических мониторов в мире как-то не очень много (не говоря уже о мониторах в форме геоида). Нам нужно каким-то образом отобразить карту на плоскость — спроецировать.

Один из самых простых способов — спроецировать сферу на цилиндр, а потом развернуть этот цилиндр на плоскость. Такие проекции называются цилиндрическими, их характерное свойство — все меридианы отображаются на карте вертикальными прямыми.

Проекций сферы на цилиндр можно придумать много. Наиболее известная из цилиндрических проекций — проекция Меркатора (по имени широко использовавшего её в своих картах фламандского картографа и географа Герарда Кремера, более известного под латинизированной фамилией Меркатор).

Математически она выражается следующим образом (для сферы):

x = R · λ;
y = R · ln(tg(π/4 + φ/2), где R — радиус сферы, λ — долгота в радианах, φ — широта в радианах.

На выходе получаем обычные декартовы координаты в метрах.

Карта в проекции Меркатора выглядит вот так:

Легко заметить, что проекция Меркатора очень существенно искажает формы и площади объектов. Например, Гренландия на карте занимает в два раза большую площадь, чем Австралия — хотя в реальности Австралия в 3.5 раза больше Гренландии.

Чем же так хороша эта проекция, что стала так популярна несмотря на существенные искажения? Дело в том, что у проекции Меркатора есть важное характеристическое свойство: она сохраняет углы при проецировании.

Допустим, мы хотим проплыть от Канарских островов к Багамским. Проведём прямую линию на карте, соединяющую точки отправления и прибытия.

Так как все меридианы в цилиндрических проекциях параллельны, а проекция Меркатора ещё и сохраняет углы, то наша линия пересечёт все меридианы под одинаковым углом. А это означает, что проплыть вдоль этой линии нам будет очень просто: достаточно сохранять на всём протяжении путешествия один и тот же угол между курсом судна и направлением на полярную звезду (или направлением на магнитный север, что менее точно), причём нужный угол можно легко измерить банальным транспортиром.

Подобные линии, пересекающие все меридианы и параллели под одинаковым углом, называются локсодромами. Все локсодромы в проекции Меркатора изображаются прямыми на карте, и именно это замечательное свойство, крайне удобное для морской навигации, и принесло меркаторовской проекции широкую популярность среди моряков.

Следует заметить, что сказанное не совсем верно: если мы проецируем сферу, а движемся по геоиду, то путевой угол определится не совсем верно и приплывём мы не совсем туда. (Расхождение может быть довольно заметным — всё-таки, экваториальный и полярный радиусы Земли различаются более чем на 20 километров.) Эллипсоид тоже можно спроецировать с сохранением углов, хотя формулы для эллиптической проекции Меркатора значительно сложнее, чем для сферической (обратное преобразование вообще не выражается в элементарных функциях). Полное и подробное описание математики проекции Меркатора на эллипсоиде можно найти здесь.

Когда мы в Яндексе начинали делать свои карты, нам показалось логичным использовать эллиптическую меркаторовскую проекцию. К сожалению, многим другим картографическим веб-сервисам так не показалось, и они используют сферическую проекцию. Поэтому долгое время нельзя было показывать поверх карты Яндекса тайлы, скажем, OSM — они расходились по оси y, чем ближе к полюсу — тем заметнее. В версии API 2.0 мы решили не плыть против течения, и предоставили возможность как работать с картой в произвольной проекции, так и показывать на карте одновременно несколько слоёв в разных проекциях — как удобнее.

Геодезические задачи

Путешествовать по локсодроме очень просто, но за эту простоту приходится платить: локсодрома отправит вас в путешествие по неоптимальному маршруту. В частности, путь вдоль параллели (если это не экватор) не является кратчайшим!

Для того, чтобы найти кратчайший путь на сфере, нужно провести окружность с центром в центре сферы, проходящую через эти две точки (или, что то же самое, пересечь сферу с плоскостью, проходящей через две точки и центр сферы).

