Порядок старшей производной входящей в уравнение называется

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Простейшие дифференциальные уравнения

Простейшие дифференциальные уравнения

Необходимо запомнить

Определение 1 Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную $х$, искомую функцию $y=f(x)$ и её производные.

Определение 2 Решением дифференциального уравнения называется любая функция $y=f(x)$, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Определение 3 Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.

(Пример: $y’– y=0$ – дифференциальное уравнение 1-го порядка; $y»+ y=0$ – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решение дифференциального уравнения

Найти частные решения уравнений:1) $S’ = 4t – 3$, если при $t = 0$ $S = 0$

$S=\int (4 t−3 ) dt=2t^2−3t+C$

Так как при $t = 0$ $S = 0$, то из условия $0 = 2*0^2−3*0+С$ получим $С = 0$

Следовательно, решение уравнения при заданных условиях $S = 2t^2 – 3t$.

Понятие о дифференциальном уравнении

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

Определение 3. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным — в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y» — sin x y’ + ( cos x) y = tg x — линейное ,

sin y’ — cos y = ctg x — нелинейное ,

(y IV ) 2 — 3 y»’ + y = 1 — нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j (x) , при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1 . y’ — f(x) = 0 , Пример 2. y» = 0 ,

Определение 6 . Решение дифференциального уравнения n-го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

y = C ₁ cos x + C ₂ sin x — общее решение.

у ₁ = 3 cos x — 2 sin x — частное решение.