Невозможно спроецировать сферу на плоскость так, чтобы кратчайшие пути при этом переходили в прямые отрезки; проекция Меркатора, разумеется, не исключение, и ортодромы в ней выглядят сильно искаженными дугами. Некоторые пути (через полюс) в проекции Меркатора корректно изобразить невозможно:

Примерно так проецируется кратчайший путь из Анадыря в Кардифф: сначала улетаем в бесконечность строго на север, а потом возвращаемся из бесконечности строго на юг.

В случае движения по сфере кратчайшие пути строятся довольно просто с помощью аппарата сферической тригонометрии, а вот в случае эллипсоида задача существенно усложняется — кратчайшие пути не выражаются в элементарных функциях.

(Замечу, что эта проблема, конечно же, не решается выбором сферической проекции Меркатора — построение кратчайших путей осуществляется на референсном эллипсоиде WGS 84 и никак не зависит от параметров проекции.)

В ходе разработки API Яндекс.Карт версии 2.0 перед нами встала непростая задача — параметризовать построение кратчайших путей так, чтобы:
— можно было легко пользоваться встроенными функциями для расчета кратчайших путей на эллипсоиде WGS 84;
— можно было легко задать собственную систему координат с собственными методами расчета кратчайших путей.

API Карт ведь можно использовать не только для показа карт земной поверхности, но и, скажем, поверхности Луны или какого-нибудь игрового мира.

Для построения кратчайших путей (геодезических линий) в общем случае используется следующее простенькое и незатейливое уравнение:

Здесь — т.н. символы Кристоффеля, выражающиеся через частные производные фундаментального метрического тензора.

Заставлять пользователя ТАКИМ образом параметризовать свою область картографирования нам показалось несколько негуманным :).

Поэтому мы решили пойти другим путём, более приближенным к Земле и потребностям наших пользователей. В геодезии проблемы построениях кратчайших путей составляют т.н. первую (прямую) и вторую (обратную) геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача: дана исходная точка, направление движения (обычно — путевой угол, т.е. угол между направлением на север и направлением движения) и пройденное расстояние. Требуется найти конечную точку и конечное направление движения.

Обратная геодезическая задача: даны две точки. Требуется найти расстояние между ними и направление движения.

Обратите внимание, что направление движения (путевой угол) — непрерывная функция, которая изменяется на протяжении всего пути.

Имея в своём распоряжении функции решения этих задач, мы с их помощью можем решить необходимые нам кейсы в API Карт: вычисление расстояний, отображение кратчайших путей и построение окружностей на земной поверхности.

Мы заявили следующий интерфейс для пользовательских координатных систем:

solveDirectProblem(startPoint, direction, distance) — Решает так называемую первую (прямую) геодезическую задачу: где мы окажемся, если выйдем из указанной точки в указанном направлении и пройдём, не сворачивая, указанное расстояние.

solveInverseProblem(startPoint, endPoint, reverseDirection) — Решает так называемую вторую (обратную) геодезическую задачу: построить кратчайший маршрут между двумя точками на картографируемой поверхности и определелить расстояние и направление движения.

getDistance(point1, point2) — возвращает кратчайшее (вдоль геодезической линии) расстояние между двумя заданными точками (в метрах).

(Функция getDistance выделена отдельно для тех случаев, когда расчет расстояний можно выполнить намного быстрее, чем решение обратной задачи.)

Этот интерфейс показался нам достаточно простым для реализации в случаях, если пользователь картографирует какую-то нестандартную поверхность или пользуется нестандартными координатами. Со своей стороны мы написали две стандартных реализации — для обычной декартовой плоскости и для референсного эллипсоида WGS 84. Для второй реализации мы использовали формулы Винсенти. Кстати, непосредственно реализовывал эту логику runawayed, передаём ему привет :).

Все эти геодезические возможности доступны в API Яндекс.Карт, начиная с версии 2.0.13. Welcome!